Theorem swapfid 49311

Description: Each identity morphism in the source category is mapped to the corresponding identity morphism in the target category. See also swapfida 49312. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfid.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapfid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapfid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapfid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑆)
swapfid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
swapfid	⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem swapfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
2		swapfid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		swapfid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		swapfid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)
9		swapfid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
10		swapfid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	xpcid 18090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
12		df-ov 7344	. . . 4 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
13		swapfid.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
14	13, 10, 9	swapf1 49304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
15	12, 14	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
16	15	fveq2d 6821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩))
17		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
18		swapfid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝑆)
19	17, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 18, 10, 9	xpcid 18090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
20	19	fveq2d 6821	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
21		df-ov 7344	. . . 4 ⊢ (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
23		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
24	5, 23, 7, 3, 10	catidcl 17583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
25		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
26	4, 25, 6, 2, 9	catidcl 17583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑌))
27	13, 10, 9, 10, 9, 24, 26	swapf2 49306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
28	20, 22, 27	3eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
29	11, 16, 28	3eqtr4rd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  Hom chom 17167  Catccat 17565  Idccid 17566   ×_c cxpc 18069   swap_F cswapf 49291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-xpc 18073  df-swapf 49292

This theorem is referenced by:  swapfida  49312