Theorem eluz2b2 13041

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))

Proof of Theorem eluz2b2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b1 13039	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
2		1re 11301	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		zre 12690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		ltle 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (1 < 𝑁 → 1 ≤ 𝑁))
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 → 1 ≤ 𝑁))
6	5	imdistani 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
7		elnnz1 12715	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
8	6, 7	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
10	8, 9	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
11		nnz 12707	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anim1i 627	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
13	10, 12	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
14	1, 13	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  ℝcr 11192  1c1 11194   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  2c2 12390  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959

This theorem is used by:  eluz2b3  13042  nprmi  16857  ge2nprmge4  16870  pockthlem  17076  prmunb  17085  prmlem1a  17277  sylow3lem6  19839  chtge0  27432  muval1  27453  chtwordi  27476  vma1  27486  mersenne  27547  perfectlem2  27550  lgsne0  27655  chtppilimlem1  27793  padicabvcxp  27952  ostth2lem3  27955  ostth2lem4  27956  ostth2  27957  ostth3  27958  umgr2cwwkdifex  30649  ex-mod  31043  rmspecnonsq  43893  rmspecfund  43895  ltrmxnn0  43935  itgsinexp  46934  wallispilem3  47046  fmtno4prm  48629  perfectALTVlem2  48789