MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgdv 19543
Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdv.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgdv.2 / = (/r𝑅)
subrgdv.3 𝑈 = (Unit‘𝑆)
subrgdv.4 𝐸 = (/r𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrgdv ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem subrgdv
StepHypRef Expression
1 subrgdv.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 eqid 2822 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
3 subrgdv.3 . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑆)
4 eqid 2822 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
51, 2, 3, 4subrginv 19542 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) = ((invr𝑆)‘𝑌))
653adant2 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) = ((invr𝑆)‘𝑌))
76oveq2d 7156 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑌)))
8 eqid 2822 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
91, 8ressmulr 16616 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1110oveqd 7157 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
127, 11eqtrd 2857 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
13 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413subrgss 19527 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
15143ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
16 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋𝐴)
1715, 16sseldd 3943 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18 eqid 2822 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
191, 18, 3subrguss 19541 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
20193ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
21 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
2220, 21sseldd 3943 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23 subrgdv.2 . . . 4 / = (/r𝑅)
2413, 8, 18, 2, 23dvrval 19429 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
2517, 22, 24syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
261subrgbas 19535 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
27263ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
2816, 27eleqtrd 2916 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
29 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30 eqid 2822 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
31 subrgdv.4 . . . 4 𝐸 = (/r𝑆)
3229, 30, 3, 4, 31dvrval 19429 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
3328, 21, 32syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
3412, 25, 333eqtr4d 2867 1 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  s cress 16475  .rcmulr 16557  Unitcui 19383  invrcinvr 19415  /rcdvr 19426  SubRingcsubrg 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-subrg 19524
This theorem is referenced by:  qsssubdrg  20148  redvr  20304  cvsdiv  23735  qrngdiv  26206
  Copyright terms: Public domain W3C validator