Theorem 2wspdisj 30284

Description: All simple paths of length 2 from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2wspdisj	⊢ Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏

Proof of Theorem 2wspdisj

Dummy variables 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
2		wspthneq1eq2 30179	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → (𝐴 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝑐))
3	2	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
4	3	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
5	1, 4	disjord 5103	. 2 ⊢ (⊤ → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
6	5	mptru 1575	1 ⊢ Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1568  ⊤wtru 1569   ∈ wcel 2150   ∖ cdif 3910  {csn 4594  Disj wdisj 5081  (class class class)co 7414  2c2 12298   WSPathsNOn cwwspthsnon 30148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-wlks 29919  df-wlkson 29920  df-trls 30010  df-trlson 30011  df-pths 30033  df-spths 30034  df-pthson 30035  df-spthson 30036  df-wwlksnon 30151  df-wspthsnon 30153

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30653