Theorem gsum2dfilem2 14272

Description: Lemma for gsum2dfi 14273. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2dfi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsum2d.r	|- ( ph -> Rel A )
gsum2dfi.d	|- ( ph -> D e. Fin )
gsum2d.s	|- ( ph -> dom A C_ D )
gsum2dfi.dm	|- ( ph -> dom A e. Fin )
gsum2d.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsum2dfi.fi	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( A " { j } ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
gsum2dfilem2	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( j e. dom A |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   j, F, k   j, G, k   ph, j, k   B, j, k   D, j, k   .0. , j, k

Proof of Theorem gsum2dfilem2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.r	. . . . . 6 |- ( ph -> Rel A )
2		resdm 5104	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( A |` dom A ) = A )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A |` dom A ) = A )
4	3	reseq2d 5065	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( A |` dom A ) ) = ( F |` A ) )
5		gsum2d.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> B )
6	5	fdmd 5543	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = A )
7	6	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` dom F ) = ( F |` A ) )
8		frel 5541	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> Rel F )
9		resdm 5104	. . . . . 6 |- ( Rel F -> ( F |` dom F ) = F )
10	5, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` dom F ) = F )
11	7, 10	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
12	4, 11	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( A |` dom A ) ) = F )
13	12	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom A ) ) ) = ( G gsumg F ) )
14		reseq2 5060	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A |` x ) = ( A |` (/) ) )
15	14	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` (/) ) ) )
16	15	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` (/) ) ) ) )
17		mpteq1 4216	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
18	17	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
19	16, 18	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( A |` (/) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
20		reseq2 5060	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A |` x ) = ( A |` y ) )
21	20	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( x = y -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` y ) ) )
22	21	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = y -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) )
23		mpteq1 4216	. . . . 5 |- ( x = y -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
24	23	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = y -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( x = y -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
26		reseq2 5060	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A |` x ) = ( A |` ( y u. { z } ) ) )
27	26	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) )
28	27	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) )
29		mpteq1 4216	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
30	29	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
32		reseq2 5060	. . . . . 6 |- ( x = dom A -> ( A |` x ) = ( A |` dom A ) )
33	32	reseq2d 5065	. . . . 5 |- ( x = dom A -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` dom A ) ) )
34	33	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = dom A -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` dom A ) ) ) )
35		mpteq1 4216	. . . . 5 |- ( x = dom A -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. dom A |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
36	35	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = dom A -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom A |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
37	34, 36	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( x = dom A -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom A ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom A |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
38		res0 5069	. . . . . . . 8 |- ( A |` (/) ) = (/)
39	38	reseq2i 5062	. . . . . . 7 |- ( F |` ( A |` (/) ) ) = ( F |` (/) )
40		res0 5069	. . . . . . 7 |- ( F |` (/) ) = (/)
41	39, 40	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( F |` ( A |` (/) ) ) = (/)
42	41	oveq2i 6099	. . . . 5 |- ( G gsumg ( F |` ( A |` (/) ) ) ) = ( G gsumg (/) )
43		mpt0 5514	. . . . . 6 |- ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = (/)
44	43	oveq2i 6099	. . . . 5 |- ( G gsumg ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg (/) )
45	42, 44	eqtr4i 2262	. . . 4 |- ( G gsumg ( F |` ( A |` (/) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
46	45	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` (/) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
47		oveq1 6095	. . . 4 |- ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
48		gsum2d.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
49		gsum2d.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
50		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
51		gsum2d.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. CMnd )
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
53		gsum2dfi.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Fin )
54	53	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> A e. Fin )
55	1	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> Rel A )
56		gsum2dfi.dm	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom A e. Fin )
57	56	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> dom A e. Fin )
58		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> y C_ dom A )
59		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> z e. ( dom A \ y ) )
60	59	eldifad 3231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> z e. dom A )
61	60	snssd 3860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> { z } C_ dom A )
62	58, 61	unssd 3405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) C_ dom A )
63		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
64	59	eldifbd 3232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
65		unsnfi 7230	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ z e. dom A /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
66	63, 60, 64, 65	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
67	54, 55, 57, 62, 66	relresfin 7268	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( A |` ( y u. { z } ) ) e. Fin )
68		resss 5089	. . . . . . . . 9 |- ( A |` ( y u. { z } ) ) C_ A
69		fssres 5568	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> B /\ ( A |` ( y u. { z } ) ) C_ A ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B )
70	5, 68, 69	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B )
71	70	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B )
72		disjsn 3771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
73	64, 72	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
74	73	reseq2d 5065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( A |` ( y i^i { z } ) ) = ( A |` (/) ) )
75		resindi 5080	. . . . . . . 8 |- ( A |` ( y i^i { z } ) ) = ( ( A |` y ) i^i ( A |` { z } ) )
76	74, 75, 38	3eqtr3g 2294	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( ( A |` y ) i^i ( A |` { z } ) ) = (/) )
77		resundi 5078	. . . . . . . 8 |- ( A |` ( y u. { z } ) ) = ( ( A |` y ) u. ( A |` { z } ) )
78	77	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( A |` ( y u. { z } ) ) = ( ( A |` y ) u. ( A |` { z } ) ) )
79	48, 49, 50, 52, 67, 71, 76, 78	gsumsplitfi 14256	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
80		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
81		ssres2 5092	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A |` y ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) )
82		resabs1 5094	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` y ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) = ( F |` ( A |` y ) ) )
83	80, 81, 82	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) = ( F |` ( A |` y ) )
84	83	oveq2i 6099	. . . . . . 7 |- ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) )
85		ssun2 3393	. . . . . . . . 9 |- { z } C_ ( y u. { z } )
86		ssres2 5092	. . . . . . . . 9 |- ( { z } C_ ( y u. { z } ) -> ( A |` { z } ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) )
87		resabs1 5094	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` { z } ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) ) )
88	85, 86, 87	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) )
89	88	oveq2i 6099	. . . . . . 7 |- ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) )
90	84, 89	oveq12i 6100	. . . . . 6 |- ( ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) )
91	79, 90	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
92	5	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> F : A --> B )
93		gsum2d.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom A C_ D )
94	93	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> dom A C_ D )
95	58, 94	sstrd 3258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> y C_ D )
96	95	sselda 3248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) /\ j e. y ) -> j e. D )
97		gsum2dfi.fi	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( A " { j } ) e. Fin )
98	97	ad4ant14 518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) /\ j e. D ) -> ( A " { j } ) e. Fin )
99	96, 98	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) /\ j e. y ) -> ( A " { j } ) e. Fin )
100	48, 49, 52, 92, 99	gsum2dfilem1 14271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) /\ j e. y ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B )
101		sneq 3720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> { j } = { z } )
102	101	imaeq2d 5129	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = z -> ( A " { j } ) = ( A " { z } ) )
103		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = z -> ( j F k ) = ( z F k ) )
104	102, 103	mpteq12dv 4214	. . . . . . . . . 10 |- ( j = z -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) )
105	104	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( j = z -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) )
106	105	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( j = z -> ( ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B <-> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B ) )
107	94	sselda 3248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) /\ j e. dom A ) -> j e. D )
108	107, 98	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) /\ j e. dom A ) -> ( A " { j } ) e. Fin )
109	48, 49, 52, 92, 108	gsum2dfilem1 14271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) /\ j e. dom A ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B )
110	109	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> A. j e. dom A ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B )
111	106, 110, 60	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B )
112	48, 50, 52, 63, 100, 60, 64, 111, 105	gsumunsn 14262	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) ) )
113	101	reseq2d 5065	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = z -> ( A |` { j } ) = ( A |` { z } ) )
114	113	reseq2d 5065	. . . . . . . . . 10 |- ( j = z -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) ) )
115	114	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( j = z -> ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) )
116	105, 115	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( j = z -> ( ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) <-> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
117	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> G e. CMnd )
118	93	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> j e. D )
119	118, 97	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> ( A " { j } ) e. Fin )
120		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- j e. _V
121		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- k e. _V
122	120, 121	elimasn 5157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( A " { j } ) <-> <. j , k >. e. A )
123		df-ov 6091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j F k ) = ( F ` <. j , k >. )
124	5	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ <. j , k >. e. A ) -> ( F ` <. j , k >. ) e. B )
125	123, 124	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ <. j , k >. e. A ) -> ( j F k ) e. B )
126	122, 125	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( A " { j } ) ) -> ( j F k ) e. B )
127	126	fmpttd 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
128	127	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
129		2ndconst 6462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. _V -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) : ( { j } X. ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " { j } ) )
130	120, 129	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) : ( { j } X. ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " { j } ) )
131	48, 49, 117, 119, 128, 130	gsumf1ofi 14250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) )
132		1st2nd2 6413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> x = <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. )
133		xp1st 6403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 1st ` x ) e. { j } )
134		elsni 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1st ` x ) e. { j } -> ( 1st ` x ) = j )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 1st ` x ) = j )
136	135	opeq1d 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. = <. j , ( 2nd ` x ) >. )
137	132, 136	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> x = <. j , ( 2nd ` x ) >. )
138	137	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` <. j , ( 2nd ` x ) >. ) )
139		df-ov 6091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j F ( 2nd ` x ) ) = ( F ` <. j , ( 2nd ` x ) >. )
140	138, 139	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( F ` x ) = ( j F ( 2nd ` x ) ) )
141	140	mpteq2ia 4219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( j F ( 2nd ` x ) ) )
142	5	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
143	142	reseq1d 5064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) )
144		resss 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A |` { j } ) C_ A
145		resmpt 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A |` { j } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) )
146	144, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) )
147		ressn 5331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A |` { j } ) = ( { j } X. ( A " { j } ) )
148	147	mpteq1i 4218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) )
149	146, 148	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) )
150	143, 149	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) )
151		xp2nd 6404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 2nd ` x ) e. ( A " { j } ) )
152	151	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) -> ( 2nd ` x ) e. ( A " { j } ) )
153		fo2nd 6396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2nd : _V -onto-> _V
154		fof 5618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd : _V --> _V )
155	153, 154	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2nd : _V --> _V )
156	155	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 2nd = ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) )
157	156	reseq1d 5064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) )
158		ssv 3270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { j } X. ( A " { j } ) ) C_ _V
159		resmpt 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { j } X. ( A " { j } ) ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) ) )
160	158, 159	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) )
161	157, 160	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) ) )
162		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) )
163		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( 2nd ` x ) -> ( j F k ) = ( j F ( 2nd ` x ) ) )
164	152, 161, 162, 163	fmptco 5877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( j F ( 2nd ` x ) ) ) )
165	141, 150, 164	3eqtr4a 2297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) )
166	165	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) )
167	166	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) )
168	131, 167	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. dom A ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) )
169	168	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. dom A ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) )
170	169	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> A. j e. dom A ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) )
171	116, 170, 60	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) )
172	171	oveq2d 6104	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
173	112, 172	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
174	91, 173	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) )
175	47, 174	imbitrrid 156	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ dom A /\ z e. ( dom A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
176	19, 25, 31, 37, 46, 175, 56	findcard2sd 7200	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom A ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom A |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
177	13, 176	eqtr3d 2273	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( j e. dom A |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   dom cdm 4776   |` cres 4778   "cima 4779   o. ccom 4780   Rel wrel 4781   -->wf 5376   -onto->wfo 5378   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1stc1st 6376   2ndc2nd 6377   Fincfn 7026   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  gsum2dfi  14273