Theorem subrgdv 20725

Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgdv.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgdv.2	⊢ / = (/r‘𝑅)
subrgdv.3	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
subrgdv.4	⊢ 𝐸 = (/r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subrgdv	⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem subrgdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgdv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
3		subrgdv.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
4		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	subrginv 20724	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invr‘𝑆)‘𝑌))
6	5	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invr‘𝑆)‘𝑌))
7	6	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
8		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	1, 8	ressmulr 17385	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	10	oveqd 7440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑆)‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
12	7, 11	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
13		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13	subrgss 20708	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
15	14	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
16		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	15, 16	sseldd 3941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19	1, 18, 3	subrguss 20723	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
20	19	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
21		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
22	20, 21	sseldd 3941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23		subrgdv.2	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
24	13, 8, 18, 2, 23	dvrval 20518	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	17, 22, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	1	subrgbas 20717	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
27	26	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
28	16, 27	eleqtrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
29		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
31		subrgdv.4	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (/r‘𝑆)
32	29, 30, 3, 4, 31	dvrval 20518	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
33	28, 21, 32	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘𝑌)))
34	12, 25, 33	3eqtr4d 2811	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  ._rcmulr 17336  Unitcui 20470  inv_rcinvr 20502  /_rcdvr 20515  SubRingcsubrg 20705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-subrg 20706

This theorem is used by:  qsssubdrg  21613  redvr  21804  cvsdiv  25328  qrngdiv  27825  sdrgdvcl  33651