Theorem frgrhash2wsp 30424

Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, Huneke counts undirected paths, so obtains the result ((𝑛C2) = ((𝑛 · (𝑛 − 1)) / 2)), whereas we count directed paths, obtaining twice that number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrhash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrhash2wsp	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12249	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		frgrhash2wsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wspniunwspnon 30013	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
4	1, 3	mpan 697	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
5	4	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
6	5	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
8		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑎})
9	2	eleq1i 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10		wspthnonfi 30012	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
11	9, 10	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
12	11	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
13	12	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
14		2wspiundisj 30056	. . . 4 ⊢ Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
16		2wspdisj 30055	. . . 4 ⊢ Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
18		simplll 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
20		eldifi 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ∈ 𝑉)
21	19, 20	anim12i 620	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
22		eldifsni 4726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ≠ 𝑎)
23	22	necomd 2991	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
24	23	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎 ≠ 𝑏)
25	2	frgr2wsp1 30422	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
27	26	3impa 1116	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
28	7, 8, 13, 15, 17, 27	hash2iun1dif1 15782	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
29	6, 28	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∖ cdif 3882  {csn 4558  ∪ ciun 4924  Disj wdisj 5042  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  1c1 11034   · cmul 11038   − cmin 11372  ℕcn 12169  2c2 12231  ♯chash 14287  Vtxcvtx 29087   WSPathsN cwwspthsn 29918   WSPathsNOn cwwspthsnon 29919   FriendGraph cfrgr 30350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-ifp 1070  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-disj 5043  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-upgr 29173  df-umgr 29174  df-uspgr 29241  df-usgr 29242  df-wlks 29690  df-wlkson 29691  df-trls 29781  df-trlson 29782  df-pths 29804  df-spths 29805  df-pthson 29806  df-spthson 29807  df-wwlks 29920  df-wwlksn 29921  df-wwlksnon 29922  df-wspthsn 29923  df-wspthsnon 29924  df-frgr 30351

This theorem is referenced by:  frrusgrord0  30432