Theorem swapfid 50540

Description: Each identity morphism in the source category is mapped to the corresponding identity morphism in the target category. See also swapfida 50541. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfid.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapfid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapfid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapfid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑆)
swapfid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
swapfid	⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem swapfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
2		swapfid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		swapfid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		swapfid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)
9		swapfid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
10		swapfid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	xpcid 18375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
12		df-ov 7430	. . . 4 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
13		swapfid.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
14	13, 10, 9	swapf1 50533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
15	12, 14	eqtr3id 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
16	15	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩))
17		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
18		swapfid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝑆)
19	17, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 18, 10, 9	xpcid 18375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
20	19	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
21		df-ov 7430	. . . 4 ⊢ (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
24	5, 23, 7, 3, 10	catidcl 17868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
25		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
26	4, 25, 6, 2, 9	catidcl 17868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑌))
27	13, 10, 9, 10, 9, 24, 26	swapf2 50535	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
28	20, 22, 27	3eqtr2d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
29	11, 16, 28	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4837  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  Hom chom 17451  Catccat 17850  Idccid 17851   ×_c cxpc 18354   swap_F cswapf 50520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-hom 17464  df-cco 17465  df-cat 17854  df-cid 17855  df-xpc 18358  df-swapf 50521

This theorem is used by:  swapfida  50541