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Theorem pfxccat3 14629
Description: The subword of a concatenation is either a subword of the first concatenated word or a subword of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pfxccat3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))))

Proof of Theorem pfxccat3
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑁𝐿) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
3 lencl 14428 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
8 swrdccatin2.l . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐿 = (♯‘𝐴)
98breq2i 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝐿𝑁 ≤ (♯‘𝐴))
109biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝐿𝑁 ≤ (♯‘𝐴))
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → 𝑁 ≤ (♯‘𝐴))
12 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝐴)))
136, 7, 11, 12syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
1413exp31 421 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))))
1514adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))))
163, 15syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁𝐿𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))))
1716adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁𝐿𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))))
1817imp 408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁𝐿𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
1918imp 408 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑁𝐿) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
202, 19jca 513 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
21 swrdccatin1 14620 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
221, 20, 21sylc 65 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
23 simp1l 1198 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
248eleq1i 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
25 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
26 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
28 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
29283ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
31 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
32313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3427, 30, 333jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
36 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀𝑁)
3736anim1ci 617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑀) → (𝐿𝑀𝑀𝑁))
38 elfz2 13438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑀𝑀𝑁)))
3935, 37, 38sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
4039exp31 421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
4125, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
4342com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
4424, 43sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
453, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
4645adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
4746imp 408 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁)))
4847a1d 25 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝐿𝑀𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))))
49483imp 1112 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
50 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))
51 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
528, 51eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → 𝐿 ∈ ℤ)
55 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0 → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
56553ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
58283ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6054, 57, 593jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
618eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (♯‘𝐴) = 𝐿
6261eleq1i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
63 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
64 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
65 ltnle 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
6663, 64, 65syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
6766bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝐿𝐿 < 𝑁))
68 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁𝐿𝑁))
6963, 64, 68syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝑁𝐿𝑁))
7067, 69sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁))
7170ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁)))
7262, 71biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁)))
73723ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁)))
7473imp32 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → 𝐿𝑁)
75 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))
7674, 75jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))
77 elfz2 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))))
7860, 76, 77sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁𝐿)) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
7978exp32 422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
8050, 79sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
8180adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
823, 81syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
8382adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
8483imp 408 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
8584a1dd 50 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝐿𝑀𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
86853imp 1112 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
8749, 86jca 513 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
888swrdccatin2 14624 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
8923, 87, 88sylc 65 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
90 simp1l 1198 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
91 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
9291adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
93 ltnle 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝑀))
9492, 63, 93syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝑀))
9594bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (¬ 𝐿𝑀𝑀 < 𝐿))
96 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝑀 ∈ ℕ0)
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
98 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿𝑀𝐿))
9991, 63, 98syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿𝑀𝐿))
10099imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝑀𝐿)
101 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
10296, 97, 100, 101syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
103102exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝑀 ∈ (0...𝐿))))
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝑀 ∈ (0...𝐿))))
105104impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝐿𝑀 ∈ (0...𝐿)))
10695, 105sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿)))
107106expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
1081073adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
10925, 108sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
11062, 109biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
111110adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
1123, 111syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
113112adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
114113imp 408 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿)))
115114a1d 25 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (¬ 𝑁𝐿 → (¬ 𝐿𝑀𝑀 ∈ (0...𝐿))))
1161153imp 1112 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
117643ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝑁 ∈ ℝ)
11865bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁𝐿𝐿 < 𝑁))
11963, 117, 118syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (¬ 𝑁𝐿𝐿 < 𝑁))
12026adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → 𝐿 ∈ ℤ)
12156adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
12258adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
123120, 121, 1223jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
124123adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝐿 < 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
12563, 117, 68syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 < 𝑁𝐿𝑁))
126125imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝐿 < 𝑁) → 𝐿𝑁)
127 simplr3 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝐿 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))
128126, 127jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝐿 < 𝑁) → (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))
129124, 128, 77sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝐿 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
130129ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 < 𝑁𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
131119, 130sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
132131ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
13362, 132sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
1343, 133syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
135134adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
136135com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
13750, 136sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
138137adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
139138impcom 409 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
140139a1dd 50 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (¬ 𝑁𝐿 → (¬ 𝐿𝑀𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
1411403imp 1112 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
142116, 141jca 513 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
1438pfxccatin12 14628 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))
14490, 142, 143sylc 65 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
14522, 89, 1442if2 4546 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
146145ex 414 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4491  cop 4597   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  0cn0 12420  cz 12506  ...cfz 13431  chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465   substr csubstr 14535   prefix cpfx 14565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-substr 14536  df-pfx 14566
This theorem is referenced by:  swrdccat  14630  swrdccat3b  14635
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