Theorem xpcfucco2 48891

Description: Value of composition in the binary product of categories of functors. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcfuchom2.t	⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
xpcfucco2.o	⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
xpcfucco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
xpcfucco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
xpcfucco2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
xpcfucco2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))

Assertion

Ref	Expression
xpcfucco2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Proof of Theorem xpcfucco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcfuchom2.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐵 FuncCat 𝐶) = (𝐵 FuncCat 𝐶)
3	2	fucbas 18025	. 2 ⊢ (𝐵 Func 𝐶) = (Base‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5	4	fucbas 18025	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (𝐵 Nat 𝐶)
7	2, 6	fuchom 18026	. 2 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (Hom ‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
9	4, 8	fuchom 18026	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
10		xpcfucco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
11	6	natrcl 18014	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
13	12	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
14		xpcfucco2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
15	8	natrcl 18014	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄) → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
17	16	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
18	12	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
19	16	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
20		eqid 2737	. 2 ⊢ (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶)) = (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
21		eqid 2737	. 2 ⊢ (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) = (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
22		xpcfucco2.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
23		xpcfucco2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
24	6	natrcl 18014	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅) → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
26	25	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
27		xpcfucco2.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))
28	8	natrcl 18014	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆) → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
30	29	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
31	1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 30, 10, 14, 23, 27	xpcco2 18252	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4640  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  compcco 17319   Func cfunc 17914   Nat cnat 18005   FuncCat cfuc 18006   ×_c cxpc 18233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-hom 17331  df-cco 17332  df-func 17918  df-nat 18007  df-fuc 18008  df-xpc 18237

This theorem is referenced by:  xpcfuccocl  48892  xpcfucco3  48893