Theorem psrbagfsuppd 15193

Description: Given a function on finite bags, where there is an upper bound of values which can map to anything other than zero, the function is finitely supported. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagfsuppd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐵)
psrbagfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
psrbagfsuppd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrbagfsuppd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrbagfsuppd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (¬ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐾 → (𝐹‘𝑦) = 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝑦,𝐾   𝑦,𝑍   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem psrbagfsuppd

Dummy variables 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagfsuppd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐵)
2		fnmap 6934	. . . 4 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
3		nn0ex 9581	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
4		psrbagfsuppd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5	4	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
6		fnovex 6121	. . . 4 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
7	2, 3, 5, 6	mp3an12i 1382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
8	1, 7	fexd 5951	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		psrbagfsuppd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		psrbagfsuppd.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
11		psrbaglefimap 15183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾} ∈ Fin)
12	10, 4, 11	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾} ∈ Fin)
13		ssrab2 3333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾} ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)
14	13	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾} ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
15		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾}))
16	15	eldifad 3231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → 𝑣 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
17	15	eldifbd 3232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → ¬ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})
18		breq1 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾 ↔ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾))
19	18	elrab 2982	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾} ↔ (𝑣 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾))
20	17, 19	sylnib 687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → ¬ (𝑣 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾))
21	16, 20	mpnanrd 704	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → ¬ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾)
22		breq1 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐾 ↔ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾))
23	22	notbid 677	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (¬ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾))
24		fveqeq2 5707	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑣) = 𝑍))
25	23, 24	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((¬ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐾 → (𝐹‘𝑦) = 𝑍) ↔ (¬ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾 → (𝐹‘𝑣) = 𝑍)))
26		psrbagfsuppd.y	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (¬ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐾 → (𝐹‘𝑦) = 𝑍))
27	26	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(¬ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐾 → (𝐹‘𝑦) = 𝑍))
28	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(¬ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐾 → (𝐹‘𝑦) = 𝑍))
29	25, 28, 16	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → (¬ 𝑣 ∘𝑟 ≤ 𝐾 → (𝐹‘𝑣) = 𝑍))
30	21, 29	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝐾})) → (𝐹‘𝑣) = 𝑍)
31	1, 8, 9, 12, 14, 30	isfsuppf 7298	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292   ≤ cle 8368  ℕ₀cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by:  mplsubrglemcl  15249