MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthimp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wilthimp 25655
Description: The forward implication of Wilson's theorem wilth 25654 (see wilthlem3 25653), expressed using the modulo operation: For any prime 𝑝 we have (𝑝 − 1)!≡ − 1 (mod 𝑝), see theorem 5.24 in [ApostolNT] p. 116. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
wilthimp (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Proof of Theorem wilthimp
StepHypRef Expression
1 wilth 25654 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2 eluz2nn 12272 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
54faccld 13640 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
65nnzd 12074 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
76peano2zd 12078 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
8 dvdsval3 15602 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0))
92, 7, 8syl2anc 587 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0))
109biimpar 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
115nncnd 11641 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
12 1cnd 10625 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
1311, 12jca 515 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
1413adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
15 subneg 10924 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
1710, 16breqtrrd 5070 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1))
18 neg1z 12006 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℤ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → -1 ∈ ℤ)
202, 6, 193jca 1125 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
2120adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
22 moddvds 15609 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1)))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1)))
2417, 23mpbird 260 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
2524ex 416 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
269, 25sylbid 243 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
2726imp 410 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
281, 27sylbi 220 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  cmin 10859  -cneg 10860  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231   mod cmo 13232  !cfa 13629  cdvds 15598  cprime 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-phi 16092  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-subrg 19524  df-cnfld 20090
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator