MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgdv 20535
Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdv.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrgdv.2 / = (/rβ€˜π‘…)
subrgdv.3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
subrgdv.4 𝐸 = (/rβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
subrgdv ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (π‘‹πΈπ‘Œ))
Proof of Theorem subrgdv
StepHypRef Expression
1 subrgdv.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
2 eqid 2728 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
3 subrgdv.3 . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
51, 2, 3, 4subrginv 20534 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ))
653adant2 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ))
76oveq2d 7442 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
8 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
91, 8ressmulr 17295 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1110oveqd 7443 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
127, 11eqtrd 2768 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
13 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1413subrgss 20518 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
15143ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
16 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1715, 16sseldd 3983 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
18 eqid 2728 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
191, 18, 3subrguss 20533 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ βŠ† (Unitβ€˜π‘…))
20193ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Unitβ€˜π‘…))
21 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
2220, 21sseldd 3983 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
23 subrgdv.2 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
2413, 8, 18, 2, 23dvrval 20349 . . 3 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2517, 22, 24syl2anc 582 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
261subrgbas 20527 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
27263ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
2816, 27eleqtrd 2831 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
29 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
30 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
31 subrgdv.4 . . . 4 𝐸 = (/rβ€˜π‘†)
3229, 30, 3, 4, 31dvrval 20349 . . 3 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
3328, 21, 32syl2anc 582 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘Œ)))
3412, 25, 333eqtr4d 2778 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (π‘‹πΈπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  .rcmulr 17241  Unitcui 20301  invrcinvr 20333  /rcdvr 20346  SubRingcsubrg 20513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrg 20515
This theorem is referenced by:  qsssubdrg  21366  redvr  21556  cvsdiv  25079  qrngdiv  27577  sdrgdvcl  32989
  Copyright terms: Public domain W3C validator