Theorem 2lgslem3c 15853

Description: Lemma for 2lgslem3c1 15857. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3c	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6030	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) − 1))
3	2	oveq1d 6038	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2))
4		fvoveq1 6046	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 6041	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2275	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
7		8nn0 9430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 9465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		5cn 9228	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 5 ∈ ℂ)
14		1cnd 8200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 8515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1)))
16		4t2e8 9307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 6038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 9226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 9219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 9417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 8337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		5m1e4 9270	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 − 1) = 4)
29	26, 28	oveq12d 6041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (5 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
30	15, 29	eqtrd 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
31	30	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2))
32		4nn0 9426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 9465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 9462	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 8205	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		2rp 9898	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
38	37	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
39	38	rpap0d 9942	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
40	36, 21, 23, 39	divdirapd 9014	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
41	35, 23, 39	divcanap4d 8981	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
42		4d2e2 9309	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 2) = 2
43	42	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 / 2) = 2)
44	41, 43	oveq12d 6041	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2))
45	31, 40, 44	3eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2))
46		4ap0 9247	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 # 0
47	46	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 # 0)
48	11, 13, 21, 47	divdirapd 9014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
49		8cn 9234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
50	49	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
51	50, 24, 21, 47	div23apd 9013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
52	17	oveq1i 6033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
53	22, 20, 46	divcanap3i 8943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
54	52, 53	eqtri 2251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
55	54	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
56	55	oveq1d 6038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
57	51, 56	eqtrd 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
58	57	oveq1d 6038	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
59	48, 58	eqtrd 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
60	59	fveq2d 5646	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
61		1lt4 9323	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
62		2nn0 9424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
64	63, 9	nn0mulcld 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
65	64	nn0zd 9605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
66	65	peano2zd 9610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
67		1nn0 9423	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
68	67	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
69		4nn 9312	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
70	69	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
71		adddivflid 10558	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
72	66, 68, 70, 71	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
73	23, 24	mulcld 8205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
74	21, 47	recclapd 8966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 / 4) ∈ ℂ)
75	73, 14, 74	addassd 8207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))))
76		df-5 9210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = (4 + 1)
77	76	oveq1i 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
78		ax-1cn 8130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
79	20, 78, 20, 46	divdirapi 8954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
80	20, 46	dividapi 8930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 4) = 1
81	80	oveq1i 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
82	77, 79, 81	3eqtri 2255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 / 4) = (1 + (1 / 4)))
84	83	eqcomd 2236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 4)) = (5 / 4))
85	84	oveq2d 6039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
86	75, 85	eqtrd 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
87	86	fveqeq2d 5650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
88	72, 87	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
89	61, 88	mpbii 148	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
90	60, 89	eqtrd 2263	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
91	45, 90	oveq12d 6041	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)))
92	64	nn0cnd 9462	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
93	35, 23, 92, 14	addsub4d 8542	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)))
94		2t2e4 9303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
95	94	eqcomi 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
96	95	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
97	96	oveq1d 6038	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
98	23, 23, 24	mulassd 8208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
99	97, 98	eqtrd 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
100	99	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
101		2txmxeqx 9280	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
102	92, 101	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
103	100, 102	eqtrd 2263	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
104		2m1e1 9266	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
105	104	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
106	103, 105	oveq12d 6041	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1))
107	91, 93, 106	3eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
108	6, 107	sylan9eqr 2285	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   < clt 8219   − cmin 8355   # cap 8766   / cdiv 8857  ℕcn 9148  2c2 9199  4c4 9201  5c5 9202  8c8 9205  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℝ⁺crp 9893  ⌊cfl 10534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536

This theorem is referenced by:  2lgslem3c1  15857