MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrsel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsdrsel 18302
Description: An algebraic closure system contains all directed unions of closed sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsdrsel ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝐢 ∧ (toIncβ€˜π‘Œ) ∈ Dirset) β†’ βˆͺ π‘Œ ∈ 𝐢)

Proof of Theorem acsdrsel
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6800 . . . . 5 (𝑠 = π‘Œ β†’ (toIncβ€˜π‘ ) = (toIncβ€˜π‘Œ))
21eleq1d 2821 . . . 4 (𝑠 = π‘Œ β†’ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ↔ (toIncβ€˜π‘Œ) ∈ Dirset))
3 unieq 4855 . . . . 5 (𝑠 = π‘Œ β†’ βˆͺ 𝑠 = βˆͺ π‘Œ)
43eleq1d 2821 . . . 4 (𝑠 = π‘Œ β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ π‘Œ ∈ 𝐢))
52, 4imbi12d 346 . . 3 (𝑠 = π‘Œ β†’ (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢) ↔ ((toIncβ€˜π‘Œ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ π‘Œ ∈ 𝐢)))
6 isacs3lem 18301 . . . . 5 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
76simprd 497 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢))
87adantr 482 . . 3 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝐢) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢))
9 elpw2g 5277 . . . 4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (π‘Œ ∈ 𝒫 𝐢 ↔ π‘Œ βŠ† 𝐢))
109biimpar 479 . . 3 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐢)
115, 8, 10rspcdva 3567 . 2 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝐢) β†’ ((toIncβ€˜π‘Œ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ π‘Œ ∈ 𝐢))
12113impia 1117 1 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝐢 ∧ (toIncβ€˜π‘Œ) ∈ Dirset) β†’ βˆͺ π‘Œ ∈ 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3892  π’« cpw 4539  βˆͺ cuni 4844  β€˜cfv 6454  Moorecmre 17332  ACScacs 17335  Dirsetcdrs 18053  toInccipo 18286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-fz 13282  df-struct 16889  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ocomp 17024  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-proset 18054  df-drs 18055  df-poset 18072  df-ipo 18287
This theorem is referenced by:  isnacs3  40568
  Copyright terms: Public domain W3C validator