Theorem swrdnnn0nd 14726

Description: The value of a subword operation for arguments not being nonnegative integers is the empty set. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnnn0nd	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)

Proof of Theorem swrdnnn0nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 997	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
2		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
3		elnn0z 12628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹))
4	2, 3	xchnxbir 336	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
5		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
6		elnn0z 12628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
7	5, 6	xchnxbir 336	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
8	4, 7	orbi12i 928	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
9		or4 940	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
10		ianor 997	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ))
11	10	bicomi 227	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
12	11	orbi1i 927	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
13	9, 12	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
14	8, 13	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
15	1, 14	bitri 278	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
16		swrdnznd 14710	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
17	16	a1d 26	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
18		notnotb 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
19		zre 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
20		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21	19, 20	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
22	21	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
23		ltnle 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
25		orc 881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 < 0 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
26	24, 25	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹)))
27	26	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 0 ≤ 𝐹 → ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹)))
28		notnotb 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹))
30		zre 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
31		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
32	30, 31	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
33	32	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
34		ltnle 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
36	29, 35	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 < 0) ↔ (¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
37	30	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
38		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
39	19	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ ℝ)
40		ltleletr 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿 ≤ 𝐹))
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿 ≤ 𝐹))
42		olc 882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
43	41, 42	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹)))
44	43	ancomsd 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 < 0) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹)))
45	36, 44	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹)))
46	45	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹)))
47	27, 46	jaoi3 1076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹)))
48	47	impcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
49	48	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
50		df-3or 1104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
51	49, 50	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
52		swrdnd 14724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
53	52	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
54	51, 53	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
55	54	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
56	55	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
57	56	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
58	57	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
59	18, 58	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
60	59	imp 412	. . . 4 ⊢ ((¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
61	17, 60	jaoi3 1076	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
62	15, 61	sylbi 220	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
63	62	impcom 413	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ♯chash 14394  Word cword 14578   substr csubstr 14708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-substr 14709

This theorem is used by:  swrdnd0  14727  pfxval0  14746