Theorem xpcfucco2 49753

Description: Value of composition in the binary product of categories of functors. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcfuchom2.t	⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
xpcfucco2.o	⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
xpcfucco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
xpcfucco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
xpcfucco2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
xpcfucco2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))

Assertion

Ref	Expression
xpcfucco2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Proof of Theorem xpcfucco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcfuchom2.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐵 FuncCat 𝐶) = (𝐵 FuncCat 𝐶)
3	2	fucbas 17928	. 2 ⊢ (𝐵 Func 𝐶) = (Base‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5	4	fucbas 17928	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (𝐵 Nat 𝐶)
7	2, 6	fuchom 17929	. 2 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (Hom ‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
9	4, 8	fuchom 17929	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
10		xpcfucco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
11	6	natrcl 17918	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
13	12	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
14		xpcfucco2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
15	8	natrcl 17918	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄) → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
17	16	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
18	12	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
19	16	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
20		eqid 2740	. 2 ⊢ (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶)) = (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
21		eqid 2740	. 2 ⊢ (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) = (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
22		xpcfucco2.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
23		xpcfucco2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
24	6	natrcl 17918	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅) → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
26	25	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
27		xpcfucco2.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))
28	8	natrcl 17918	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆) → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
30	29	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
31	1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 30, 10, 14, 23, 27	xpcco2 18151	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  compcco 17230   Func cfunc 17819   Nat cnat 17909   FuncCat cfuc 17910   ×_c cxpc 18132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-hom 17242  df-cco 17243  df-func 17823  df-nat 17911  df-fuc 17912  df-xpc 18136

This theorem is referenced by:  xpcfuccocl  49754  xpcfucco3  49755