Theorem cshwidxn 14769

Description: The symbol at index (n-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index (N-1) of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxn	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem cshwidxn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 13476	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfz1b 13545	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
5		simp2 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	4, 5	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		fzo0end 13711	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
10		cshwidxmod 14763	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
11	1, 3, 9, 10	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
12		nncn 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
14		1cnd 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 14, 16	3jca 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
18	17	3adant3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	4, 18	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20		subadd23 11403	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
22	21	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)))
23		nnm1nn0 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
24	23	3ad2ant1 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
25		simp3 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
26		nnz 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
27		nnz 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
28	26, 27	anim12i 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
29	28	3adant3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30		zlem1lt 12577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
32	25, 31	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊))
33	24, 5, 32	3jca 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
34	4, 33	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)))
35		addmodid 13879	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
37	22, 36	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
38	37	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
39	38	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
40	11, 39	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606   mod cmo 13826  ♯chash 14290  Word cword 14473   cyclShift ccsh 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-csh 14749

This theorem is referenced by:  lswcshw  14775