Theorem 2wspiundisj 29005

Description: All simple paths of length 2 from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Mar-2018.) (Revised by AV, 14-May-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2wspiundisj	⊢ Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2wspiundisj

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7384	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
2		oveq2 7385	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑))
3		sneq 4616	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎} = {𝑐})
4	3	difeq2d 4102	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑐}))
5		wspthneq1eq2 28902	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑)) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
6	5	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑)) → 𝑎 = 𝑐)
7	6	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑡 ∈ (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑)) → 𝑎 = 𝑐)
8	1, 2, 4, 7	disjiund 5115	. 2 ⊢ (⊤ → Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
9	8	mptru 1548	1 ⊢ Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Syntax hints:   ∧ wa 396  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3925  {csn 4606  ∪ ciun 4974  Disj wdisj 5090  (class class class)co 7377  2c2 12232   WSPathsNOn cwwspthsnon 28871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-disj 5091  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-wlks 28644  df-wlkson 28645  df-trls 28737  df-trlson 28738  df-pths 28761  df-spths 28762  df-pthson 28763  df-spthson 28764  df-wwlksnon 28874  df-wspthsnon 28876

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  29373