Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c2p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c2p1 43082
Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c2p1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2p1.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2p1.3 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c2p1.4 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c2p1 (𝜑𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘, 𝑙)   𝐸(𝑘, 𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2p1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c2p1.2 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 16797 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43adantr 486 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 simpr 490 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
6 xp1st 8017 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st𝑎) ∈ ℕ0)
75, 6syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st𝑎) ∈ ℕ0)
84, 7nnexpcld 14342 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st𝑎)) ∈ ℕ)
9 aks6d1c2p1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝑁)
10 aks6d1c2p1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110, 3jca 521 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
12 nndivdvds 16384 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
1311, 12syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
149, 13mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
1514adantr 486 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
16 xp2nd 8018 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd𝑎) ∈ ℕ0)
175, 16syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd𝑎) ∈ ℕ0)
1815, 17nnexpcld 14342 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑎)) ∈ ℕ)
198, 18nnmulcld 12346 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑎))) ∈ ℕ)
20 aks6d1c2p1.4 . . 3 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21 vex 3454 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ V
22 vex 3454 . . . . . . . 8 𝑙 ∈ V
2321, 22op1std 7995 . . . . . . 7 (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st𝑎) = 𝑘)
2423oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st𝑎)) = (𝑃𝑘))
2521, 22op2ndd 7996 . . . . . . 7 (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd𝑎) = 𝑙)
2625oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑎)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
2724, 26oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑎))) = ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2827mpompt 7523 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑎)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2928eqcomi 2769 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑎))))
3020, 29eqtri 2783 . 2 𝐸 = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑎))))
3119, 30fmptd 7103 1 (𝜑𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wi 4  wb 209  wa 401   = wceq 1570  wcel 2145  cop 4590   class class class wbr 5103  cmpt 5186   × cxp 5646  wf 6524  cfv 6528  (class class class)co 7409  cmpo 7411  1st c1st 7983  2nd c2nd 7984   · cmul 11162   / cdiv 11928  cn 12290  0cn0 12561  cexp 14158  cdvds 16375  cprime 16794
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-seq 14099  df-exp 14159  df-dvds 16376  df-prm 16795
This theorem is used by:  aks6d1c2p2  43083  aks6d1c2lem4  43091  aks6d1c6lem2  43135  aks6d1c6lem4  43137  aks6d1c6lem5  43141  aks6d1c7lem1  43144
  Copyright terms: Public domain W3C validator