MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssubm 23654
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssubm.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
tsmssubm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
tsmssubm.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
tsmssubm (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2 tsmssubm.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
32submbas 18697 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
54eleq2d 2819 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)))
65anbi1d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7 elin 3964 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
87biancomi 463 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109submss 18692 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1211sselda 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
13 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
14 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
16 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
17 tsmssubm.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
18 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
1918, 11fssd 6735 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜πΊ))
209, 13, 14, 15, 16, 17, 19eltsms 23644 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
2120baibd 540 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
2212, 21syldan 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
23 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑒 ∈ V
2423inex1 5317 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ 𝑆) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑒 ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑆) ∈ V)
262, 13resstopn 22697 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) = (TopOpenβ€˜π»)
2726eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜π»))
28 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ V
29 elrest 17375 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3028, 1, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) β†Ύt 𝑆) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
3227, 31bitr3id 284 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜π») ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)))
33 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆)))
34 elin 3964 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
3534rbaib 539 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
3733, 36sylan9bbr 511 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 ↔ π‘₯ ∈ 𝑒))
38 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆)))
39 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
40 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
412submmnd 18696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
432subcmn 19707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
4415, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐻 ∈ CMnd)
46 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4818ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
49 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
5049simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
5248, 51fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆπ‘†)
534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
5453feq3d 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆπ‘† ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(Baseβ€˜π»)))
5552, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(Baseβ€˜π»))
56 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0gβ€˜π») ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜π») ∈ V)
5852, 47, 57fdmfifsupp 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp (0gβ€˜π»))
5939, 40, 45, 47, 55, 58gsumcl 19785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π»))
6059, 53eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆)
61 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ∧ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆))
6261rbaib 539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑆 β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
641ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6547, 64, 52, 2gsumsubm 18718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) = (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
6665eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6763, 66bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑒 ∩ 𝑆) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6838, 67sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
6968an32s 650 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))
7069imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7170ralbidva 3175 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7271rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
7337, 72imbi12d 344 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑒 ∩ 𝑆)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
7425, 32, 73ralxfr2d 5408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
7522, 74bitr4d 281 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣))))
7675pm5.32da 579 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
778, 76bitrid 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜π») = (TopOpenβ€˜π»)
79 resstps 22698 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ TopSp)
8016, 1, 79syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ TopSp)
812, 80eqeltrid 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ TopSp)
824feq3d 6704 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π»)))
8318, 82mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π»))
8439, 78, 14, 44, 81, 17, 83eltsms 23644 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ βˆ€π‘£ ∈ (TopOpenβ€˜π»)(π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)))))
856, 77, 843bitr4rd 311 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
8685eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388  Mndcmnd 18627  SubMndcsubmnd 18672  CMndccmn 19650  TopSpctps 22441   tsums ctsu 23637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-tset 17218  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-ntr 22531  df-nei 22609  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-tsms 23638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator