Theorem xpcfucco2 50190

Description: Value of composition in the binary product of categories of functors. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcfuchom2.t	⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
xpcfucco2.o	⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
xpcfucco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
xpcfucco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
xpcfucco2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
xpcfucco2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))

Assertion

Ref	Expression
xpcfucco2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

Proof of Theorem xpcfucco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcfuchom2.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐵 FuncCat 𝐶) = (𝐵 FuncCat 𝐶)
3	2	fucbas 18058	. 2 ⊢ (𝐵 Func 𝐶) = (Base‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
5	4	fucbas 18058	. 2 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (𝐵 Nat 𝐶)
7	2, 6	fuchom 18059	. 2 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (Hom ‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
9	4, 8	fuchom 18059	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
10		xpcfucco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃))
11	6	natrcl 18048	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀(𝐵 Nat 𝐶)𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
13	12	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
14		xpcfucco2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄))
15	8	natrcl 18048	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑁(𝐷 Nat 𝐸)𝑄) → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
17	16	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
18	12	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
19	16	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
20		eqid 2762	. 2 ⊢ (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶)) = (comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
21		eqid 2762	. 2 ⊢ (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) = (comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
22		xpcfucco2.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (comp‘𝑇)
23		xpcfucco2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅))
24	6	natrcl 18048	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃(𝐵 Nat 𝐶)𝑅) → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (𝐵 Func 𝐶) ∧ 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶)))
26	25	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐵 Func 𝐶))
27		xpcfucco2.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆))
28	8	natrcl 18048	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑄(𝐷 Nat 𝐸)𝑆) → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
29	27, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸)))
30	29	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
31	1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 30, 10, 14, 23, 27	xpcco2 18281	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩(⟨⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑃, 𝑄⟩⟩𝑂⟨𝑅, 𝑆⟩)⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝐾(⟨𝑀, 𝑃⟩(comp‘(𝐵 FuncCat 𝐶))𝑅)𝐹), (𝐿(⟨𝑁, 𝑄⟩(comp‘(𝐷 FuncCat 𝐸))𝑆)𝐺)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  compcco 17360   Func cfunc 17949   Nat cnat 18039   FuncCat cfuc 18040   ×_c cxpc 18262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-func 17953  df-nat 18041  df-fuc 18042  df-xpc 18266

This theorem is used by:  xpcfuccocl  50191  xpcfucco3  50192