Theorem 2wspiundisj 30034

Description: All simple paths of length 2 from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Mar-2018.) (Revised by AV, 14-May-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2wspiundisj	⊢ Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2wspiundisj

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
2		oveq2 7375	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑))
3		sneq 4577	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎} = {𝑐})
4	3	difeq2d 4066	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑐}))
5		wspthneq1eq2 29928	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑)) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
6	5	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑)) → 𝑎 = 𝑐)
7	6	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑡 ∈ (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝑐(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑑)) → 𝑎 = 𝑐)
8	1, 2, 4, 7	disjiund 5076	. 2 ⊢ (⊤ → Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
9	8	mptru 1549	1 ⊢ Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)

Syntax hints:   ∧ wa 395  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ∪ ciun 4933  Disj wdisj 5052  (class class class)co 7367  2c2 12236   WSPathsNOn cwwspthsnon 29897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-wlks 29668  df-wlkson 29669  df-trls 29759  df-trlson 29760  df-pths 29782  df-spths 29783  df-pthson 29784  df-spthson 29785  df-wwlksnon 29900  df-wspthsnon 29902

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30402