Theorem dvmptid 25934

Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
dvmptid	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		dvmptid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3	1	cnfldtopon 24757	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4		toponmax 22901	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
6		recnprss 25881	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	2, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		dfss2 3908	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
10		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		1cnd 11130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
12		mptresid 6010	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
13	12	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) = ( I ↾ ℂ)
14	13	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
15		dvid 25895	. . . 4 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
16		fconstmpt 5686	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
17	14, 15, 16	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
19	1, 2, 5, 9, 10, 11, 18	dvmptres3 25933	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  1c1 11030  TopOpenctopn 17375  ℂ_fldccnfld 21344  TopOnctopon 22885   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  dvef  25957  dvsincos  25958  mvth  25969  dvlipcn  25971  dvivthlem1  25985  lhop2  25992  dvfsumle  25998  dvfsumabs  26000  dvfsumlem2  26004  dvtaylp  26347  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  pige3ALT  26497  advlog  26631  advlogexp  26632  logtayl  26637  dvcxp1  26717  dvcxp2  26718  dvcncxp1  26720  loglesqrt  26738  dvatan  26912  lgamgulmlem2  27007  log2sumbnd  27521  itgexpif  34766  dvasin  38039  areacirclem1  38043  lcmineqlem7  42488  lcmineqlem12  42493  redvmptabs  42806  lhe4.4ex1a  44774  expgrowthi  44778  expgrowth  44780  binomcxplemdvbinom  44798  dvsinax  46359  dvmptidg  46363  dvcosax  46372  itgiccshift  46426  itgperiod  46427  itgsbtaddcnst  46428  dirkeritg  46548  fourierdlem39  46592  fourierdlem56  46608  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem62  46614  etransclem46  46726