MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssubm 23647
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssubm.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
tsmssubm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
tsmssubm.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
tsmssubm (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2 tsmssubm.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
32submbas 18695 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
54eleq2d 2820 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)))
65anbi1d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7 elin 3965 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
87biancomi 464 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109submss 18690 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1211sselda 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
16 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
17 tsmssubm.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
18 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
1918, 11fssd 6736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜πΊ))
209, 13, 14, 15, 16, 17, 19eltsms 23637 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
2120baibd 541 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
2212, 21syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
23 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑒 ∈ V
2423inex1 5318 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ 𝑆) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑒 ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑆) ∈ V)
262, 13resstopn 22690 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) = (TopOpenβ€˜π»)
2726eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜π»))
28 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ V
29 elrest 17373 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3028, 1, 29sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3227, 31bitr3id 285 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜π») ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
33 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆)))
34 elin 3965 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
3534rbaib 540 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
3733, 36sylan9bbr 512 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
38 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆)))
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
412submmnd 18694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
432subcmn 19705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
4415, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
46 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4818ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
49 elfpw 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
5049simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
5248, 51fssresd 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆπ‘†)
534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
5453feq3d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆπ‘† ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(Baseβ€˜π»)))
5552, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(Baseβ€˜π»))
56 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0gβ€˜π») ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜π») ∈ V)
5852, 47, 57fdmfifsupp 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp (0gβ€˜π»))
5939, 40, 45, 47, 55, 58gsumcl 19783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π»))
6059, 53eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆)
61 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ∧ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆))
6261rbaib 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆 β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
641ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6547, 64, 52, 2gsumsubm 18716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) = (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
6665eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6763, 66bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6838, 67sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6968an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
7069imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7170ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7271rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7337, 72imbi12d 345 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
7425, 32, 73ralxfr2d 5409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
7522, 74bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣))))
7675pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
778, 76bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π») = (TopOpenβ€˜π»)
79 resstps 22691 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ TopSp)
8016, 1, 79syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ TopSp)
812, 80eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ TopSp)
824feq3d 6705 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π»)))
8318, 82mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
8439, 78, 14, 44, 81, 17, 83eltsms 23637 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
856, 77, 843bitr4rd 312 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
8685eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670  CMndccmn 19648  TopSpctps 22434   tsums ctsu 23630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator