Theorem 2wspdisj 30056

Description: All simple paths of length 2 from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2wspdisj	⊢ Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏

Proof of Theorem 2wspdisj

Dummy variables 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7378	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
2		wspthneq1eq2 29951	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → (𝐴 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝑐))
3	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
4	3	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
5	1, 4	disjord 5089	. 2 ⊢ (⊤ → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
6	5	mptru 1549	1 ⊢ Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900  {csn 4582  Disj wdisj 5067  (class class class)co 7370  2c2 12214   WSPathsNOn cwwspthsnon 29920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-wlks 29691  df-wlkson 29692  df-trls 29782  df-trlson 29783  df-pths 29805  df-spths 29806  df-pthson 29807  df-spthson 29808  df-wwlksnon 29923  df-wspthsnon 29925

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30425