MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elwwlks2ons3im Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elwwlks2ons3im 27736
Description: A walk as word of length 2 between two vertices is a length 3 string and its second symbol is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlks2onv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
elwwlks2ons3im (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem elwwlks2ons3im
StepHypRef Expression
1 wwlks2onv.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlksonvtx 27637 . 2 (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
3 wwlknon 27639 . . 3 (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
4 wwlknbp1 27626 . . . . 5 (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)))
5 2p1e3 11772 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
65eqeq2i 2837 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = (2 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
7 1ex 10629 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
87tpid2 4690 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
9 fzo0to3tp 13123 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eleqtrri 2915 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
11 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
1210, 11eleqtrrid 2923 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13 wrdsymbcl 13875 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
1412, 13sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
15143ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
16 simpl1r 1222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑊) = 3)
17 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘0) = 𝐴)
18 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘1) = (𝑊‘1))
19 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘2) = 𝐶)
2017, 18, 193jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
21203ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
2221adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
231eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
2423wrdeqi 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
2524eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2625biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2726adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28273ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
30 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴𝑉)
3123eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
3231biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
3332adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
34 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐶𝑉)
35 eqwrds3 14321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
3629, 30, 33, 34, 35syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
3716, 22, 36mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩)
3837, 33jca 515 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
3915, 38mpdan 686 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
40393exp 1116 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
416, 40sylan2b 596 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
42413adant1 1127 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
434, 42syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
44433impib 1113 . . 3 ((𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
453, 44sylbi 220 . 2 (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
462, 45mpd 15 1 (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  {ctp 4553  cfv 6343  (class class class)co 7145  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  2c2 11685  3c3 11686  0cn0 11890  ..^cfzo 13033  chash 13691  Word cword 13862  ⟨“cs3 14200  Vtxcvtx 26785   WWalksN cwwlksn 27608   WWalksNOn cwwlksnon 27609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13919  df-s1 13946  df-s2 14206  df-s3 14207  df-wwlks 27612  df-wwlksn 27613  df-wwlksnon 27614
This theorem is referenced by:  elwwlks2ons3  27737
  Copyright terms: Public domain W3C validator