Theorem swapfid 49250

Description: Each identity morphism in the source category is mapped to the corresponding identity morphism in the target category. See also swapfida 49251. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfid.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapfid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
swapfid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
swapfid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑆)
swapfid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
swapfid	⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem swapfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapfid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
2		swapfid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		swapfid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		swapfid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑇)
9		swapfid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐷))
10		swapfid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	xpcid 18156	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
12		df-ov 7392	. . . 4 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
13		swapfid.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
14	13, 10, 9	swapf1 49243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
15	12, 14	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨𝑌, 𝑋⟩)
16	15	fveq2d 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝑋⟩))
17		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
18		swapfid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝑆)
19	17, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 18, 10, 9	xpcid 18156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = ⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
20	19	fveq2d 6864	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
21		df-ov 7392	. . . 4 ⊢ (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘⟨((Id‘𝐶)‘𝑋), ((Id‘𝐷)‘𝑌)⟩))
23		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
24	5, 23, 7, 3, 10	catidcl 17649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
25		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
26	4, 25, 6, 2, 9	catidcl 17649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ (𝑌(Hom ‘𝐷)𝑌))
27	13, 10, 9, 10, 9, 24, 26	swapf2 49245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Id‘𝐶)‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)((Id‘𝐷)‘𝑌)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
28	20, 22, 27	3eqtr2d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = ⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
29	11, 16, 28	3eqtr4rd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑋, 𝑌⟩𝑃⟨𝑋, 𝑌⟩)‘( 1 ‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐼‘(𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4597  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  Hom chom 17237  Catccat 17631  Idccid 17632   ×_c cxpc 18135   swap_F cswapf 49230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-xpc 18139  df-swapf 49231

This theorem is referenced by:  swapfida  49251