Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnnn0nd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnnn0nd 14013
 Description: The value of a subword operation for arguments not being nonnegative integers is the empty set. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdnnn0nd ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)

Proof of Theorem swrdnnn0nd
StepHypRef Expression
1 ianor 979 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
2 ianor 979 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
3 elnn0z 11986 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹))
42, 3xchnxbir 336 . . . . . 6 𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
5 ianor 979 . . . . . . 7 (¬ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
6 elnn0z 11986 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
75, 6xchnxbir 336 . . . . . 6 𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
84, 7orbi12i 912 . . . . 5 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
9 or4 924 . . . . . 6 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
10 ianor 979 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ))
1110bicomi 227 . . . . . . 7 ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
1211orbi1i 911 . . . . . 6 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
139, 12bitri 278 . . . . 5 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
148, 13bitri 278 . . . 4 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
151, 14bitri 278 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
16 swrdnznd 13999 . . . . 5 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1716a1d 25 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
18 notnotb 318 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
19 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
20 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
2119, 20jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
22213ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
23 ltnle 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
25 orc 864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 < 0 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
2624, 25syl6bir 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 ≤ 𝐹 → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
28 notnotb 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹))
30 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
31 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
3230, 31jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
33323ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
34 ltnle 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
3629, 35anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹𝐿 < 0) ↔ (¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
37303ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
38 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
39193ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ ℝ)
40 ltleletr 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿𝐹))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿𝐹))
42 olc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
4341, 42syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4443ancomsd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹𝐿 < 0) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4536, 44sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4727, 46jaoi3 1056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4847impcom 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
4948orcd 870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
50 df-3or 1085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
5149, 50sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
52 swrdnd 14011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5352imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5451, 53syldan 594 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5554ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
56553expb 1117 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5756expcom 417 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5857com23 86 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5918, 58sylbir 238 . . . . 5 (¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6059imp 410 . . . 4 ((¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6117, 60jaoi3 1056 . . 3 ((¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6215, 61sylbi 220 . 2 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6362impcom 411 1 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∅c0 4246  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ♯chash 13690  Word cword 13861   substr csubstr 13997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-substr 13998 This theorem is referenced by:  swrdnd0  14014  pfxval0  14033
 Copyright terms: Public domain W3C validator