MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgdv 20589
Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdv.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgdv.2 / = (/r𝑅)
subrgdv.3 𝑈 = (Unit‘𝑆)
subrgdv.4 𝐸 = (/r𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrgdv ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem subrgdv
StepHypRef Expression
1 subrgdv.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
3 subrgdv.3 . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑆)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
51, 2, 3, 4subrginv 20588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) = ((invr𝑆)‘𝑌))
653adant2 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) = ((invr𝑆)‘𝑌))
76oveq2d 7447 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑌)))
8 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
91, 8ressmulr 17351 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1093ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1110oveqd 7448 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
127, 11eqtrd 2777 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
13 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413subrgss 20572 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
15143ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
16 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋𝐴)
1715, 16sseldd 3984 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18 eqid 2737 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
191, 18, 3subrguss 20587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
20193ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
21 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
2220, 21sseldd 3984 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23 subrgdv.2 . . . 4 / = (/r𝑅)
2413, 8, 18, 2, 23dvrval 20403 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
2517, 22, 24syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
261subrgbas 20581 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
27263ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
2816, 27eleqtrd 2843 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
29 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30 eqid 2737 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
31 subrgdv.4 . . . 4 𝐸 = (/r𝑆)
3229, 30, 3, 4, 31dvrval 20403 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
3328, 21, 32syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
3412, 25, 333eqtr4d 2787 1 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  Unitcui 20355  invrcinvr 20387  /rcdvr 20400  SubRingcsubrg 20569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrg 20570
This theorem is referenced by:  qsssubdrg  21444  redvr  21635  cvsdiv  25165  qrngdiv  27668  sdrgdvcl  33301
  Copyright terms: Public domain W3C validator