Theorem xpcfuchom 49243

Description: Set of morphisms of the binary product of categories of functors. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcfucbas.t	⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
xpcfuchomfval.b	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑇)
xpcfuchomfval.k	⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
xpcfuchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
xpcfuchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xpcfuchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = (((1st ‘𝑋)(𝐵 Nat 𝐶)(1st ‘𝑌)) × ((2nd ‘𝑋)(𝐷 Nat 𝐸)(2nd ‘𝑌))))

Proof of Theorem xpcfuchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcfucbas.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((𝐵 FuncCat 𝐶) ×c (𝐷 FuncCat 𝐸))
2		xpcfuchomfval.b	. 2 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐵 FuncCat 𝐶) = (𝐵 FuncCat 𝐶)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (𝐵 Nat 𝐶)
5	3, 4	fuchom 17926	. 2 ⊢ (𝐵 Nat 𝐶) = (Hom ‘(𝐵 FuncCat 𝐶))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
8	6, 7	fuchom 17926	. 2 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
9		xpcfuchomfval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Hom ‘𝑇)
10		xpcfuchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11		xpcfuchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
12	1, 2, 5, 8, 9, 10, 11	xpchom 18141	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = (((1st ‘𝑋)(𝐵 Nat 𝐶)(1st ‘𝑌)) × ((2nd ‘𝑋)(𝐷 Nat 𝐸)(2nd ‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  Basecbs 17179  Hom chom 17231   Nat cnat 17906   FuncCat cfuc 17907   ×_c cxpc 18129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-func 17820  df-nat 17908  df-fuc 17909  df-xpc 18133

This theorem is referenced by:  fucofulem2  49300  fucof21  49336  fucoco2  49347