Theorem wwlksnwwlksnon 29971

Description: A walk of fixed length is a walk of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wwlksnwwlksnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29900	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		wwlksnwwlksnon.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	eqcomi 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
4	3	wrdeqi 14488	. . . . . . . . 9 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
5	4	eleq2i 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		nn0p1nn 12465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
12		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
13	12	eleq2d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
14	13	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
15	11, 14	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdsymbcl 14478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
18	7, 16, 17	syl2an2 687	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
19		fzonn0p1 13686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
20	19	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
21	12	eleq2d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
22	21	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
23	20, 22	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24		wrdsymbcl 14478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
25	7, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
27		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
28		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
29		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))
30		eqeq2 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
31	30	3anbi2d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏)))
32		eqeq2 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘𝑁) → ((𝑊‘𝑁) = 𝑏 ↔ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁)))
33	32	3anbi3d 1445	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘𝑁) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))))
34	31, 33	rspc2ev 3575	. . . . 5 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
35	18, 26, 27, 28, 29, 34	syl113anc 1385	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
36	1, 35	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
37		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
39	38	rexlimivv 3177	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
40	36, 39	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
41		wwlknon 29913	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
42	41	bicomi 224	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
43	42	2rexbii 3111	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
44	40, 43	bitri 275	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ..^cfzo 13597  ♯chash 14281  Word cword 14464  Vtxcvtx 29053   WWalksN cwwlksn 29882   WWalksNOn cwwlksnon 29883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-wwlks 29886  df-wwlksn 29887  df-wwlksnon 29888

This theorem is referenced by:  wspthsnwspthsnon  29972  elwwlks2  30025