Theorem dvmptc 26082

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		dvmptid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3	1	cnfldtopon 24904	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4		toponmax 23048	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
5	3, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
6		recnprss 26028	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	2, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		dfss2 3931	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
10		dvmptc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		0cnd 11195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
13		dvconst 26041	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
14	10, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
15		fconstmpt 5721	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
16	15	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
17		fconstmpt 5721	. . 3 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
18	14, 16, 17	3eqtr3g 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
19	1, 2, 5, 9, 11, 12, 18	dvmptres3 26080	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4591  {cpr 4593   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  TopOpenctopn 17470  ℂ_fldccnfld 21487  TopOnctopon 23032   D cdv 25987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-icc 13375  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17471  df-topn 17472  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991

This theorem is referenced by:  dvmptcmul  26088  dvmptfsum  26099  dvef  26104  rolle  26114  dvlipcn  26118  dvtaylp  26495  taylthlem2  26499  advlog  26781  advlogexp  26782  logtayl  26787  loglesqrt  26888  dvatan  27062  lgamgulmlem2  27156  log2sumbnd  27670  dvasin  38238  dvacos  38239  areacirclem1  38242  lcmineqlem7  42687  lcmineqlem12  42692  aks4d1p1p6  42725  lhe4.4ex1a  44924  binomcxplemdvbinom  44948  dvsinax  46512  dvmptconst  46514  dvasinbx  46519  dvcosax  46525  itgiccshift  46579  itgperiod  46580  itgsbtaddcnst  46581  fourierdlem60  46765  fourierdlem61  46766