Theorem psrmulvalfifi 15208

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulvalfifi.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulvalfifi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulvalfifi.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulvalfifi.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulvalfifi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulvalfifi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
psrmulvalfifi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrmulvalfifi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrmulvalfifi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
psrmulvalfifi	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘𝑓 − 𝑘))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑦   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦, 𝑘)   ∙ (𝑦, 𝑘)   · (𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem psrmulvalfifi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulvalfifi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmulvalfifi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmulvalfifi.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		psrmulvalfifi.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
5		eqid 2238	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrmulvalfifi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		psrmulvalfifi.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		psrmulvalfifi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
9		psrmulvalfifi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
10	5	psrbagfi 15167	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
12	8, 11	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
13		psrmulvalfifi.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 9, 13	psrmulvalfi 15207	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘𝑓 − 𝑘))))))
15	11	rabeqdv 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋})
16	15	mpteq1d 4217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘𝑓 − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘𝑓 − 𝑘)))))
17	16	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘𝑓 − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘𝑓 − 𝑘))))))
18	14, 17	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘𝑓 − 𝑘))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   ≤ cle 8368   − cmin 8505  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491   Σ_g cgsu 14240  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15157

This theorem is used by:  mplsubrglemcl  15249