MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnnn0nd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnnn0nd 14694
Description: The value of a subword operation for arguments not being nonnegative integers is the empty set. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdnnn0nd ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)

Proof of Theorem swrdnnn0nd
StepHypRef Expression
1 ianor 984 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
2 ianor 984 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
3 elnn0z 12626 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹))
42, 3xchnxbir 333 . . . . . 6 𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
5 ianor 984 . . . . . . 7 (¬ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
6 elnn0z 12626 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
75, 6xchnxbir 333 . . . . . 6 𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
84, 7orbi12i 915 . . . . 5 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
9 or4 927 . . . . . 6 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
10 ianor 984 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ))
1110bicomi 224 . . . . . . 7 ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
1211orbi1i 914 . . . . . 6 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
139, 12bitri 275 . . . . 5 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
148, 13bitri 275 . . . 4 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
151, 14bitri 275 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
16 swrdnznd 14680 . . . . 5 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1716a1d 25 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
18 notnotb 315 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
19 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
20 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
2119, 20jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
22213ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
23 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
25 orc 868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 < 0 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
2624, 25biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 ≤ 𝐹 → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
28 notnotb 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹))
30 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
31 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
3230, 31jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
33323ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
34 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
3629, 35anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹𝐿 < 0) ↔ (¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
37303ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
38 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
39193ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ ℝ)
40 ltleletr 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿𝐹))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿𝐹))
42 olc 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
4341, 42syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4443ancomsd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹𝐿 < 0) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4536, 44sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4727, 46jaoi3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4847impcom 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
4948orcd 874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
50 df-3or 1088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
5149, 50sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
52 swrdnd 14692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5352imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5451, 53syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5554ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
56553expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5756expcom 413 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5857com23 86 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5918, 58sylbir 235 . . . . 5 (¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6059imp 406 . . . 4 ((¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6117, 60jaoi3 1061 . . 3 ((¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6215, 61sylbi 217 . 2 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6362impcom 407 1 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526  cz 12613  chash 14369  Word cword 14552   substr csubstr 14678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679
This theorem is referenced by:  swrdnd0  14695  pfxval0  14714
  Copyright terms: Public domain W3C validator