MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrhash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrhash2wsp 30361
Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, Huneke counts undirected paths, so obtains the result ((𝑛C2) = ((𝑛 · (𝑛 − 1)) / 2)), whereas we count directed paths, obtaining twice that number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrhash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrhash2wsp ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12337 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 frgrhash2wsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32wspniunwspnon 29953 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
41, 3mpan 690 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
54fveq2d 6911 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
65adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7 simpr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
8 eqid 2735 . . 3 (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑎})
92eleq1i 2830 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10 wspthnonfi 29952 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
119, 10sylbi 217 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1211adantl 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
13123ad2ant1 1132 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
14 2wspiundisj 29993 . . . 4 Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
1514a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
16 2wspdisj 29992 . . . 4 Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
1716a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
18 simplll 775 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
20 eldifi 4141 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
2119, 20anim12i 613 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
22 eldifsni 4795 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑎)
2322necomd 2994 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
2423adantl 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎𝑏)
252frgr2wsp1 30359 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
2618, 21, 24, 25syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
27263impa 1109 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
287, 8, 13, 15, 17, 27hash2iun1dif1 15857 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
296, 28eqtrd 2775 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631   ciun 4996  Disj wdisj 5115  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  1c1 11154   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  chash 14366  Vtxcvtx 29028   WSPathsN cwwspthsn 29858   WSPathsNOn cwwspthsnon 29859   FriendGraph cfrgr 30287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-wlks 29632  df-wlkson 29633  df-trls 29725  df-trlson 29726  df-pths 29749  df-spths 29750  df-pthson 29751  df-spthson 29752  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-wwlksnon 29862  df-wspthsn 29863  df-wspthsnon 29864  df-frgr 30288
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  30369
  Copyright terms: Public domain W3C validator