Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2cwwkdifex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cwwkdifex 27942
 Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a undirected simple graph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgr2cwwkdifex ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Proof of Theorem umgr2cwwkdifex
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 12354 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
2 1nn0 11943 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℕ0)
4 simpl 487 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 simpr 489 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
6 elfzo0 13120 . . . . 5 (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
73, 4, 5, 6syl3anbrc 1341 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ (0..^𝑁))
81, 7sylbi 220 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ (0..^𝑁))
983ad2ant2 1132 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
10 fveq2 6659 . . . 4 (𝑖 = 1 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
1110adantl 486 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
1211neeq1d 3011 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0)))
13 umgr2cwwk2dif 27941 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
149, 12, 13rspcedvd 3545 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∃wrex 3072   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10568  1c1 10569   < clt 10706  ℕcn 11667  2c2 11722  ℕ0cn0 11927  ℤ≥cuz 12275  ..^cfzo 13075  UMGraphcumgr 26966   ClWWalksN cclwwlkn 27901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-dju 9356  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-xnn0 12000  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-hash 13734  df-word 13907  df-edg 26933  df-umgr 26968  df-clwwlk 27859  df-clwwlkn 27902 This theorem is referenced by:  umgrhashecclwwlk  27955
 Copyright terms: Public domain W3C validator