MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssubm 23967
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssubm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
tsmssubm.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
tsmssubm.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
tsmssubm (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 tsmssubm.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
32submbas 18737 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐻))
54eleq2d 2818 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
65anbi1d 629 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7 elin 3964 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥𝑆))
87biancomi 462 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109submss 18732 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1211sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
14 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
16 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
17 tsmssubm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
18 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
1918, 11fssd 6735 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
209, 13, 14, 15, 16, 17, 19eltsms 23957 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
2120baibd 539 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
2212, 21syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
23 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2423inex1 5317 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)) → (𝑢𝑆) ∈ V)
262, 13resstopn 23010 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
2726eleq2i 2824 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻))
28 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘𝐺) ∈ V
29 elrest 17380 . . . . . . . . . 10 (((TopOpen‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3028, 1, 29sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3227, 31bitr3id 285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
33 eleq2 2821 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑢𝑆) → (𝑥𝑣𝑥 ∈ (𝑢𝑆)))
34 elin 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝑥𝑢𝑥𝑆))
3534rbaib 538 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 → (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ 𝑥𝑢))
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ 𝑥𝑢))
3733, 36sylan9bbr 510 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (𝑥𝑣𝑥𝑢))
38 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑢𝑆) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆)))
39 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
40 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐻) = (0g𝐻)
412submmnd 18736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
432subcmn 19753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
4415, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
46 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
4818ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝑆)
49 elfpw 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
5049simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
5248, 51fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦𝑆)
534ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5453feq3d 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑦):𝑦𝑆 ↔ (𝐹𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻)))
5552, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻))
56 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝐻) ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐻) ∈ V)
5852, 47, 57fdmfifsupp 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦) finSupp (0g𝐻))
5939, 40, 45, 47, 55, 58gsumcl 19831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
6059, 53eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆)
61 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ∧ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆))
6261rbaib 538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆 → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
641ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6547, 64, 52, 2gsumsubm 18758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) = (𝐻 Σg (𝐹𝑦)))
6665eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6763, 66bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6838, 67sylan9bbr 510 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6968an32s 649 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
7069imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7170ralbidva 3174 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7271rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7337, 72imbi12d 344 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → ((𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
7425, 32, 73ralxfr2d 5408 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
7522, 74bitr4d 282 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣))))
7675pm5.32da 578 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
778, 76bitrid 283 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78 eqid 2731 . . . 4 (TopOpen‘𝐻) = (TopOpen‘𝐻)
79 resstps 23011 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
8016, 1, 79syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
812, 80eqeltrid 2836 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
824feq3d 6704 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑆𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻)))
8318, 82mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻))
8439, 78, 14, 44, 81, 17, 83eltsms 23957 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
856, 77, 843bitr4rd 312 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
8685eqrdv 2729 1 (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4602  cres 5678  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  Basecbs 17151  s cress 17180  t crest 17373  TopOpenctopn 17374  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  Mndcmnd 18665  SubMndcsubmnd 18710  CMndccmn 19696  TopSpctps 22754   tsums ctsu 23950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-tset 17223  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-ntr 22844  df-nei 22922  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-tsms 23951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator