Theorem swapf1 49930

Description: The object part of the swap functor swaps the objects. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

Proof of Theorem swapf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7411	. 2 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
2		swapf1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
3	2	elfvexd 6915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
4		swapf1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5	4	elfvexd 6915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9	6, 7, 8	xpcbas 18230	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘(𝐶 ×c 𝐷))
10		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
11	3, 5, 6, 9, 10	swapf1val 49925	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
13	12	sneqd 4603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → {𝑥} = {⟨𝑋, 𝑌⟩})
14	13	cnveqd 5859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ◡{𝑥} = ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
15	14	unieqd 4886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
16		opswap 6228	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩} = ⟨𝑌, 𝑋⟩
17	15, 16	eqtrdi 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
18	2, 4	opelxpd 5698	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
19		opex 5443	. . . 4 ⊢ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V)
21	11, 17, 18, 20	fvmptd 6995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
22	1, 21	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4591  ⟨cop 4597  ∪ cuni 4873   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ×_c cxpc 18220   swap_F cswapf 49917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-xpc 18224  df-swapf 49918

This theorem is referenced by:  swapfid  49937  cofuswapf1  49952  cofuswapf2  49953