Theorem acsdrsel 18576

Description: An algebraic closure system contains all directed unions of closed sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsdrsel	⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem acsdrsel

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6868	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (toInc‘𝑠) = (toInc‘𝑌))
2	1	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3		unieq 4877	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑌)
4	3	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝐶))
5	2, 4	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)))
6		isacs3lem 18575	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
7	6	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
9		elpw2g 5290	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑌 ⊆ 𝐶))
10	9	biimpar 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝐶)
11	5, 8, 10	rspcdva 3583	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶))
12	11	3impia 1131	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6522  Moorecmre 17611  ACScacs 17614  Dirsetcdrs 18326  toInccipo 18560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ocomp 17308  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-proset 18327  df-drs 18328  df-poset 18346  df-ipo 18561

This theorem is referenced by:  isnacs3  43292