Theorem elwwlks2ons3im 30039

Description: A walk as word of length 2 between two vertices is a length 3 string and its second symbol is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlks2onv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elwwlks2ons3im	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem elwwlks2ons3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlks2onv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlksonvtx 29940	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3		wwlknon 29942	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
4		wwlknbp1 29929	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)))
5		2p1e3 12294	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	eqeq2i 2750	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = (2 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
7		1ex 11140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
8	7	tpid2 4729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
9		fzo0to3tp 13680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eleqtrri 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
11		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
12	10, 11	eleqtrrid 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdsymbcl 14462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
14	12, 13	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
16		simpl1r 1227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑊) = 3)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘0) = 𝐴)
18		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘1) = (𝑊‘1))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘2) = 𝐶)
20	17, 18, 19	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
21	20	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
23	1	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
24	23	wrdeqi 14472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
25	24	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28	27	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
30		simpl3l 1230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
31	23	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
32	31	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
34		simpl3r 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
35		eqwrds3 14896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
36	29, 30, 33, 34, 35	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
37	16, 22, 36	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩)
38	37, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
39	15, 38	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
40	39	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
41	6, 40	sylan2b 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
42	41	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
43	4, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
44	43	3impib 1117	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
45	3, 44	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
46	2, 45	mpd 15	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {ctp 4586  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  2c2 12212  3c3 12213  ℕ₀cn0 12413  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448  ⟨“cs3 14777  Vtxcvtx 29081   WWalksN cwwlksn 29911   WWalksNOn cwwlksnon 29912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-wwlks 29915  df-wwlksn 29916  df-wwlksnon 29917

This theorem is referenced by:  elwwlks2ons3  30040