Theorem swapf1 50206

Description: The object part of the swap functor swaps the objects. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapf1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
swapf1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

Proof of Theorem swapf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7420	. 2 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
2		swapf1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
3	2	elfvexd 6918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
4		swapf1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
5	4	elfvexd 6918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐶 ×c 𝐷) = (𝐶 ×c 𝐷)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9	6, 7, 8	xpcbas 18272	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘(𝐶 ×c 𝐷))
10		swapf1.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
11	3, 5, 6, 9, 10	swapf1val 50201	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
13	12	sneqd 4599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → {𝑥} = {⟨𝑋, 𝑌⟩})
14	13	cnveqd 5859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ◡{𝑥} = ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
15	14	unieqd 4883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩})
16		opswap 6229	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{⟨𝑋, 𝑌⟩} = ⟨𝑌, 𝑋⟩
17	15, 16	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ⟨𝑋, 𝑌⟩) → ∪ ◡{𝑥} = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
18	2, 4	opelxpd 5698	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
19		opex 5443	. . . 4 ⊢ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ V)
21	11, 17, 18, 20	fvmptd 6998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
22	1, 21	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587  ⟨cop 4593  ∪ cuni 4870   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ×_c cxpc 18262   swap_F cswapf 50193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-xpc 18266  df-swapf 50194

This theorem is used by:  swapfid  50213  cofuswapf1  50228  cofuswapf2  50229