Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfv 43054
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfv (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfv.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 xlimpnfv.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 xlimpnfv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 simplr 769 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*+∞)
7 simpr 488 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7xlimpnfvlem1 43052 . . 3 (((𝜑𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
98ralrimiva 3105 . 2 ((𝜑𝐹~~>*+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
10 nfv 1922 . . . 4 𝑘𝜑
11 nfcv 2904 . . . . 5 𝑘
12 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑘𝑍
13 nfra1 3140 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1412, 13nfrex 3228 . . . . 5 𝑘𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1511, 14nfralw 3147 . . . 4 𝑘𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
1610, 15nfan 1907 . . 3 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
17 nfv 1922 . . . 4 𝑗𝜑
18 nfcv 2904 . . . . 5 𝑗
19 nfre1 3225 . . . . 5 𝑗𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2018, 19nfralw 3147 . . . 4 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2117, 20nfan 1907 . . 3 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
221adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
234adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24 nfv 1922 . . . . . 6 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
2521, 24nfan 1907 . . . . 5 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27 rexr 10879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
29 peano2re 11005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
3029rexrd 10883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
3243ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
333uztrn2 12457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
34333adant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3532, 34ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3635ad5ant134 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3726ltp1d 11762 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
38 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
3928, 31, 36, 37, 38xrltletrd 12751 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → 𝑦 < (𝐹𝑘))
4039ex 416 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘) → 𝑦 < (𝐹𝑘)))
4140ralimdva 3100 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘)))
4241imp 410 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
4342adantl3r 750 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
44433impa 1112 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
4529adantl 485 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
46 simpl 486 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
47 breq1 5056 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
4847ralbidv 3118 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
4948rexbidv 3216 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘)))
5049rspcva 3535 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5145, 46, 50syl2anc 587 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5251adantll 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹𝑘))
5325, 44, 52reximdd 42374 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
5453ralrimiva 3105 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑦 < (𝐹𝑘))
5516, 21, 22, 3, 23, 54xlimpnfvlem2 43053 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
569, 55impbida 801 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  1c1 10730   + caddc 10732  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cz 12176  cuz 12438  ~~>*clsxlim 43034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-1o 8202  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-z 12177  df-uz 12439  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-topgen 16948  df-ordt 17006  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-lm 22126  df-xlim 43035
This theorem is referenced by:  xlimpnf  43058  xlimpnfliminf  43076  xlimpnfliminf2  43077
  Copyright terms: Public domain W3C validator