Theorem dvmptc 26010

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		dvmptid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3	1	cnfldtopon 24818	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4		toponmax 22947	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
6		recnprss 25953	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	2, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		dfss2 3980	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
10		dvmptc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		0cnd 11251	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
13		dvconst 25966	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
15		fconstmpt 5750	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
16	15	oveq2i 7441	. . 3 ⊢ (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
17		fconstmpt 5750	. . 3 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
18	14, 16, 17	3eqtr3g 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
19	1, 2, 5, 9, 11, 12, 18	dvmptres3 26008	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  {csn 4630  {cpr 4632   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  TopOpenctopn 17467  ℂ_fldccnfld 21381  TopOnctopon 22931   D cdv 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  dvmptcmul  26016  dvmptfsum  26027  dvef  26032  rolle  26042  dvlipcn  26047  dvtaylp  26426  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  advlog  26710  advlogexp  26711  logtayl  26716  loglesqrt  26818  dvatan  26992  lgamgulmlem2  27087  log2sumbnd  27602  dvasin  37690  dvacos  37691  areacirclem1  37694  lcmineqlem7  42016  lcmineqlem12  42021  aks4d1p1p6  42054  lhe4.4ex1a  44324  binomcxplemdvbinom  44348  dvsinax  45868  dvmptconst  45870  dvasinbx  45875  dvcosax  45881  itgiccshift  45935  itgperiod  45936  itgsbtaddcnst  45937  fourierdlem60  46121  fourierdlem61  46122