MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numdensq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numdensq 16733
Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
numdensq (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem numdensq
StepHypRef Expression
1 qnumdencoprm 16724 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
21oveq1d 7441 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (1↑2))
3 qnumcl 16719 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
4 qdencl 16720 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
54nnzd 12623 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
6 zgcdsq 16732 . . . 4 (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
73, 5, 6syl2anc 582 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)))
8 sq1 14198 . . . 4 (1↑2) = 1
98a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (1↑2) = 1)
102, 7, 93eqtr3d 2776 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1)
11 qeqnumdivden 16725 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
1211oveq1d 7441 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2))
133zcnd 12705 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
144nncnd 12266 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
154nnne0d 12300 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ≠ 0)
1613, 14, 15sqdivd 14163 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
1712, 16eqtrd 2768 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2)))
18 qsqcl 14134 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19 zsqcl 14133 . . . 4 ((numer‘𝐴) ∈ ℤ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
203, 19syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ)
214nnsqcld 14246 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ)
22 qnumdenbi 16723 . . 3 (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑2) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑2) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1368 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (((((numer‘𝐴)↑2) gcd ((denom‘𝐴)↑2)) = 1 ∧ (𝐴↑2) = (((numer‘𝐴)↑2) / ((denom‘𝐴)↑2))) ↔ ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2))))
2410, 17, 23mpbi2and 710 1 (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘(𝐴↑2)) = ((numer‘𝐴)↑2) ∧ (denom‘(𝐴↑2)) = ((denom‘𝐴)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   / cdiv 11909  cn 12250  2c2 12305  cz 12596  cq 12970  cexp 14066   gcd cgcd 16476  numercnumer 16712  denomcdenom 16713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-numer 16714  df-denom 16715
This theorem is referenced by:  numsq  16734  densq  16735
  Copyright terms: Public domain W3C validator