Theorem numdensq 15877

Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
numdensq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem numdensq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 15868	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
2	1	oveq1d 6939	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (1↑2))
3		qnumcl 15863	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
4		qdencl 15864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 11838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
6		zgcdsq 15876	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
7	3, 5, 6	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
8		sq1 13282	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1↑2) = 1)
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2822	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1)
11		qeqnumdivden 15869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
12	11	oveq1d 6939	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2))
13	3	zcnd 11840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
14	4	nncnd 11397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
15	4	nnne0d 11430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ≠ 0)
16	13, 14, 15	sqdivd 13345	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
17	12, 16	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
18		qsqcl 13259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19		zsqcl 13258	. . . 4 ⊢ ((numer‘𝐴) ∈ ℤ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
20	3, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
21	4	nnsqcld 13356	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ)
22		qnumdenbi 15867	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
24	10, 17, 23	mpbi2and 702	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  1c1 10275   / cdiv 11035  ℕcn 11379  2c2 11435  ℤcz 11733  ℚcq 12100  ↑cexp 13183   gcd cgcd 15632  numercnumer 15856  denomcdenom 15857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397  df-gcd 15633  df-numer 15858  df-denom 15859

This theorem is referenced by:  numsq  15878  densq  15879