Theorem frgrhash2wsp 30694

Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, Huneke counts undirected paths, so obtains the result ((𝑛C2) = ((𝑛 · (𝑛 − 1)) / 2)), whereas we count directed paths, obtaining twice that number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrhash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrhash2wsp	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12320	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		frgrhash2wsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wspniunwspnon 30283	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
4	1, 3	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
5	4	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
6	5	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝑎})
9	2	eleq1i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10		wspthnonfi 30282	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
11	9, 10	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
12	11	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
13	12	3ad2ant1 1150	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
14		2wspiundisj 30326	. . . 4 ⊢ Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Disj 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
16		2wspdisj 30325	. . . 4 ⊢ Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
18		simplll 786	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
20		eldifi 4084	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ∈ 𝑉)
21	19, 20	anim12i 624	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
22		eldifsni 4757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ≠ 𝑎)
23	22	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
24	23	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎 ≠ 𝑏)
25	2	frgr2wsp1 30692	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
27	26	3impa 1126	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (♯‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
28	7, 8, 13, 15, 17, 27	hash2iun1dif1 15883	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘∪ 𝑎 ∈ 𝑉 ∪ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
29	6, 28	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901  {csn 4588  ∪ ciun 4955  Disj wdisj 5075  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  1c1 11107   · cmul 11111   − cmin 11447  ℕcn 12239  2c2 12301  ♯chash 14373  Vtxcvtx 29357   WSPathsN cwwspthsn 30188   WSPathsNOn cwwspthsnon 30189   FriendGraph cfrgr 30620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1078  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-s3 14893  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-edg 29409  df-uhgr 29419  df-upgr 29443  df-umgr 29444  df-uspgr 29511  df-usgr 29512  df-wlks 29960  df-wlkson 29961  df-trls 30051  df-trlson 30052  df-pths 30074  df-spths 30075  df-pthson 30076  df-spthson 30077  df-wwlks 30190  df-wwlksn 30191  df-wwlksnon 30192  df-wspthsn 30193  df-wspthsnon 30194  df-frgr 30621

This theorem is used by:  frrusgrord0  30702