MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrhash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrhash2wsp 30351
Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, Huneke counts undirected paths, so obtains the result ((𝑛C2) = ((𝑛 · (𝑛 − 1)) / 2)), whereas we count directed paths, obtaining twice that number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrhash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrhash2wsp ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 frgrhash2wsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32wspniunwspnon 29943 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
41, 3mpan 690 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
54fveq2d 6910 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
65adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7 simpr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
8 eqid 2737 . . 3 (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑎})
92eleq1i 2832 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10 wspthnonfi 29942 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
119, 10sylbi 217 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1211adantl 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
13123ad2ant1 1134 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
14 2wspiundisj 29983 . . . 4 Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
1514a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
16 2wspdisj 29982 . . . 4 Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
1716a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
18 simplll 775 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
20 eldifi 4131 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
2119, 20anim12i 613 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
22 eldifsni 4790 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑎)
2322necomd 2996 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
2423adantl 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎𝑏)
252frgr2wsp1 30349 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
2618, 21, 24, 25syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
27263impa 1110 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
287, 8, 13, 15, 17, 27hash2iun1dif1 15860 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
296, 28eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626   ciun 4991  Disj wdisj 5110  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  chash 14369  Vtxcvtx 29013   WSPathsN cwwspthsn 29848   WSPathsNOn cwwspthsnon 29849   FriendGraph cfrgr 30277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-wlks 29617  df-wlkson 29618  df-trls 29710  df-trlson 29711  df-pths 29734  df-spths 29735  df-pthson 29736  df-spthson 29737  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-wwlksnon 29852  df-wspthsn 29853  df-wspthsnon 29854  df-frgr 30278
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  30359
  Copyright terms: Public domain W3C validator