Theorem psrbagmaxlem1y 15182

Description: Lemma for psrbagmax 15183. All the bags in 𝑌 are (pointwise) less than 𝑆, and thus elements of 𝑍. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagmaxlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrbagmaxlem1.xfi	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
psrbagmaxlem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrbagmaxlem1a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝐼⟶ℕ0)
psrbagmaxlem1a.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶ℕ0)
psrbagmaxlem1a.s	⊢ 𝑆 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ sup({(𝑃‘𝑖), (𝑅‘𝑖)}, ℝ, < ))
psrbagmaxlem1x.z	⊢ 𝑍 = {𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆}
psrbagmaxlem1a.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑗))
psrbagmaxlem1a.y	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑅‘𝑗))
psrbagmaxlem1a.yss	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrbagmaxlem1a.yfi	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
psrbagmaxlem1y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑗   𝐼,𝑞   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑆,𝑗   𝑆,𝑞   𝑗,𝑌,𝑦   𝑦,𝑍   𝜑,𝑖,𝑗   𝜑,𝑦   𝑦,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑞)   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑞)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑞)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑖)   𝐼(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑞)   𝑌(𝑥, 𝑖, 𝑞)   𝑍(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑞)

Proof of Theorem psrbagmaxlem1y

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagmaxlem1a.yss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
2	1	sselda 3248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
3		elmapi 6949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
5	4	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑗) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 9630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑗) ∈ ℝ)
7		psrbagmaxlem1a.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶ℕ0)
8	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑅:𝐼⟶ℕ0)
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑗 ∈ 𝐼)
10	8, 9	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑗) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 9630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑗) ∈ ℝ)
12		psrbagmaxlem1.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
13		psrbagmaxlem1.xfi	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
14		psrbagmaxlem1.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
15		psrbagmaxlem1a.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝐼⟶ℕ0)
16		psrbagmaxlem1a.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ sup({(𝑃‘𝑖), (𝑅‘𝑖)}, ℝ, < ))
17	12, 13, 14, 15, 7, 16	psrbagmaxlem1a 15179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶ℕ0)
18	17	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑆:𝐼⟶ℕ0)
19	18, 9	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑗) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 9630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑗) ∈ ℝ)
21		psrbagmaxlem1a.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑅‘𝑗))
22	21	r19.21bi 2638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑅‘𝑗))
23	22	r19.21bi 2638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑅‘𝑗))
24	23	an32s 574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑅‘𝑗))
25	15	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑃:𝐼⟶ℕ0)
26	25, 9	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑗) ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 9630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑗) ∈ ℝ)
28		maxle2 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝑅‘𝑗) ∈ ℝ) → (𝑅‘𝑗) ≤ sup({(𝑃‘𝑗), (𝑅‘𝑗)}, ℝ, < ))
29	27, 11, 28	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑗) ≤ sup({(𝑃‘𝑗), (𝑅‘𝑗)}, ℝ, < ))
30		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑗))
31		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑗))
32	30, 31	preq12d 3796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → {(𝑃‘𝑖), (𝑅‘𝑖)} = {(𝑃‘𝑗), (𝑅‘𝑗)})
33	32	supeq1d 7333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → sup({(𝑃‘𝑖), (𝑅‘𝑖)}, ℝ, < ) = sup({(𝑃‘𝑗), (𝑅‘𝑗)}, ℝ, < ))
34		nn0maxcl 12013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘𝑗) ∈ ℕ0 ∧ (𝑅‘𝑗) ∈ ℕ0) → sup({(𝑃‘𝑗), (𝑅‘𝑗)}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
35	26, 10, 34	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → sup({(𝑃‘𝑗), (𝑅‘𝑗)}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
36	16, 33, 9, 35	fvmptd3 5802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑗) = sup({(𝑃‘𝑗), (𝑅‘𝑗)}, ℝ, < ))
37	29, 36	breqtrrd 4159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑗) ≤ (𝑆‘𝑗))
38	6, 11, 20, 24, 37	letrd 8457	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑆‘𝑗))
39	38	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑆‘𝑗))
40		elmapfn 6957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
41	2, 40	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 Fn 𝐼)
42	17	ffnd 5537	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝐼)
43	42	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑆 Fn 𝐼)
44	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐼 ∈ Fin)
45		inidm 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
46		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑗) = (𝑦‘𝑗))
47		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑗) = (𝑆‘𝑗))
48	41, 43, 44, 44, 45, 46, 47	ofrfval 6315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑗) ≤ (𝑆‘𝑗)))
49	39, 48	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑆)
50		breq1 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑦 → (𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆 ↔ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑆))
51		psrbagmaxlem1x.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = {𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆}
52	50, 51	elrab2 2985	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑆))
53	2, 49, 52	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑍)
54	53	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ∈ 𝑍))
55	54	ssrdv 3254	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028  supcsup 7328  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-map 6929  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-rp 10071  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786

This theorem is used by:  psrbagmax  15183