Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim2 40584
 Description: Given a sequence of extended reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals (see climreeq 40363), if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals. In order for the first part of the statement to even make sense, the sequence will of course eventually become (and stay) real: showing this, is the key step of the proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimclim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimclim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimclim2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem xlimclim2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
2 xlimclim2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimclim2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
43adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5 xlimclim2.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 xlimclim2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
98, 2, 4, 6, 1xlimxrre 40575 . . . 4 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
102, 4, 6, 9xlimclim2lem 40583 . . 3 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
111, 10mpbid 222 . 2 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → 𝐹𝐴)
12 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹𝐴)
133adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
145adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
157adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
1615, 2, 13, 14, 12climxrre 40500 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
172, 13, 14, 16xlimclim2lem 40583 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
1812, 17mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
1911, 18impbida 802 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  ℝcr 10137  ℝ*cxr 10275  ℤcz 11579  ℤ≥cuz 11888   ⇝ cli 14423  ~~>*clsxlim 40562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-lm 21254  df-xms 22345  df-ms 22346  df-xlim 40563 This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40589  dfxlim2v  40591
 Copyright terms: Public domain W3C validator