Theorem wpthswwlks2on 30562

Description: For two different vertices, a walk of length 2 between these vertices is a simple path of length 2 between these vertices in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-Mar-2022.) (Revised by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wpthswwlks2on	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

Proof of Theorem wpthswwlks2on

Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknon 30455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑤 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)))
3	2	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤) ↔ ((𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
4		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ↔ (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)))
5	4	anbi1i 636	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤) ↔ ((𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤))
6		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
7	5, 6	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
8	3, 7	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤))))
9	8	rabbidva2 3414	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤} = {𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)})
10		usgruspgr 29770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		wlklnwwlkn 30482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ 𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ 𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
13	12	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
15		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑤)
16		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) → (𝑤‘0) = 𝐴)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (𝑤‘0) = 𝐴)
18		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑤‘(♯‘𝑓)) = (𝑤‘2))
19	18	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (𝑤‘(♯‘𝑓)) = (𝑤‘2))
20		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) → (𝑤‘2) = 𝐵)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (𝑤‘2) = 𝐵)
22	19, 21	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (𝑤‘(♯‘𝑓)) = 𝐵)
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24	23	wlkp 30206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 → 𝑤:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))
25		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (0...(♯‘𝑓)) = (0...2))
26	25	feq2d 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑤:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)))
27	24, 26	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 → ((♯‘𝑓) = 2 → 𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)))
28	27	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → 𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺))
29		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → 𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺))
30		2nn0 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31		0elfz 13765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...2))
32	30, 31	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → 0 ∈ (0...2))
33	29, 32	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
34		nn0fz0 13766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℕ0 ↔ 2 ∈ (0...2))
35	30, 34	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ (0...2)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → 2 ∈ (0...2))
37	29, 36	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑤‘2) ∈ (Vtx‘𝐺))
38	33, 37	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤‘2) ∈ (Vtx‘𝐺)))
39	28, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤‘2) ∈ (Vtx‘𝐺)))
40		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝐴 → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤‘2) = 𝐵 → ((𝑤‘2) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
42	40, 41	bi2anan9 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) → (((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤‘2) ∈ (Vtx‘𝐺)) ↔ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))))
43	39, 42	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))))
44	43	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))))
45	44	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
46		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑓 ∈ V
47		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑤 ∈ V
48	46, 47	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V)
49	23	iswlkon 30245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V)) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑤 ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘(♯‘𝑓)) = 𝐵)))
50	45, 48, 49	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑤 ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘(♯‘𝑓)) = 𝐵)))
51	15, 17, 22, 50	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑤)
52		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → 𝐺 ∈ USGraph)
53		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (♯‘𝑓) = 2)
54		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
55		usgr2wlkspth 30354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑤 ↔ 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑤 ↔ 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤))
57	51, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2)) → 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)
58	57	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤))
59	58	eximdv 1949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)) → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤))
60	59	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
61	60	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)𝑤 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
62	14, 61	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
63	62	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤))
64	63	pm4.71d 571	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ↔ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
65	64	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺)) → ((((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤) ↔ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)))
66	65	rabbidva 3418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)} = {𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)})
67	9, 66	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤} = {𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)})
68	23	iswspthsnon 30454	. 2 ⊢ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = {𝑤 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤}
69	23	iswwlksnon 30451	. 2 ⊢ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = {𝑤 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘2) = 𝐵)}
70	67, 68, 69	3eqtr4g 2820	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ...cfz 13646  ♯chash 14481  Vtxcvtx 29583  USPGraphcuspgr 29738  USGraphcusgr 29739  Walkscwlks 30186  WalksOncwlkson 30187  SPathsOncspthson 30307   WWalksN cwwlksn 30424   WWalksNOn cwwlksnon 30425   WSPathsNOn cwwspthsnon 30427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-edg 29635  df-uhgr 29645  df-upgr 29669  df-umgr 29670  df-uspgr 29740  df-usgr 29741  df-wlks 30189  df-wlkson 30190  df-trls 30284  df-trlson 30285  df-pths 30308  df-spths 30309  df-pthson 30310  df-spthson 30311  df-wwlks 30428  df-wwlksn 30429  df-wwlksnon 30430  df-wspthsnon 30432

This theorem is used by:  usgr2wspthons3  30565  frgr2wsp1  30940