Theorem zgcdsq 16773

Description: nn0gcdsq 16772 extended to integers by symmetry. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zgcdsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Proof of Theorem zgcdsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdabs 16551	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
2	1	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) = ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)))
3	2	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑2))
4		nn0abscl 15334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		nn0abscl 15334	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (abs‘𝐵) ∈ ℕ0)
6		nn0gcdsq 16772	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑2) = (((abs‘𝐴)↑2) gcd ((abs‘𝐵)↑2)))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑2) = (((abs‘𝐴)↑2) gcd ((abs‘𝐵)↑2)))
8		zre 12601	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		absresq 15324	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
12		zre 12601	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		absresq 15324	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
16	11, 15	oveq12d 7432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴)↑2) gcd ((abs‘𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
17	3, 7, 16	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11137  2c2 12304  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ↑cexp 14085  abscabs 15256   gcd cgcd 16514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fl 13815  df-mod 13893  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-dvds 16274  df-gcd 16515

This theorem is referenced by:  numdensq  16774