Theorem cshwidxn 14726

Description: The symbol at index (n-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index (N-1) of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxn	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem cshwidxn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 13434	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfz1b 13503	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
5		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	4, 5	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		fzo0end 13668	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
10		cshwidxmod 14720	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
11	1, 3, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
12		nncn 12143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
14		1cnd 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 12143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 14, 16	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	4, 18	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20		subadd23 11382	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
22	21	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)))
23		nnm1nn0 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
25		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
26		nnz 12499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
27		nnz 12499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
28	26, 27	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
29	28	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30		zlem1lt 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
32	25, 31	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊))
33	24, 5, 32	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
34	4, 33	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
35		addmodid 13836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
37	22, 36	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
38	37	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
39	38	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
40	11, 39	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   < clt 11156   ≤ cle 11157   − cmin 11354  ℕcn 12135  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ...cfz 13417  ..^cfzo 13564   mod cmo 13783  ♯chash 14247  Word cword 14430   cyclShift ccsh 14705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-ico 13261  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784  df-hash 14248  df-word 14431  df-concat 14488  df-substr 14559  df-pfx 14589  df-csh 14706

This theorem is referenced by:  lswcshw  14732