Theorem elwwlks2ons3im 29884

Description: A walk as word of length 2 between two vertices is a length 3 string and its second symbol is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlks2onv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elwwlks2ons3im	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem elwwlks2ons3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlks2onv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlksonvtx 29785	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3		wwlknon 29787	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
4		wwlknbp1 29774	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)))
5		2p1e3 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	eqeq2i 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = (2 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
7		1ex 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
8	7	tpid2 4734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
9		fzo0to3tp 13713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
11		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
12	10, 11	eleqtrrid 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdsymbcl 14492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
14	12, 13	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
16		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑊) = 3)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘0) = 𝐴)
18		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘1) = (𝑊‘1))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘2) = 𝐶)
20	17, 18, 19	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
23	1	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
24	23	wrdeqi 14502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
25	24	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
30		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
31	23	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
32	31	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
34		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
35		eqwrds3 14927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
36	29, 30, 33, 34, 35	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
37	16, 22, 36	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩)
38	37, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
39	15, 38	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
40	39	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
41	6, 40	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
42	41	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
43	4, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
44	43	3impib 1116	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
45	3, 44	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
46	2, 45	mpd 15	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {ctp 4593  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  2c2 12241  3c3 12242  ℕ₀cn0 12442  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478  ⟨“cs3 14808  Vtxcvtx 28923   WWalksN cwwlksn 29756   WWalksNOn cwwlksnon 29757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-s3 14815  df-wwlks 29760  df-wwlksn 29761  df-wwlksnon 29762

This theorem is referenced by:  elwwlks2ons3  29885