Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c2p1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c2p1 40944
Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c2p1.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aks6d1c2p1.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
aks6d1c2p1.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑁)
aks6d1c2p1.4 𝐸 = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c2p1 (πœ‘ β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁,𝑙   𝑃,π‘˜,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,𝑙)   𝐸(π‘˜,𝑙)
Proof of Theorem aks6d1c2p1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c2p1.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
2 prmnn 16607 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
43adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
6 xp1st 8003 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
75, 6syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
84, 7nnexpcld 14204 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) ∈ β„•)
9 aks6d1c2p1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑁)
10 aks6d1c2p1.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110, 3jca 512 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•))
12 nndivdvds 16202 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•))
149, 13mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•)
1514adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•)
16 xp2nd 8004 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
175, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
1815, 17nnexpcld 14204 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)) ∈ β„•)
198, 18nnmulcld 12261 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))) ∈ β„•)
20 aks6d1c2p1.4 . . 3 𝐸 = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21 vex 3478 . . . . . . . 8 π‘˜ ∈ V
22 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑙 ∈ V
2321, 22op1std 7981 . . . . . . 7 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (1st β€˜π‘Ž) = π‘˜)
2423oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) = (π‘ƒβ†‘π‘˜))
2521, 22op2ndd 7982 . . . . . . 7 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘Ž) = 𝑙)
2625oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
2724, 26oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))) = ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2827mpompt 7518 . . . 4 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)))) = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2928eqcomi 2741 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))))
3020, 29eqtri 2760 . 2 𝐸 = (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))))
3119, 30fmptd 7110 1 (πœ‘ β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970   Β· cmul 11111   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  β„™cprime 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dvds 16194  df-prm 16605
This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  40945
  Copyright terms: Public domain W3C validator