Theorem elwwlks2ons3im 29941

Description: A walk as word of length 2 between two vertices is a length 3 string and its second symbol is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlks2onv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elwwlks2ons3im	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem elwwlks2ons3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlks2onv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlksonvtx 29842	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3		wwlknon 29844	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
4		wwlknbp1 29831	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)))
5		2p1e3 12387	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	eqeq2i 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = (2 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
7		1ex 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
8	7	tpid2 4751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
9		fzo0to3tp 13773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eleqtrri 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
11		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
12	10, 11	eleqtrrid 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdsymbcl 14550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
14	12, 13	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺))
16		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑊) = 3)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘0) = 𝐴)
18		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘1) = (𝑊‘1))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → (𝑊‘2) = 𝐶)
20	17, 18, 19	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))
23	1	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
24	23	wrdeqi 14560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
25	24	eleq2i 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
30		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
31	23	eleq2i 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
32	31	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
34		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
35		eqwrds3 14985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
36	29, 30, 33, 34, 35	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
37	16, 22, 36	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩)
38	37, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑊‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
39	15, 38	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))
40	39	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
41	6, 40	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
42	41	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
43	4, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))))
44	43	3impib 1116	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
45	3, 44	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉)))
46	2, 45	mpd 15	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝑊 = ⟨“𝐴(𝑊‘1)𝐶”⟩ ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {ctp 4610  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  2c2 12300  3c3 12301  ℕ₀cn0 12506  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536  ⟨“cs3 14866  Vtxcvtx 28980   WWalksN cwwlksn 29813   WWalksNOn cwwlksnon 29814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-wwlks 29817  df-wwlksn 29818  df-wwlksnon 29819

This theorem is referenced by:  elwwlks2ons3  29942