Theorem xlimpnfv 46666

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfv	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfv.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimpnfv.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimpnfv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*+∞)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	2, 3, 5, 6, 7	xlimpnfvlem1 46664	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
9	8	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
10		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
12		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
13		nfra1 3286	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
14	12, 13	nfrexw 3310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
15	11, 14	nfralw 3309	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
16	10, 15	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
17		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
18		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
19		nfre1 3287	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
20	18, 19	nfralw 3309	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
21	17, 20	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
22	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
25	21, 24	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27		rexr 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
29		peano2re 11407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
31	26, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
32	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
33	3	uztrn2 12906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	32, 34	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
36	35	ad5ant134 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
37	26	ltp1d 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
38		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
39	28, 31, 36, 37, 38	xrltletrd 13212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 < (𝐹‘𝑘))
40	39	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘) → 𝑦 < (𝐹‘𝑘)))
41	40	ralimdva 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘)))
42	41	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
43	42	adantl3r 763	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
44	43	3impa 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
45	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
46		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
47		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	47	ralbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
49	48	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
50	49	rspcva 3574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
51	45, 46, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
52	51	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
53	25, 44, 52	reximdd 45980	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
54	53	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
55	16, 21, 22, 3, 23, 54	xlimpnfvlem2 46665	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
56	9, 55	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ~~>*clsxlim 46646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-z 12616  df-uz 12888  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-topgen 17528  df-ordt 17587  df-ps 18654  df-tsr 18655  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-lm 23454  df-xlim 46647

This theorem is used by:  xlimpnf  46670  xlimpnfliminf  46688  xlimpnfliminf2  46689