Theorem aks6d1c2p1 40325

Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c2p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2p1.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c2p1.4	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c2p1	⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2p1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c2p1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16453	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
6		xp1st 7909	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
8	4, 7	nnexpcld 14039	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) ∈ ℕ)
9		aks6d1c2p1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
10		aks6d1c2p1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10, 3	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
12		nndivdvds 16048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
14	9, 13	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
16		xp2nd 7910	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
18	15, 17	nnexpcld 14039	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) ∈ ℕ)
19	8, 18	nnmulcld 12105	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) ∈ ℕ)
20		aks6d1c2p1.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
22		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑙 ∈ V
23	21, 22	op1std 7887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑎) = 𝑘)
24	23	oveq2d 7332	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) = (𝑃↑𝑘))
25	21, 22	op2ndd 7888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑎) = 𝑙)
26	25	oveq2d 7332	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
27	24, 26	oveq12d 7334	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
28	27	mpompt 7429	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
29	28	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
30	20, 29	eqtri 2764	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
31	19, 30	fmptd 7027	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4576   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5169   × cxp 5605  ⟶wf 6461  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316   ∈ cmpo 7318  1^st c1st 7875  2^nd c2nd 7876   · cmul 10955   / cdiv 11711  ℕcn 12052  ℕ₀cn0 12312  ↑cexp 13861   ∥ cdvds 16039  ℙcprime 16450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-seq 13801  df-exp 13862  df-dvds 16040  df-prm 16451

This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  40326