Theorem xlimclim2 45291

Description: Given a sequence of extended reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals (see climreeq 45064), if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals. In order for the first part of the statement to even make sense, the sequence will of course eventually become (and stay) real: showing this, is the key step of the proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimclim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclim2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem xlimclim2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
2		xlimclim2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimclim2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	3	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5		xlimclim2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		xlimclim2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8, 2, 4, 6, 1	xlimxrre 45282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
10	2, 4, 6, 9	xlimclim2lem 45290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
11	1, 10	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
12		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	3	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
14	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	7	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15, 2, 13, 14, 12	climxrre 45201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
17	2, 13, 14, 16	xlimclim2lem 45290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	12, 17	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
19	11, 18	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11137  ℝ^*cxr 11277  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852   ⇝ cli 15460  ~~>*clsxlim 45269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-ordt 17482  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-lm 23151  df-xms 24244  df-ms 24245  df-xlim 45270

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45296  dfxlim2v  45298  xlimclimdm  45305