Theorem aks6d1c2p1 42136

Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c2p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2p1.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c2p1.4	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c2p1	⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2p1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c2p1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16698	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
6		xp1st 8025	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
8	4, 7	nnexpcld 14268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) ∈ ℕ)
9		aks6d1c2p1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
10		aks6d1c2p1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10, 3	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
12		nndivdvds 16286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
14	9, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
16		xp2nd 8026	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
18	15, 17	nnexpcld 14268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) ∈ ℕ)
19	8, 18	nnmulcld 12298	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) ∈ ℕ)
20		aks6d1c2p1.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21		vex 3468	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
22		vex 3468	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑙 ∈ V
23	21, 22	op1std 8003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑎) = 𝑘)
24	23	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) = (𝑃↑𝑘))
25	21, 22	op2ndd 8004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑎) = 𝑙)
26	25	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
27	24, 26	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
28	27	mpompt 7526	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
29	28	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
30	20, 29	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
31	19, 30	fmptd 7109	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7991  2^nd c2nd 7992   · cmul 11139   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085  df-dvds 16278  df-prm 16696

This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  42137  aks6d1c2lem4  42145  aks6d1c6lem2  42189  aks6d1c6lem4  42191  aks6d1c6lem5  42195  aks6d1c7lem1  42198