Theorem swapf1 49234

Description: The object part of the swap functor swaps the objects. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

Proof of Theorem swapf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7372	. 2 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
2		swapf1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
3	2	elfvexd 6879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
4		swapf1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5	4	elfvexd 6879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9	6, 7, 8	xpcbas 18115	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘(𝐶 ×c 𝐷))
10		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
11	3, 5, 6, 9, 10	swapf1val 49229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
13	12	sneqd 4597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → {𝑥} = {⟨𝑋, 𝑌⟩})
14	13	cnveqd 5829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ◡{𝑥} = ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
15	14	unieqd 4880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
16		opswap 6190	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩} = ⟨𝑌, 𝑋⟩
17	15, 16	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
18	2, 4	opelxpd 5670	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
19		opex 5419	. . . 4 ⊢ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V)
21	11, 17, 18, 20	fvmptd 6957	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
22	1, 21	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4867   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ×_c cxpc 18105   swap_F cswapf 49221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-xpc 18109  df-swapf 49222

This theorem is referenced by:  swapfid  49241  cofuswapf1  49256  cofuswapf2  49257