Theorem tsmssubm 24086

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssubm.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
tsmssubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
tsmssubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3	2	submbas 18797	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	4	eleq2d 2821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
6	5	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7		elin 3947	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
8	7	biancomi 462	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	sselda 3963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
14		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
17		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
19	18, 11	fssd 6728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
20	9, 13, 14, 15, 16, 17, 19	eltsms 24076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
21	20	baibd 539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
22	12, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
23		vex 3468	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑢 ∈ V
24	23	inex1 5292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)) → (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V)
26	2, 13	resstopn 23129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
27	26	eleq2i 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻))
28		fvex 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘𝐺) ∈ V
29		elrest 17446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
30	28, 1, 29	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
32	27, 31	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
33		eleq2 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
34		elin 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
35	34	rbaib 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
37	33, 36	sylan9bbr 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
38		eleq2 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
39		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
40		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
41	2	submmnd 18796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
43	2	subcmn 19823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
44	15, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
46		elinel2 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
49		elfpw 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
50	49	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
52	48, 51	fssresd 6750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆)
53	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
54	53	feq3d 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻)))
55	52, 54	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻))
56		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝐻) ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐻) ∈ V)
58	52, 47, 57	fdmfifsupp 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp (0g‘𝐻))
59	39, 40, 45, 47, 55, 58	gsumcl 19901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
60	59, 53	eleqtrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆)
61		elin 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ∧ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆))
62	61	rbaib 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆 → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
64	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
65	47, 64, 52, 2	gsumsubm 18818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) = (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
66	65	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
67	63, 66	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
68	38, 67	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
69	68	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
70	69	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
71	70	ralbidva 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
72	71	rexbidv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
73	37, 72	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
74	25, 32, 73	ralxfr2d 5385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
75	22, 74	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))))
76	75	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
77	8, 76	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐻) = (TopOpen‘𝐻)
79		resstps 23130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
80	16, 1, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
81	2, 80	eqeltrid 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TopSp)
82	4	feq3d 6698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻)))
83	18, 82	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻))
84	39, 78, 14, 44, 81, 17, 83	eltsms 24076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
85	6, 77, 84	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
86	85	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   ↾ cres 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717  SubMndcsubmnd 18765  CMndccmn 19766  TopSpctps 22875   tsums ctsu 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-ntr 22963  df-nei 23041  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-tsms 24070

This theorem is referenced by: (None)