Theorem aks6d1c2p1 42517

Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c2p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2p1.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c2p1.4	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c2p1	⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2p1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c2p1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16615	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
6		xp1st 7977	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
8	4, 7	nnexpcld 14182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) ∈ ℕ)
9		aks6d1c2p1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
10		aks6d1c2p1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10, 3	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
12		nndivdvds 16202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
14	9, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
16		xp2nd 7978	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
18	15, 17	nnexpcld 14182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) ∈ ℕ)
19	8, 18	nnmulcld 12212	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) ∈ ℕ)
20		aks6d1c2p1.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
22		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑙 ∈ V
23	21, 22	op1std 7955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑎) = 𝑘)
24	23	oveq2d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) = (𝑃↑𝑘))
25	21, 22	op2ndd 7956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑎) = 𝑙)
26	25	oveq2d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
27	24, 26	oveq12d 7388	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
28	27	mpompt 7484	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
29	28	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
30	20, 29	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
31	19, 30	fmptd 7070	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5632  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372  1^st c1st 7943  2^nd c2nd 7944   · cmul 11045   / cdiv 11808  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ↑cexp 13998   ∥ cdvds 16193  ℙcprime 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-seq 13939  df-exp 13999  df-dvds 16194  df-prm 16613

This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  42518  aks6d1c2lem4  42526  aks6d1c6lem2  42570  aks6d1c6lem4  42572  aks6d1c6lem5  42576  aks6d1c7lem1  42579