Theorem dvmptc 24855

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		dvmptid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3	1	cnfldtopon 23680	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4		toponmax 21823	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
6		recnprss 24801	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	2, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		df-ss 3883	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
10		dvmptc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		0cnd 10826	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
13		dvconst 24814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
15		fconstmpt 5611	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
16	15	oveq2i 7224	. . 3 ⊢ (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
17		fconstmpt 5611	. . 3 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
18	14, 16, 17	3eqtr3g 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
19	1, 2, 5, 9, 11, 12, 18	dvmptres3 24853	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  {csn 4541  {cpr 4543   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  TopOpenctopn 16926  ℂ_fldccnfld 20363  TopOnctopon 21807   D cdv 24760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-rest 16927  df-topn 16928  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764

This theorem is referenced by:  dvmptcmul  24861  dvmptfsum  24872  dvef  24877  rolle  24887  dvlipcn  24891  dvtaylp  25262  taylthlem2  25266  advlog  25542  advlogexp  25543  logtayl  25548  loglesqrt  25644  dvatan  25818  lgamgulmlem2  25912  log2sumbnd  26425  dvasin  35598  dvacos  35599  areacirclem1  35602  lcmineqlem7  39777  lcmineqlem12  39782  aks4d1p1p6  39814  lhe4.4ex1a  41620  binomcxplemdvbinom  41644  dvsinax  43129  dvmptconst  43131  dvasinbx  43136  dvcosax  43142  itgiccshift  43196  itgperiod  43197  itgsbtaddcnst  43198  fourierdlem60  43382  fourierdlem61  43383