Theorem xpcfucco2 50075

Description: Value of composition in the binary product of categories of functors. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcfuchom2.t	⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
xpcfucco2.o	⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
xpcfucco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
xpcfucco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
xpcfucco2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
xpcfucco2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))

Assertion

Ref	Expression
xpcfucco2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Proof of Theorem xpcfucco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcfuchom2.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝐵 FuncCat 𝐶) = (𝐵 FuncCat 𝐶)
3	2	fucbas 18045	. 2 ⊢ (𝐵 Func 𝐶) = (Base‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5	4	fucbas 18045	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
6		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (𝐵 Nat 𝐶)
7	2, 6	fuchom 18046	. 2 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (Hom ‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
8		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
9	4, 8	fuchom 18046	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
10		xpcfucco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
11	6	natrcl 18035	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
13	12	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
14		xpcfucco2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
15	8	natrcl 18035	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄) → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
17	16	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
18	12	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
19	16	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
20		eqid 2766	. 2 ⊢ (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶)) = (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
21		eqid 2766	. 2 ⊢ (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) = (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
22		xpcfucco2.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
23		xpcfucco2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
24	6	natrcl 18035	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅) → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
26	25	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
27		xpcfucco2.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))
28	8	natrcl 18035	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆) → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
29	27, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
30	29	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
31	1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 30, 10, 14, 23, 27	xpcco2 18268	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  compcco 17347   Func cfunc 17936   Nat cnat 18026   FuncCat cfuc 18027   ×_c cxpc 18249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-func 17940  df-nat 18028  df-fuc 18029  df-xpc 18253

This theorem is used by:  xpcfuccocl  50076  xpcfucco3  50077