MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgdv 20488
Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdv.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrgdv.2 / = (/rβ€˜π‘…)
subrgdv.3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
subrgdv.4 𝐸 = (/rβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
subrgdv ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (π‘‹πΈπ‘Œ))
Proof of Theorem subrgdv
StepHypRef Expression
1 subrgdv.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
3 subrgdv.3 . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
51, 2, 3, 4subrginv 20487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ))
653adant2 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ))
76oveq2d 7420 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
8 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
91, 8ressmulr 17258 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1110oveqd 7421 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
127, 11eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1413subrgss 20471 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
15143ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
16 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1715, 16sseldd 3978 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
18 eqid 2726 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
191, 18, 3subrguss 20486 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ βŠ† (Unitβ€˜π‘…))
20193ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Unitβ€˜π‘…))
21 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
2220, 21sseldd 3978 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
23 subrgdv.2 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
2413, 8, 18, 2, 23dvrval 20302 . . 3 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2517, 22, 24syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
261subrgbas 20480 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
27263ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
2816, 27eleqtrd 2829 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
29 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
30 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
31 subrgdv.4 . . . 4 𝐸 = (/rβ€˜π‘†)
3229, 30, 3, 4, 31dvrval 20302 . . 3 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
3328, 21, 32syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
3412, 25, 333eqtr4d 2776 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (π‘‹πΈπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  .rcmulr 17204  Unitcui 20254  invrcinvr 20286  /rcdvr 20299  SubRingcsubrg 20466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-subrg 20468
This theorem is referenced by:  qsssubdrg  21315  redvr  21505  cvsdiv  25009  qrngdiv  27507  sdrgdvcl  32899
  Copyright terms: Public domain W3C validator