Theorem acsdrsel 17776

Description: An algebraic closure system contains all directed unions of closed sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsdrsel	⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem acsdrsel

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6669	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (toInc‘𝑠) = (toInc‘𝑌))
2	1	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3		unieq 4848	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑌)
4	3	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝐶))
5	2, 4	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)))
6		isacs3lem 17775	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
7	6	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
8	7	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
9		elpw2g 5246	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑌 ⊆ 𝐶))
10	9	biimpar 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝐶)
11	5, 8, 10	rspcdva 3624	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶))
12	11	3impia 1113	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4837  ‘cfv 6354  Moorecmre 16852  ACScacs 16855  Dirsetcdrs 17536  toInccipo 17760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ocomp 16585  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-proset 17537  df-drs 17538  df-poset 17555  df-ipo 17761

This theorem is referenced by:  isnacs3  39305