Theorem xlimclim2 45796

Description: Given a sequence of extended reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals (see climreeq 45569), if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals. In order for the first part of the statement to even make sense, the sequence will of course eventually become (and stay) real: showing this, is the key step of the proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimclim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclim2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem xlimclim2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
2		xlimclim2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimclim2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5		xlimclim2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		xlimclim2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8, 2, 4, 6, 1	xlimxrre 45787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
10	2, 4, 6, 9	xlimclim2lem 45795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
14	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15, 2, 13, 14, 12	climxrre 45706	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
17	2, 13, 14, 16	xlimclim2lem 45795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	12, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
19	11, 18	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876   ⇝ cli 15517  ~~>*clsxlim 45774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-lm 23253  df-xms 24346  df-ms 24347  df-xlim 45775

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45801  dfxlim2v  45803  xlimclimdm  45810