Theorem tsmssubm 24442

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssubm.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
tsmssubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
tsmssubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3	2	submbas 18990	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	4	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
6	5	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7		elin 3915	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
8	7	biancomi 468	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	1, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
14		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
17		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
19	18, 11	fssd 6719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
20	9, 13, 14, 15, 16, 17, 19	eltsms 24432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
21	20	baibd 549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
22	12, 21	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
23		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑢 ∈ V
24	23	inex1 5277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)) → (𝑢 ∩ 𝑆) ∈ V)
26	2, 13	resstopn 23484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
27	26	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻))
28		fvex 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘𝐺) ∈ V
29		elrest 17578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
30	28, 1, 29	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
32	27, 31	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)))
33		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
34		elin 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
35	34	rbaib 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
37	33, 36	sylan9bbr 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
38		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆)))
39		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
40		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
41	2	submmnd 18989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
42	1, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
43	2	subcmn 20031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
44	15, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
46		elinel2 4148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
49		elfpw 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
50	49	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
52	48, 51	fssresd 6741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆)
53	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
54	53	feq3d 6686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻)))
55	52, 54	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻))
56		fvex 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝐻) ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐻) ∈ V)
58	52, 47, 57	fdmfifsupp 9351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp (0g‘𝐻))
59	39, 40, 45, 47, 55, 58	gsumcl 20109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
60	59, 53	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆)
61		elin 3915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ∧ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆))
62	61	rbaib 548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆 → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
63	60, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
64	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
65	47, 64, 52, 2	gsumsubm 19011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) = (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
66	65	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
67	63, 66	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑢 ∩ 𝑆) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
68	38, 67	sylan9bbr 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
69	68	an32s 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))
70	69	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
71	70	ralbidva 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
72	71	rexbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
73	37, 72	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢 ∩ 𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
74	25, 32, 73	ralxfr2d 5372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
75	22, 74	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣))))
76	75	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
77	8, 76	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐻) = (TopOpen‘𝐻)
79		resstps 23485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
80	16, 1, 79	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
81	2, 80	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TopSp)
82	4	feq3d 6686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻)))
83	18, 82	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻))
84	39, 78, 14, 44, 81, 17, 83	eltsms 24432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
85	6, 77, 84	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
86	85	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   ↾ cres 5653  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388   ↾_t crest 17571  TopOpenctopn 17572  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903  SubMndcsubmnd 18957  CMndccmn 19974  TopSpctps 23230   tsums ctsu 24425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-tset 17427  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-ntr 23318  df-nei 23396  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-tsms 24426

This theorem is used by: (None)