Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfv 44069
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfv (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfv.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 xlimpnfv.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 xlimpnfv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 simplr 767 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*+∞)
7 simpr 485 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7xlimpnfvlem1 44067 . . 3 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
98ralrimiva 3143 . 2 ((𝜑𝐹~~>*+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
10 nfv 1917 . . . 4 𝑘𝜑
11 nfcv 2907 . . . . 5 𝑘
12 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘𝑍
13 nfra1 3267 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1412, 13nfrexw 3296 . . . . 5 𝑘𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1511, 14nfralw 3294 . . . 4 𝑘𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1610, 15nfan 1902 . . 3 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
17 nfv 1917 . . . 4 𝑗𝜑
18 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗
19 nfre1 3268 . . . . 5 𝑗𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2018, 19nfralw 3294 . . . 4 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2117, 20nfan 1902 . . 3 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
221adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
234adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24 nfv 1917 . . . . . 6 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
2521, 24nfan 1902 . . . . 5 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27 rexr 11201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
29 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
3029rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
3243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
333uztrn2 12782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
34333adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3532, 34ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3635ad5ant134 1367 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3726ltp1d 12085 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
3928, 31, 36, 37, 38xrltletrd 13080 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 < (𝐹𝑘))
4039ex 413 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘) → 𝑦 < (𝐹𝑘)))
4140ralimdva 3164 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘)))
4241imp 407 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
4342adantl3r 748 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
44433impa 1110 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
4529adantl 482 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
46 simpl 483 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
47 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
4847ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
4948rexbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
5049rspcva 3579 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5145, 46, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5251adantll 712 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5325, 44, 52reximdd 43352 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
5453ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
5516, 21, 22, 3, 23, 54xlimpnfvlem2 44068 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
569, 55impbida 799 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cz 12499  cuz 12763  ~~>*clsxlim 44049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-z 12500  df-uz 12764  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-lm 22580  df-xlim 44050
This theorem is referenced by:  xlimpnf  44073  xlimpnfliminf  44091  xlimpnfliminf2  44092
  Copyright terms: Public domain W3C validator