Theorem dvmptc 26185

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		dvmptid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3	1	cnfldtopon 25008	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4		toponmax 23151	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
5	3, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
6		recnprss 26131	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	2, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		dfss2 3917	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
10		dvmptc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		0cnd 11223	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
13		dvconst 26144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
14	10, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
15		fconstmpt 5717	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
16	15	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
17		fconstmpt 5717	. . 3 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
18	14, 16, 17	3eqtr3g 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
19	1, 2, 5, 9, 11, 12, 18	dvmptres3 26183	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  TopOpenctopn 17506  ℂ_fldccnfld 21585  TopOnctopon 23135   D cdv 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-icc 13405  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-rest 17507  df-topn 17508  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  dvmptcmul  26191  dvmptfsum  26202  dvef  26207  rolle  26217  dvlipcn  26221  dvtaylp  26606  taylthlem2  26610  advlog  26891  advlogexp  26892  logtayl  26897  loglesqrt  26998  dvatan  27172  lgamgulmlem2  27266  log2sumbnd  27780  dvasin  38453  dvacos  38454  areacirclem1  38457  lcmineqlem7  42901  lcmineqlem12  42906  aks4d1p1p6  42939  lhe4.4ex1a  45153  binomcxplemdvbinom  45177  dvsinax  46741  dvmptconst  46743  dvasinbx  46748  dvcosax  46754  itgiccshift  46808  itgperiod  46809  itgsbtaddcnst  46810  fourierdlem60  46994  fourierdlem61  46995