Theorem xlimpnfv 42125

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfv	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfv.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimpnfv.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimpnfv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	4	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*+∞)
7		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	2, 3, 5, 6, 7	xlimpnfvlem1 42123	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
9	8	ralrimiva 3185	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
10		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		nfcv 2980	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
12		nfcv 2980	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
13		nfra1 3222	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
14	12, 13	nfrex 3312	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
15	11, 14	nfralw 3228	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
16	10, 15	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
17		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
18		nfcv 2980	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
19		nfre1 3309	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
20	18, 19	nfralw 3228	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
21	17, 20	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
22	1	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	4	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
25	21, 24	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27		rexr 10690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
29		peano2re 10816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 10694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
32	4	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
33	3	uztrn2 12265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	32, 34	ffvelrnd 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
36	35	ad5ant134 1363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
37	26	ltp1d 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
38		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
39	28, 31, 36, 37, 38	xrltletrd 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝑦 < (𝐹‘𝑘))
40	39	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘) → 𝑦 < (𝐹‘𝑘)))
41	40	ralimdva 3180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘)))
42	41	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
43	42	adantl3r 748	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
44	43	3impa 1106	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
45	29	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
46		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
47		breq1 5072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	47	ralbidv 3200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
49	48	rexbidv 3300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘)))
50	49	rspcva 3624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
51	45, 46, 50	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
52	51	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑦 + 1) ≤ (𝐹‘𝑘))
53	25, 44, 52	reximdd 41427	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
54	53	ralrimiva 3185	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑦 < (𝐹‘𝑘))
55	16, 21, 22, 3, 23, 54	xlimpnfvlem2 42124	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
56	9, 55	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   class class class wbr 5069  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  1c1 10541   + caddc 10543  +∞cpnf 10675  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ~~>*clsxlim 42105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fi 8878  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-z 11985  df-uz 12247  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-topgen 16720  df-ordt 16777  df-ps 17813  df-tsr 17814  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-lm 21840  df-xlim 42106

This theorem is referenced by:  xlimpnf  42129  xlimpnfliminf  42147  xlimpnfliminf2  42148