ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absefi GIF version

Theorem absefi 11718
Description: The absolute value of the exponential of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
absefi (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Proof of Theorem absefi
StepHypRef Expression
1 recn 7894 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 efival 11682 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43fveq2d 5498 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
5 recoscl 11671 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
6 resincl 11670 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
7 absreim 11019 . . . 4 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
85, 6, 7syl2anc 409 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
95resqcld 10622 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
109recnd 7935 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
116resqcld 10622 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
1211recnd 7935 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
1310, 12addcomd 8057 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
14 sincossq 11698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
151, 14syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
1613, 15eqtrd 2203 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
1716fveq2d 5498 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = (√‘1))
18 sqrt1 10997 . . . 4 (√‘1) = 1
1917, 18eqtrdi 2219 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = 1)
208, 19eqtrd 2203 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = 1)
214, 20eqtrd 2203 1 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  cfv 5196  (class class class)co 5850  cc 7759  cr 7760  1c1 7762  ici 7763   + caddc 7764   · cmul 7766  2c2 8916  cexp 10462  csqrt 10947  abscabs 10948  expce 11592  sincsin 11594  cosccos 11595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-bc 10669  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304  df-ef 11598  df-sin 11600  df-cos 11601
This theorem is referenced by:  absef  11719  efieq1re  11721
  Copyright terms: Public domain W3C validator