Theorem umgr2cwwkdifex 29297

Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a undirected simple graph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cwwkdifex	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Proof of Theorem umgr2cwwkdifex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b2 12900	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
2		1nn0 12483	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℕ0)
4		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
6		elfzo0 13668	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7	3, 4, 5, 6	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ (0..^𝑁))
8	1, 7	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ (0..^𝑁))
9	8	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
10		fveq2 6887	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘1))
11	10	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘1))
12	11	neeq1d 3001	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0)))
13		umgr2cwwk2dif 29296	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
14	9, 12, 13	rspcedvd 3613	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5146  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  0cc0 11105  1c1 11106   < clt 11243  ℕcn 12207  2c2 12262  ℕ₀cn0 12467  ℤ_≥cuz 12817  ..^cfzo 13622  UMGraphcumgr 28320   ClWWalksN cclwwlkn 29256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-n0 12468  df-xnn0 12540  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-hash 14286  df-word 14460  df-edg 28287  df-umgr 28322  df-clwwlk 29214  df-clwwlkn 29257

This theorem is referenced by:  umgrhashecclwwlk  29310