Theorem wwlksnwwlksnon 30369

Description: A walk of fixed length is a walk of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wwlksnwwlksnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 30298	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		wwlksnwwlksnon.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	eqcomi 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
4	3	wrdeqi 14604	. . . . . . . . 9 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
5	4	eleq2i 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		nn0p1nn 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
12		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
13	12	eleq2d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
15	11, 14	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdsymbcl 14594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
18	7, 16, 17	syl2an2 699	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
19		fzonn0p1 13800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
21	12	eleq2d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
22	21	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
23	20, 22	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24		wrdsymbcl 14594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
25	7, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
27		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
28		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
29		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))
30		eqeq2 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
31	30	3anbi2d 1469	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏)))
32		eqeq2 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘𝑁) → ((𝑊‘𝑁) = 𝑏 ↔ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁)))
33	32	3anbi3d 1470	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘𝑁) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))))
34	31, 33	rspc2ev 3592	. . . . 5 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
35	18, 26, 27, 28, 29, 34	syl113anc 1409	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
36	1, 35	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
37		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
39	38	rexlimivv 3206	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
40	36, 39	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
41		wwlknon 30311	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
42	41	bicomi 227	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
43	42	2rexbii 3140	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
44	40, 43	bitri 278	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396  Word cword 14580  Vtxcvtx 29439   WWalksN cwwlksn 30280   WWalksNOn cwwlksnon 30281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-wwlks 30284  df-wwlksn 30285  df-wwlksnon 30286

This theorem is used by:  wspthsnwspthsnon  30370  elwwlks2  30423