Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c2p1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks6d1c2p1 41496
Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c2p1.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aks6d1c2p1.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
aks6d1c2p1.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑁)
aks6d1c2p1.4 𝐸 = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c2p1 (πœ‘ β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁,𝑙   𝑃,π‘˜,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,𝑙)   𝐸(π‘˜,𝑙)
Proof of Theorem aks6d1c2p1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c2p1.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
2 prmnn 16618 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
43adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
6 xp1st 8006 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
75, 6syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
84, 7nnexpcld 14213 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) ∈ β„•)
9 aks6d1c2p1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑁)
10 aks6d1c2p1.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110, 3jca 511 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•))
12 nndivdvds 16213 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•))
149, 13mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•)
1514adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (𝑁 / 𝑃) ∈ β„•)
16 xp2nd 8007 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
175, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
1815, 17nnexpcld 14213 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)) ∈ β„•)
198, 18nnmulcld 12269 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0)) β†’ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))) ∈ β„•)
20 aks6d1c2p1.4 . . 3 𝐸 = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21 vex 3472 . . . . . . . 8 π‘˜ ∈ V
22 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑙 ∈ V
2321, 22op1std 7984 . . . . . . 7 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (1st β€˜π‘Ž) = π‘˜)
2423oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) = (π‘ƒβ†‘π‘˜))
2521, 22op2ndd 7985 . . . . . . 7 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘Ž) = 𝑙)
2625oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
2724, 26oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘Ž = βŸ¨π‘˜, π‘™βŸ© β†’ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))) = ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2827mpompt 7518 . . . 4 (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž)))) = (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
2928eqcomi 2735 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0, 𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((π‘ƒβ†‘π‘˜) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))))
3020, 29eqtri 2754 . 2 𝐸 = (π‘Ž ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ↦ ((𝑃↑(1st β€˜π‘Ž)) Β· ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd β€˜π‘Ž))))
3119, 30fmptd 7109 1 (πœ‘ β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14032   βˆ₯ cdvds 16204  β„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  41497  aks6d1c2lem4  41504  aks6d1c6lem2  41549
  Copyright terms: Public domain W3C validator