MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnnn0nd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnnn0nd 14690
Description: The value of a subword operation for arguments not being nonnegative integers is the empty set. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdnnn0nd ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)

Proof of Theorem swrdnnn0nd
StepHypRef Expression
1 ianor 983 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
2 ianor 983 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
3 elnn0z 12623 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐹))
42, 3xchnxbir 333 . . . . . 6 𝐹 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹))
5 ianor 983 . . . . . . 7 (¬ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
6 elnn0z 12623 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
75, 6xchnxbir 333 . . . . . 6 𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿))
84, 7orbi12i 914 . . . . 5 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
9 or4 926 . . . . . 6 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
10 ianor 983 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ))
1110bicomi 224 . . . . . . 7 ((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
1211orbi1i 913 . . . . . 6 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
139, 12bitri 275 . . . . 5 (((¬ 𝐹 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐹) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℤ ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
148, 13bitri 275 . . . 4 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
151, 14bitri 275 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
16 swrdnznd 14676 . . . . 5 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1716a1d 25 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
18 notnotb 315 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ ¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
19 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
20 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
2119, 20jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
22213ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
23 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
25 orc 867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 < 0 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
2624, 25biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 ≤ 𝐹 → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
28 notnotb 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ ¬ ¬ 0 ≤ 𝐹))
30 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
31 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
3230, 31jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
33323ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
34 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐿))
3629, 35anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹𝐿 < 0) ↔ (¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿)))
37303ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
38 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
39193ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ ℝ)
40 ltleletr 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿𝐹))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → 𝐿𝐹))
42 olc 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿𝐹 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
4341, 42syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 < 0 ∧ 0 ≤ 𝐹) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4443ancomsd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐹𝐿 < 0) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4536, 44sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ¬ 0 ≤ 𝐹 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4727, 46jaoi3 1060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹)))
4847impcom 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹))
4948orcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
50 df-3or 1087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹) ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
5149, 50sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
52 swrdnd 14688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5352imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5451, 53syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5554ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
56553expb 1119 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5756expcom 413 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5857com23 86 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5918, 58sylbir 235 . . . . 5 (¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6059imp 406 . . . 4 ((¬ ¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6117, 60jaoi3 1060 . . 3 ((¬ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∨ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6215, 61sylbi 217 . 2 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6362impcom 407 1 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  c0 4338  cop 4636   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523  cz 12610  chash 14365  Word cword 14548   substr csubstr 14674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-substr 14675
This theorem is referenced by:  swrdnd0  14691  pfxval0  14710
  Copyright terms: Public domain W3C validator