Theorem cshwidxn 14857

Description: The symbol at index (n-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index (N-1) of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxn	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem cshwidxn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 13584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfz1b 13653	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
5		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	4, 5	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		fzo0end 13808	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
10		cshwidxmod 14851	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
11	1, 3, 9, 10	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
12		nncn 12301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
14		1cnd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 12301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 14, 16	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	4, 18	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20		subadd23 11548	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
22	21	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)))
23		nnm1nn0 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
25		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
26		nnz 12660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
27		nnz 12660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
28	26, 27	anim12i 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
29	28	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30		zlem1lt 12695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
32	25, 31	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊))
33	24, 5, 32	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
34	4, 33	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
35		addmodid 13970	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
37	22, 36	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
38	37	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
39	38	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
40	11, 39	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711   mod cmo 13920  ♯chash 14379  Word cword 14562   cyclShift ccsh 14836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-csh 14837

This theorem is referenced by:  lswcshw  14863