Theorem aks6d1c2p1 42075

Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c2p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2p1.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c2p1.4	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c2p1	⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2p1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c2p1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16721	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
6		xp1st 8062	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
8	4, 7	nnexpcld 14294	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) ∈ ℕ)
9		aks6d1c2p1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
10		aks6d1c2p1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10, 3	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
12		nndivdvds 16311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
14	9, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
16		xp2nd 8063	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
18	15, 17	nnexpcld 14294	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) ∈ ℕ)
19	8, 18	nnmulcld 12346	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) ∈ ℕ)
20		aks6d1c2p1.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21		vex 3492	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
22		vex 3492	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑙 ∈ V
23	21, 22	op1std 8040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑎) = 𝑘)
24	23	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) = (𝑃↑𝑘))
25	21, 22	op2ndd 8041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑎) = 𝑙)
26	25	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
27	24, 26	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
28	27	mpompt 7564	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
29	28	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
30	20, 29	eqtri 2768	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
31	19, 30	fmptd 7148	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  1^st c1st 8028  2^nd c2nd 8029   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  42076  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem4  42130  aks6d1c6lem5  42134  aks6d1c7lem1  42137