Theorem dvply1 15281

Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvply1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
dvply1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
dvply1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvply1.b	⊢ 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
dvply1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
dvply1	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑘   𝑧,𝐴,𝑘   𝑧,𝐵   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dvply1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvply1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2	1	oveq2d 5967	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
3		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtopon 15056	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5	4	toponrestid 14537	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
6		cnelprrecn 8068	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
8	3	cnfldtop 15057	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
9		unicntop 15059	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
10	9	topopn 14524	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
11	8, 10	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
12		0zd 9391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
13		dvply1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 14	fzfigd 10583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
16		dvply1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
17		elfznn0 10243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		ffvelcdm 5720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
21		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
22	17	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	21, 22	expcld 10825	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
24	20, 23	mulcld 8100	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
25	24	3impa 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
26	19	3adant3 1020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
27		0cnd 8072	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
28		simpl2 1004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
29	28, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 9357	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
31		simpl3 1005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
32		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
33		elnn0 9304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
34	29, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
35	32, 34	ecased 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
36		nnm1nn0 9343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
38	31, 37	expcld 10825	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
39	30, 38	mulcld 8100	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
40	17	3ad2ant2 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
41	40	nn0zd 9500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		0zd 9391	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
43		zdceq 9455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 = 0)
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → DECID 𝑘 = 0)
45	27, 39, 44	ifcldadc 3601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
46	26, 45	mulcld 8100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
47		0cnd 8072	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
48	22	nn0cnd 9357	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
49	48	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
50		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
51		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
53	52, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
54	51, 53	ecased 1362	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
55	54, 36	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
56	50, 55	expcld 10825	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
57	49, 56	mulcld 8100	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
58	44	3expa 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → DECID 𝑘 = 0)
59	47, 57, 58	ifcldadc 3601	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
60	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
61		dvexp2 15228	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
62	60, 61	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
63	23, 59, 62, 19	dvmptcmulcn 15237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
64	5, 3, 7, 11, 15, 25, 46, 63	dvmptfsum 15241	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
65		elfznn 10183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
66	65	nnne0d 9088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
67	66	neneqd 2398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ¬ 𝑘 = 0)
68	67	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
69	68	iffalsed 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
70	69	oveq2d 5967	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
71	70	sumeq2dv 11723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
72		1eluzge0 9702	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
73		fzss1 10192	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
74	72, 73	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
75	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
76	65	nnnn0d 9355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77	75, 76, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
78	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
79	78	neneqd 2398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
80	79	iffalsed 3582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
81	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82	81	nn0cnd 9357	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
83		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
84	65, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
86	83, 85	expcld 10825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
87	82, 86	mulcld 8100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
88	80, 87	eqeltrd 2283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
89	77, 88	mulcld 8100	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
90		eldifn 3297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
91		0p1e1 9157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
92	91	oveq1i 5961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
93	92	eleq2i 2273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
94	90, 93	sylnibr 679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
96		eldifi 3296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
97	96	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
98		nn0uz 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
99	13, 98	eleqtrdi 2299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
101		elfzp12 10228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)))
104	95, 103	ecased 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 = 0)
105	104	iftrued 3579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = 0)
106	105	oveq2d 5967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
107	75, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
108	107	mul01d 8472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
109	96, 108	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
110	106, 109	eqtrd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = 0)
111		elfzelz 10154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
112	111	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
113		1zzd 9406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
114	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
115		fzdcel 10169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (1...𝑁))
116	112, 113, 114, 115	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑗 ∈ (1...𝑁))
117	116	ralrimiva 2580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)DECID 𝑗 ∈ (1...𝑁))
118		0zd 9391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
119	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
120	118, 119	fzfigd 10583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
121	74, 89, 110, 117, 120	fisumss 11747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
122		elfznn0 10243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
123	122	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
124	123	nn0cnd 9357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
125		ax-1cn 8025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
126		pncan 8285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
128	127	oveq2d 5967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑧↑𝑗))
129	128	oveq2d 5967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧↑𝑗)))
130	129	oveq2d 5967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑𝑗))))
131	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
132		peano2nn0 9342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
133	122, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
134	133	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
135	131, 134	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
136	134	nn0cnd 9357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
137		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
138	137, 123	expcld 10825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧↑𝑗) ∈ ℂ)
139	135, 136, 138	mulassd 8103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧↑𝑗)) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑𝑗))))
140	135, 136	mulcomd 8101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
141	140	oveq1d 5966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧↑𝑗)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧↑𝑗)))
142	130, 139, 141	3eqtr2d 2245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧↑𝑗)))
143	142	sumeq2dv 11723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧↑𝑗)))
144		1m1e0 9112	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
145	144	oveq1i 5961	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
146	145	sumeq1i 11718	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
147		oveq1 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
148		fvoveq1 5974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘(𝑘 + 1)) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
149	147, 148	oveq12d 5969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
150		oveq2 5959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑗))
151	149, 150	oveq12d 5969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧↑𝑗)))
152	151	cbvsumv 11716	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧↑𝑗))
153	143, 146, 152	3eqtr4g 2264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧↑𝑘)))
154		1zzd 9406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
155	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
156	155	nn0zd 9500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
157	77, 87	mulcld 8100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
158		fveq2 5583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
159		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
160		oveq1 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 + 1) − 1))
161	160	oveq2d 5967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) = (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))
162	159, 161	oveq12d 5969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
163	158, 162	oveq12d 5969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
164	154, 154, 156, 157, 163	fsumshftm 11800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
165		elfznn0 10243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
166	165	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
167		peano2nn0 9342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
168	166, 167	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
169	168	nn0cnd 9357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
170	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
171	170, 168	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
172	169, 171	mulcld 8100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
173		dvply1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
174	173	fvmpt2 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
175	166, 172, 174	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
176	175	oveq1d 5966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧↑𝑘)))
177	176	sumeq2dv 11723	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧↑𝑘)))
178	153, 164, 177	3eqtr4d 2249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
179	71, 121, 178	3eqtr3d 2247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
180	179	mpteq2dva 4138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
181		dvply1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
182	180, 181	eqtr4d 2242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = 𝐺)
183	2, 64, 182	3eqtrd 2243	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ∖ cdif 3164   ⊆ wss 3167  ifcif 3572  {cpr 3635   ↦ cmpt 4109  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937   − cmin 8250  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ...cfz 10137  ↑cexp 10690  Σcsu 11708  TopOpenctopn 13116  ℂ_fldccnfld 14362  Topctop 14513   D cdv 15171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-map 6744  df-pm 6745  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-inf 7094  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-xneg 9901  df-xadd 9902  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-rest 13117  df-topn 13118  df-topgen 13136  df-psmet 14349  df-xmet 14350  df-met 14351  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-top 14514  df-topon 14527  df-topsp 14547  df-bases 14559  df-ntr 14612  df-cn 14704  df-cnp 14705  df-tx 14769  df-xms 14855  df-ms 14856  df-cncf 15087  df-limced 15172  df-dvap 15173

This theorem is referenced by:  dvply2g  15282