Theorem zgcdsq 16681

Description: nn0gcdsq 16680 extended to integers by symmetry. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zgcdsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Proof of Theorem zgcdsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdabs 16459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
2	1	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) = ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)))
3	2	oveq1d 7373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑2))
4		nn0abscl 15236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		nn0abscl 15236	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (abs‘𝐵) ∈ ℕ0)
6		nn0gcdsq 16680	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑2) = (((abs‘𝐴)↑2) gcd ((abs‘𝐵)↑2)))
7	4, 5, 6	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑2) = (((abs‘𝐴)↑2) gcd ((abs‘𝐵)↑2)))
8		zre 12493	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		absresq 15226	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
12		zre 12493	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		absresq 15226	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
16	11, 15	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴)↑2) gcd ((abs‘𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
17	3, 7, 16	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ↑cexp 13985  abscabs 15158   gcd cgcd 16422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-dvds 16181  df-gcd 16423

This theorem is referenced by:  numdensq  16682