Theorem xpcfucco2 48909

Description: Value of composition in the binary product of categories of functors. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcfuchom2.t	⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
xpcfucco2.o	⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
xpcfucco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
xpcfucco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
xpcfucco2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
xpcfucco2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))

Assertion

Ref	Expression
xpcfucco2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Proof of Theorem xpcfucco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcfuchom2.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐵 FuncCat 𝐶) = (𝐵 FuncCat 𝐶)
3	2	fucbas 17978	. 2 ⊢ (𝐵 Func 𝐶) = (Base‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5	4	fucbas 17978	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (𝐵 Nat 𝐶)
7	2, 6	fuchom 17979	. 2 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (Hom ‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
9	4, 8	fuchom 17979	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
10		xpcfucco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
11	6	natrcl 17968	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
13	12	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
14		xpcfucco2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
15	8	natrcl 17968	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄) → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
17	16	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
18	12	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
19	16	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
20		eqid 2734	. 2 ⊢ (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶)) = (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
21		eqid 2734	. 2 ⊢ (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) = (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
22		xpcfucco2.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
23		xpcfucco2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
24	6	natrcl 17968	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅) → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
26	25	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
27		xpcfucco2.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))
28	8	natrcl 17968	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆) → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
30	29	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
31	1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 30, 10, 14, 23, 27	xpcco2 18201	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4612  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  compcco 17284   Func cfunc 17869   Nat cnat 17959   FuncCat cfuc 17960   ×_c cxpc 18182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-fz 13529  df-struct 17165  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-hom 17296  df-cco 17297  df-func 17873  df-nat 17961  df-fuc 17962  df-xpc 18186

This theorem is referenced by:  xpcfuccocl  48910  xpcfucco3  48911