Theorem xlimpnfv 47121

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfv	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfv.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimpnfv.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimpnfv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*+∞)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	2, 3, 5, 6, 7	xlimpnfvlem1 47119	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
9	8	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
10		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
12		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
13		nfra1 3290	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
14	12, 13	nfrexw 3314	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
15	11, 14	nfralw 3313	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
16	10, 15	nfan 1934	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
17		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
18		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
19		nfre1 3291	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
20	18, 19	nfralw 3313	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
21	17, 20	nfan 1934	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
22	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
25	21, 24	nfan 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27		rexr 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
29		peano2re 11522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
31	26, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
32	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
33	3	uztrn2 13024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	32, 34	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
36	35	ad5ant134 1393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
37	26	ltp1d 12287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
38		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
39	28, 31, 36, 37, 38	xrltletrd 13330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 < (𝐹‘𝑘))
40	39	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘) → 𝑦 < (𝐹‘𝑘)))
41	40	ralimdva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘)))
42	41	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
43	42	adantl3r 763	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
44	43	3impa 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
45	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
46		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
47		breq1 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	47	ralbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
49	48	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
50	49	rspcva 3578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
51	45, 46, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
52	51	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
53	25, 44, 52	reximdd 46436	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
54	53	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
55	16, 21, 22, 3, 23, 54	xlimpnfvlem2 47120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
56	9, 55	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ~~>*clsxlim 47101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-z 12734  df-uz 13006  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-topgen 17664  df-ordt 17723  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-lm 23602  df-xlim 47102

This theorem is used by:  xlimpnf  47125  xlimpnfliminf  47143  xlimpnfliminf2  47144