Theorem tsmssubm 24167

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssubm.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
tsmssubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
tsmssubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3	2	submbas 18840	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	4	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
6	5	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7		elin 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
8	7	biancomi 462	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	sselda 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
14		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
17		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
19	18, 11	fssd 6754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
20	9, 13, 14, 15, 16, 17, 19	eltsms 24157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
21	20	baibd 539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
22	12, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
23		vex 3482	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑢 ∈ V
24	23	inex1 5323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)) → (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V)
26	2, 13	resstopn 23210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
27	26	eleq2i 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻))
28		fvex 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘𝐺) ∈ V
29		elrest 17474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
30	28, 1, 29	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
32	27, 31	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
33		eleq2 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
34		elin 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
35	34	rbaib 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
37	33, 36	sylan9bbr 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
38		eleq2 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
39		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
40		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
41	2	submmnd 18839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
43	2	subcmn 19870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
44	15, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
46		elinel2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
49		elfpw 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
50	49	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
52	48, 51	fssresd 6776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆)
53	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
54	53	feq3d 6724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻)))
55	52, 54	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻))
56		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝐻) ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐻) ∈ V)
58	52, 47, 57	fdmfifsupp 9413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp (0g‘𝐻))
59	39, 40, 45, 47, 55, 58	gsumcl 19948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
60	59, 53	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆)
61		elin 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ∧ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆))
62	61	rbaib 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆 → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
64	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
65	47, 64, 52, 2	gsumsubm 18861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) = (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
66	65	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
67	63, 66	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
68	38, 67	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
69	68	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
70	69	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
71	70	ralbidva 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
72	71	rexbidv 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
73	37, 72	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
74	25, 32, 73	ralxfr2d 5416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
75	22, 74	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))))
76	75	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
77	8, 76	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐻) = (TopOpen‘𝐻)
79		resstps 23211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
80	16, 1, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
81	2, 80	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TopSp)
82	4	feq3d 6724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻)))
83	18, 82	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻))
84	39, 78, 14, 44, 81, 17, 83	eltsms 24157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
85	6, 77, 84	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
86	85	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  CMndccmn 19813  TopSpctps 22954   tsums ctsu 24150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151

This theorem is referenced by: (None)