Theorem xpcfuchom2 49745

Description: Value of the set of morphisms in the binary product of categories of functors. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcfuchom2.t	⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
xpcfuchom2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
xpcfuchom2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
xpcfuchom2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
xpcfuchom2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
xpcfuchom2.k	⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpcfuchom2	⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃) × (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄)))

Proof of Theorem xpcfuchom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcfuchom2.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐵 FuncCat 𝐶) = (𝐵 FuncCat 𝐶)
3	2	fucbas 17924	. 2 ⊢ (𝐵 Func 𝐶) = (Base‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5	4	fucbas 17924	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (𝐵 Nat 𝐶)
7	2, 6	fuchom 17925	. 2 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (Hom ‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
9	4, 8	fuchom 17925	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
10		xpcfuchom2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
11		xpcfuchom2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		xpcfuchom2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
13		xpcfuchom2.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
14		xpcfuchom2.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
15	1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14	xpchom2 18146	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑀, 𝑁⟩𝐾⟨𝑃, 𝑄⟩) = ((𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃) × (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Hom chom 17225   Func cfunc 17815   Nat cnat 17905   FuncCat cfuc 17906   ×_c cxpc 18128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-hom 17238  df-cco 17239  df-func 17819  df-nat 17907  df-fuc 17908  df-xpc 18132

This theorem is referenced by: (None)