Theorem frgrhash2wsp 29849

Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, Huneke counts undirected paths, so obtains the result ((𝑛C2) = ((𝑛 · (𝑛 − 1)) / 2)), whereas we count directed paths, obtaining twice that number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrhash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrhash2wsp	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12290	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		frgrhash2wsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wspniunwspnon 29441	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
4	1, 3	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
5	4	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑎})
9	2	eleq1i 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10		wspthnonfi 29440	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
11	9, 10	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
13	12	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
14		2wspiundisj 29481	. . . 4 ⊢ Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
16		2wspdisj 29480	. . . 4 ⊢ Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
18		simplll 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
20		eldifi 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ∈ 𝑉)
21	19, 20	anim12i 612	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
22		eldifsni 4794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ≠ 𝑎)
23	22	necomd 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎 ≠ 𝑏)
25	2	frgr2wsp1 29847	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
27	26	3impa 1109	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
28	7, 8, 13, 15, 17, 27	hash2iun1dif1 15775	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
29	6, 28	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3946  {csn 4629  ∪ ciun 4998  Disj wdisj 5114  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  1c1 11114   · cmul 11118   − cmin 11449  ℕcn 12217  2c2 12272  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28520   WSPathsN cwwspthsn 29346   WSPathsNOn cwwspthsnon 29347   FriendGraph cfrgr 29775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-uspgr 28674  df-usgr 28675  df-wlks 29120  df-wlkson 29121  df-trls 29213  df-trlson 29214  df-pths 29237  df-spths 29238  df-pthson 29239  df-spthson 29240  df-wwlks 29348  df-wwlksn 29349  df-wwlksnon 29350  df-wspthsn 29351  df-wspthsnon 29352  df-frgr 29776

This theorem is referenced by:  frrusgrord0  29857