Theorem swapf1 50502

Description: The object part of the swap functor swaps the objects. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

Proof of Theorem swapf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7427	. 2 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
2		swapf1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
3	2	elfvexd 6926	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
4		swapf1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5	4	elfvexd 6926	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9	6, 7, 8	xpcbas 18361	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘(𝐶 ×c 𝐷))
10		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
11	3, 5, 6, 9, 10	swapf1val 50497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
13	12	sneqd 4592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → {𝑥} = {⟨𝑋, 𝑌⟩})
14	13	cnveqd 5854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ◡{𝑥} = ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
15	14	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
16		opswap 6233	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩} = ⟨𝑌, 𝑋⟩
17	15, 16	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
18	2, 4	opelxpd 5690	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
19		opex 5432	. . . 4 ⊢ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V)
21	11, 17, 18, 20	fvmptd 7006	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
22	1, 21	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396   ×_c cxpc 18351   swap_F cswapf 50489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-hom 17461  df-cco 17462  df-xpc 18355  df-swapf 50490

This theorem is used by:  swapfid  50509  cofuswapf1  50524  cofuswapf2  50525