Theorem swapfid 49942

Description: Each identity morphism in the source category is mapped to the corresponding identity morphism in the target category. See also swapfida 49943. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfid.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapfid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapfid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapfid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑆)
swapfid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
swapfid	⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem swapfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
2		swapfid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		swapfid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		swapfid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)
9		swapfid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
10		swapfid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	xpcid 18245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
12		df-ov 7414	. . . 4 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
13		swapfid.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
14	13, 10, 9	swapf1 49935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
15	12, 14	eqtr3id 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
16	15	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩))
17		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
18		swapfid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝑆)
19	17, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 18, 10, 9	xpcid 18245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
20	19	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
21		df-ov 7414	. . . 4 ⊢ (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
23		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
24	5, 23, 7, 3, 10	catidcl 17738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
25		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
26	4, 25, 6, 2, 9	catidcl 17738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑌))
27	13, 10, 9, 10, 9, 24, 26	swapf2 49937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
28	20, 22, 27	3eqtr2d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
29	11, 16, 28	3eqtr4rd 2815	1 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  Hom chom 17321  Catccat 17720  Idccid 17721   ×_c cxpc 18224   swap_F cswapf 49922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-cat 17724  df-cid 17725  df-xpc 18228  df-swapf 49923

This theorem is referenced by:  swapfida  49943