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Theorem elwwlks2ons3im 28941
Description: A walk as word of length 2 between two vertices is a length 3 string and its second symbol is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlks2onv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
elwwlks2ons3im (𝑊 ∈ (𝐎(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem elwwlks2ons3im
StepHypRef Expression
1 wwlks2onv.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlksonvtx 28842 . 2 (𝑊 ∈ (𝐎(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3 wwlknon 28844 . . 3 (𝑊 ∈ (𝐎(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
4 wwlknbp1 28831 . . . . 5 (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)))
5 2p1e3 12300 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
65eqeq2i 2746 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = (2 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
7 1ex 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
87tpid2 4732 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
9 fzo0to3tp 13664 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
11 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
1210, 11eleqtrrid 2841 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13 wrdsymbcl 14421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
1412, 13sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
16 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑊) = 3)
17 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘0) = 𝐎)
18 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘1) = (𝑊‘1))
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘2) = 𝐶)
2017, 18, 193jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
21203ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
231eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
2423wrdeqi 14431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
2524eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2625biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28273ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
30 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐎 ∈ 𝑉)
3123eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
3231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
34 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
35 eqwrds3 14856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
3629, 30, 33, 34, 35syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
3716, 22, 36mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩)
3837, 33jca 513 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
3915, 38mpdan 686 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
40393exp 1120 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
416, 40sylan2b 595 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
42413adant1 1131 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
434, 42syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (((𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
44433impib 1117 . . 3 ((𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐎 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
453, 44sylbi 216 . 2 (𝑊 ∈ (𝐎(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ((𝐎 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
462, 45mpd 15 1 (𝑊 ∈ (𝐎(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟚“𝐎(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {ctp 4591  â€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  2c2 12213  3c3 12214  â„•0cn0 12418  ..^cfzo 13573  â™¯chash 14236  Word cword 14408  âŸšâ€œcs3 14737  Vtxcvtx 27989   WWalksN cwwlksn 28813   WWalksNOn cwwlksnon 28814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-s3 14744  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-wwlksnon 28819
This theorem is referenced by:  elwwlks2ons3  28942
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