Theorem aks6d1c2p1 42812

Description: In the AKS-theorem the subset defined by 𝐸 takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c2p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2p1.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c2p1.4	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c2p1	⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2p1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c2p1.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16734	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
6		xp1st 8020	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st ‘𝑎) ∈ ℕ0)
8	4, 7	nnexpcld 14283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) ∈ ℕ)
9		aks6d1c2p1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
10		aks6d1c2p1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10, 3	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
12		nndivdvds 16321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ))
14	9, 13	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
16		xp2nd 8021	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
17	5, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd ‘𝑎) ∈ ℕ0)
18	15, 17	nnexpcld 14283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) ∈ ℕ)
19	8, 18	nnmulcld 12291	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) ∈ ℕ)
20		aks6d1c2p1.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
21		vex 3467	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
22		vex 3467	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑙 ∈ V
23	21, 22	op1std 7998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑎) = 𝑘)
24	23	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑎)) = (𝑃↑𝑘))
25	21, 22	op2ndd 7999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑎) = 𝑙)
26	25	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
27	24, 26	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
28	27	mpompt 7527	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
29	28	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
30	20, 29	eqtri 2792	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑎 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑎)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑎))))
31	19, 30	fmptd 7112	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   × cxp 5662  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987   · cmul 11107   / cdiv 11873  ℕcn 12235  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14099   ∥ cdvds 16312  ℙcprime 16731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dvds 16313  df-prm 16732

This theorem is referenced by:  aks6d1c2p2  42813  aks6d1c2lem4  42821  aks6d1c6lem2  42865  aks6d1c6lem4  42867  aks6d1c6lem5  42871  aks6d1c7lem1  42874