Theorem subrgdv 20498

Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgdv.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgdv.2	⊢ / = (/r‘𝑅)
subrgdv.3	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
subrgdv.4	⊢ 𝐸 = (/r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subrgdv	⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem subrgdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgdv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
3		subrgdv.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	subrginv 20497	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invr‘𝑆)‘𝑌))
6	5	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invr‘𝑆)‘𝑌))
7	6	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	1, 8	ressmulr 17270	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	10	oveqd 7404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑆)‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
12	7, 11	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13	subrgss 20481	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
16		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	15, 16	sseldd 3947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19	1, 18, 3	subrguss 20496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
20	19	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
21		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
22	20, 21	sseldd 3947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23		subrgdv.2	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
24	13, 8, 18, 2, 23	dvrval 20312	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	17, 22, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	1	subrgbas 20490	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
27	26	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
28	16, 27	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
29		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
31		subrgdv.4	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (/r‘𝑆)
32	29, 30, 3, 4, 31	dvrval 20312	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
33	28, 21, 32	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
34	12, 25, 33	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  Unitcui 20264  inv_rcinvr 20296  /_rcdvr 20309  SubRingcsubrg 20478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-subrg 20479

This theorem is referenced by:  qsssubdrg  21343  redvr  21526  cvsdiv  25032  qrngdiv  27535  sdrgdvcl  33249