Theorem acsdrsel 17895

Description: An algebraic closure system contains all directed unions of closed sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsdrsel	⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem acsdrsel

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6676	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (toInc‘𝑠) = (toInc‘𝑌))
2	1	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3		unieq 4807	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑌)
4	3	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝐶))
5	2, 4	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑌 → (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)))
6		isacs3lem 17894	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
7	6	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
9		elpw2g 5212	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑌 ⊆ 𝐶))
10	9	biimpar 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝐶)
11	5, 8, 10	rspcdva 3528	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶))
12	11	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝐶 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → ∪ 𝑌 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053   ⊆ wss 3843  𝒫 cpw 4488  ∪ cuni 4796  ‘cfv 6339  Moorecmre 16958  ACScacs 16961  Dirsetcdrs 17655  toInccipo 17879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-fz 12984  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ocomp 16691  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-proset 17656  df-drs 17657  df-poset 17674  df-ipo 17880

This theorem is referenced by:  isnacs3  40126