Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssubm 22858
 Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssubm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
tsmssubm.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
tsmssubm.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
tsmssubm (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 tsmssubm.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
32submbas 18060 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐻))
54eleq2d 2838 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
65anbi1d 632 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7 elin 3877 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥𝑆))
87biancomi 466 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9 eqid 2759 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109submss 18055 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1211sselda 3895 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
14 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
16 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
17 tsmssubm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
18 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
1918, 11fssd 6519 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
209, 13, 14, 15, 16, 17, 19eltsms 22848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
2120baibd 543 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
2212, 21syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
23 vex 3414 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2423inex1 5192 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)) → (𝑢𝑆) ∈ V)
262, 13resstopn 21901 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
2726eleq2i 2844 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻))
28 fvex 6677 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘𝐺) ∈ V
29 elrest 16774 . . . . . . . . . 10 (((TopOpen‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3028, 1, 29sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3130adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3227, 31bitr3id 288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
33 eleq2 2841 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑢𝑆) → (𝑥𝑣𝑥 ∈ (𝑢𝑆)))
34 elin 3877 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝑥𝑢𝑥𝑆))
3534rbaib 542 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 → (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ 𝑥𝑢))
3635adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ 𝑥𝑢))
3733, 36sylan9bbr 514 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (𝑥𝑣𝑥𝑢))
38 eleq2 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑢𝑆) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆)))
39 eqid 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
40 eqid 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐻) = (0g𝐻)
412submmnd 18059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
432subcmn 19040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
4415, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
46 elinel2 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
4818ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝑆)
49 elfpw 8873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
5049simplbi 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
5150adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
5248, 51fssresd 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦𝑆)
534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5453feq3d 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑦):𝑦𝑆 ↔ (𝐹𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻)))
5552, 54mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻))
56 fvex 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝐻) ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐻) ∈ V)
5852, 47, 57fdmfifsupp 8890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦) finSupp (0g𝐻))
5939, 40, 45, 47, 55, 58gsumcl 19118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
6059, 53eleqtrrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆)
61 elin 3877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ∧ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆))
6261rbaib 542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆 → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
641ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6547, 64, 52, 2gsumsubm 18080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) = (𝐻 Σg (𝐹𝑦)))
6665eleq1d 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6763, 66bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6838, 67sylan9bbr 514 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6968an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
7069imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7170ralbidva 3126 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7271rexbidv 3222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7337, 72imbi12d 348 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → ((𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
7425, 32, 73ralxfr2d 5284 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
7522, 74bitr4d 285 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣))))
7675pm5.32da 582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
778, 76syl5bb 286 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78 eqid 2759 . . . 4 (TopOpen‘𝐻) = (TopOpen‘𝐻)
79 resstps 21902 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
8016, 1, 79syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
812, 80eqeltrid 2857 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
824feq3d 6491 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑆𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻)))
8318, 82mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻))
8439, 78, 14, 44, 81, 17, 83eltsms 22848 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
856, 77, 843bitr4rd 315 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
8685eqrdv 2757 1 (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  Vcvv 3410   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861  𝒫 cpw 4498   ↾ cres 5531  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Fincfn 8541  Basecbs 16556   ↾s cress 16557   ↾t crest 16767  TopOpenctopn 16768  0gc0g 16786   Σg cgsu 16787  Mndcmnd 17992  SubMndcsubmnd 18036  CMndccmn 18988  TopSpctps 21647   tsums ctsu 22841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-fi 8922  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-hash 13755  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-tset 16657  df-rest 16769  df-topn 16770  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-topgen 16790  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-submnd 18038  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-fbas 20178  df-fg 20179  df-top 21609  df-topon 21626  df-topsp 21648  df-bases 21661  df-ntr 21735  df-nei 21813  df-fil 22561  df-fm 22653  df-flim 22654  df-flf 22655  df-tsms 22842 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator