Theorem dvmptid 25933

Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
dvmptid	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		dvmptid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3	1	cnfldtopon 24743	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4		toponmax 22872	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
6		recnprss 25877	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	2, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		dfss2 3962	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
10		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		1cnd 11241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
12		mptresid 6055	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
13	12	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) = ( I ↾ ℂ)
14	13	oveq2i 7430	. . . 4 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
15		dvid 25891	. . . 4 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
16		fconstmpt 5740	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
17	14, 15, 16	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
19	1, 2, 5, 9, 10, 11, 18	dvmptres3 25932	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  {csn 4630  {cpr 4632   ↦ cmpt 5232   I cid 5575   × cxp 5676   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  1c1 11141  TopOpenctopn 17406  ℂ_fldccnfld 21296  TopOnctopon 22856   D cdv 25836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-icc 13366  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-rest 17407  df-topn 17408  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840

This theorem is referenced by:  dvef  25956  dvsincos  25957  mvth  25969  dvlipcn  25971  dvivthlem1  25985  lhop2  25992  dvfsumle  25998  dvfsumleOLD  25999  dvfsumabs  26001  dvfsumlem2  26005  dvfsumlem2OLD  26006  dvtaylp  26350  taylthlem2  26354  taylthlem2OLD  26355  pige3ALT  26499  advlog  26633  advlogexp  26634  logtayl  26639  dvcxp1  26719  dvcxp2  26720  dvcncxp1  26722  loglesqrt  26738  dvatan  26912  lgamgulmlem2  27007  log2sumbnd  27522  itgexpif  34369  dvasin  37308  areacirclem1  37312  lcmineqlem7  41638  lcmineqlem12  41643  lhe4.4ex1a  43908  expgrowthi  43912  expgrowth  43914  binomcxplemdvbinom  43932  dvsinax  45439  dvmptidg  45443  dvcosax  45452  itgiccshift  45506  itgperiod  45507  itgsbtaddcnst  45508  dirkeritg  45628  fourierdlem39  45672  fourierdlem56  45688  fourierdlem60  45692  fourierdlem61  45693  fourierdlem62  45694  etransclem46  45806