Theorem wwlksnwwlksnon 30386

Description: A walk of fixed length is a walk of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wwlksnwwlksnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 30315	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		wwlksnwwlksnon.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
4	3	wrdeqi 14605	. . . . . . . . 9 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
5	4	eleq2i 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		nn0p1nn 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
12		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
13	12	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
15	11, 14	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdsymbcl 14595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
18	7, 16, 17	syl2an2 699	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
19		fzonn0p1 13801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
21	12	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
22	21	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
23	20, 22	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24		wrdsymbcl 14595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
25	7, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉)
27		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
28		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
29		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))
30		eqeq2 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
31	30	3anbi2d 1469	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏)))
32		eqeq2 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘𝑁) → ((𝑊‘𝑁) = 𝑏 ↔ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁)))
33	32	3anbi3d 1470	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘𝑁) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))))
34	31, 33	rspc2ev 3589	. . . . 5 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
35	18, 26, 27, 28, 29, 34	syl113anc 1409	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
36	1, 35	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
37		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
39	38	rexlimivv 3204	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
40	36, 39	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
41		wwlknon 30328	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
42	41	bicomi 227	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
43	42	2rexbii 3138	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
44	40, 43	bitri 278	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581  Vtxcvtx 29456   WWalksN cwwlksn 30297   WWalksNOn cwwlksnon 30298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-wwlks 30301  df-wwlksn 30302  df-wwlksnon 30303

This theorem is used by:  wspthsnwspthsnon  30387  elwwlks2  30440