Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c2p1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c2p1 41644
Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c2p1.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aks6d1c2p1.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
aks6d1c2p1.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑁)
aks6d1c2p1.4 𝐸 = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c2p1 (πœ‘ β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁,𝑙   𝑃,π‘˜,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,𝑙)   𝐸(π‘˜,𝑙)
Proof of Theorem aks6d1c2p1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c2p1.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
2 prmnn 16642 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
43adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
6 xp1st 8021 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
75, 6syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
84, 7nnexpcld 14237 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) ∈ β„•)
9 aks6d1c2p1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑁)
10 aks6d1c2p1.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110, 3jca 510 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•))
12 nndivdvds 16237 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•))
149, 13mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•)
1514adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•)
16 xp2nd 8022 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
175, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
1815, 17nnexpcld 14237 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)) ∈ β„•)
198, 18nnmulcld 12293 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))) ∈ β„•)
20 aks6d1c2p1.4 . . 3 𝐸 = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21 vex 3467 . . . . . . . 8 π‘˜ ∈ V
22 vex 3467 . . . . . . . 8 𝑙 ∈ V
2321, 22op1std 7999 . . . . . . 7 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (1st β€˜π‘Ž) = π‘˜)
2423oveq2d 7431 . . . . . 6 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) = (π‘ƒβ†‘π‘˜))
2521, 22op2ndd 8000 . . . . . . 7 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘Ž) = 𝑙)
2625oveq2d 7431 . . . . . 6 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
2724, 26oveq12d 7433 . . . . 5 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))) = ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2827mpompt 7530 . . . 4 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)))) = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2928eqcomi 2734 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))))
3020, 29eqtri 2753 . 2 𝐸 = (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))))
3119, 30fmptd 7118 1 (πœ‘ β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  1st c1st 7987  2nd c2nd 7988   Β· cmul 11141   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β†‘cexp 14056   βˆ₯ cdvds 16228  β„™cprime 16639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-exp 14057  df-dvds 16229  df-prm 16640
This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  41645  aks6d1c2lem4  41653  aks6d1c6lem2  41698  aks6d1c6lem4  41700  aks6d1c6lem5  41704  aks6d1c7lem1  41707
  Copyright terms: Public domain W3C validator