Theorem swapfid 50208

Description: Each identity morphism in the source category is mapped to the corresponding identity morphism in the target category. See also swapfida 50209. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfid.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapfid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapfid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapfid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑆)
swapfid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
swapfid	⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem swapfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
2		swapfid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		swapfid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		swapfid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)
9		swapfid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
10		swapfid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	xpcid 18280	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
12		df-ov 7417	. . . 4 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
13		swapfid.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
14	13, 10, 9	swapf1 50201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
15	12, 14	eqtr3id 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
16	15	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩))
17		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
18		swapfid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝑆)
19	17, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 18, 10, 9	xpcid 18280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
20	19	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
21		df-ov 7417	. . . 4 ⊢ (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
24	5, 23, 7, 3, 10	catidcl 17773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
25		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
26	4, 25, 6, 2, 9	catidcl 17773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑌))
27	13, 10, 9, 10, 9, 24, 26	swapf2 50203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
28	20, 22, 27	3eqtr2d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
29	11, 16, 28	3eqtr4rd 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Hom chom 17356  Catccat 17755  Idccid 17756   ×_c cxpc 18259   swap_F cswapf 50188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-hom 17369  df-cco 17370  df-cat 17759  df-cid 17760  df-xpc 18263  df-swapf 50189

This theorem is used by:  swapfida  50209