MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssubm 23510
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssubm.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
tsmssubm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
tsmssubm.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
tsmssubm (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2 tsmssubm.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
32submbas 18630 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
54eleq2d 2820 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)))
65anbi1d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7 elin 3927 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
87biancomi 464 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109submss 18625 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1211sselda 3945 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
16 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
17 tsmssubm.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
18 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
1918, 11fssd 6687 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜πΊ))
209, 13, 14, 15, 16, 17, 19eltsms 23500 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
2120baibd 541 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
2212, 21syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
23 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑒 ∈ V
2423inex1 5275 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ 𝑆) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑒 ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑆) ∈ V)
262, 13resstopn 22553 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) = (TopOpenβ€˜π»)
2726eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜π»))
28 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ V
29 elrest 17314 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3028, 1, 29sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3227, 31bitr3id 285 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜π») ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
33 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆)))
34 elin 3927 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
3534rbaib 540 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
3733, 36sylan9bbr 512 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
38 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆)))
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
412submmnd 18629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
432subcmn 19620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
4415, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
46 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4818ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
49 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
5049simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
5248, 51fssresd 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆπ‘†)
534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
5453feq3d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆπ‘† ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(Baseβ€˜π»)))
5552, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(Baseβ€˜π»))
56 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0gβ€˜π») ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜π») ∈ V)
5852, 47, 57fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp (0gβ€˜π»))
5939, 40, 45, 47, 55, 58gsumcl 19697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π»))
6059, 53eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆)
61 elin 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ∧ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆))
6261rbaib 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆 β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
641ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6547, 64, 52, 2gsumsubm 18650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) = (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
6665eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6763, 66bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6838, 67sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6968an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
7069imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7170ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7271rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7337, 72imbi12d 345 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
7425, 32, 73ralxfr2d 5366 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
7522, 74bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣))))
7675pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
778, 76bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π») = (TopOpenβ€˜π»)
79 resstps 22554 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ TopSp)
8016, 1, 79syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ TopSp)
812, 80eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ TopSp)
824feq3d 6656 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π»)))
8318, 82mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
8439, 78, 14, 44, 81, 17, 83eltsms 23500 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
856, 77, 843bitr4rd 312 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
8685eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605  CMndccmn 19567  TopSpctps 22297   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator