MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrhash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrhash2wsp 30364
Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, Huneke counts undirected paths, so obtains the result ((𝑛C2) = ((𝑛 · (𝑛 − 1)) / 2)), whereas we count directed paths, obtaining twice that number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrhash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrhash2wsp ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12366 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 frgrhash2wsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32wspniunwspnon 29956 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
41, 3mpan 689 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
54fveq2d 6924 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
65adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7 simpr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
8 eqid 2740 . . 3 (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑎})
92eleq1i 2835 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10 wspthnonfi 29955 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
119, 10sylbi 217 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1211adantl 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
13123ad2ant1 1133 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
14 2wspiundisj 29996 . . . 4 Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
1514a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
16 2wspdisj 29995 . . . 4 Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
1716a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
18 simplll 774 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
20 eldifi 4154 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
2119, 20anim12i 612 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
22 eldifsni 4815 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑎)
2322necomd 3002 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
2423adantl 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎𝑏)
252frgr2wsp1 30362 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
2618, 21, 24, 25syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
27263impa 1110 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
287, 8, 13, 15, 17, 27hash2iun1dif1 15872 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
296, 28eqtrd 2780 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  cdif 3973  {csn 4648   ciun 5015  Disj wdisj 5133  cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  1c1 11185   · cmul 11189  cmin 11520  cn 12293  2c2 12348  chash 14379  Vtxcvtx 29031   WSPathsN cwwspthsn 29861   WSPathsNOn cwwspthsnon 29862   FriendGraph cfrgr 30290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-edg 29083  df-uhgr 29093  df-upgr 29117  df-umgr 29118  df-uspgr 29185  df-usgr 29186  df-wlks 29635  df-wlkson 29636  df-trls 29728  df-trlson 29729  df-pths 29752  df-spths 29753  df-pthson 29754  df-spthson 29755  df-wwlks 29863  df-wwlksn 29864  df-wwlksnon 29865  df-wspthsn 29866  df-wspthsnon 29867  df-frgr 30291
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  30372
  Copyright terms: Public domain W3C validator