Theorem tsmssubm 24118

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssubm.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
tsmssubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
tsmssubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3	2	submbas 18773	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	4	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
6	5	anbi1d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7		elin 3906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
8	7	biancomi 462	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
17		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
19	18, 11	fssd 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
20	9, 13, 14, 15, 16, 17, 19	eltsms 24108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
21	20	baibd 539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
22	12, 21	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
23		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑢 ∈ V
24	23	inex1 5254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)) → (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V)
26	2, 13	resstopn 23161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
27	26	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻))
28		fvex 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘𝐺) ∈ V
29		elrest 17381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
30	28, 1, 29	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
32	27, 31	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
33		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
34		elin 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
35	34	rbaib 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
37	33, 36	sylan9bbr 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
38		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
41	2	submmnd 18772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
43	2	subcmn 19803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
44	15, 42, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
45	44	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
46		elinel2 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
49		elfpw 9257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
50	49	simplbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
52	48, 51	fssresd 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆)
53	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
54	53	feq3d 6647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻)))
55	52, 54	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻))
56		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝐻) ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐻) ∈ V)
58	52, 47, 57	fdmfifsupp 9281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp (0g‘𝐻))
59	39, 40, 45, 47, 55, 58	gsumcl 19881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
60	59, 53	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆)
61		elin 3906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ∧ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆))
62	61	rbaib 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆 → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
64	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
65	47, 64, 52, 2	gsumsubm 18794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) = (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
66	65	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
67	63, 66	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
68	38, 67	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
69	68	an32s 653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
70	69	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
71	70	ralbidva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
72	71	rexbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
73	37, 72	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
74	25, 32, 73	ralxfr2d 5347	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
75	22, 74	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))))
76	75	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
77	8, 76	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐻) = (TopOpen‘𝐻)
79		resstps 23162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
80	16, 1, 79	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
81	2, 80	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TopSp)
82	4	feq3d 6647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻)))
83	18, 82	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻))
84	39, 78, 14, 44, 81, 17, 83	eltsms 24108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
85	6, 77, 84	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
86	85	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18741  CMndccmn 19746  TopSpctps 22907   tsums ctsu 24101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-ntr 22995  df-nei 23073  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-tsms 24102

This theorem is referenced by: (None)