Theorem evl1gprodd 42567

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group product of polynomials. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gprodd.1	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gprodd.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gprodd.3	⊢ 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gprodd.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gprodd.5	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gprodd.6	⊢ 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gprodd.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gprodd.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gprodd.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gprodd.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gprodd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gprodd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
2	1	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
3	2	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
4	3	fveq1d 6834	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
5		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
6	5	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
7	4, 6	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
8		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))
9	8	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))
10	9	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))))
11	10	fveq1d 6834	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
12		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
13	12	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
14	11, 13	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
15		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6834	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
23	22	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
24	23	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
25	24	fveq1d 6834	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
26		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
27	26	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
28	25, 27	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
29		mpt0 6632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅)
31	30	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg ∅))
32	31	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
33	32	fveq1d 6834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
34		mpt0 6632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅)
36	35	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg ∅))
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	37	gsum0 18641	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆))
40		evl1gprodd.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
41		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	40, 41	ringidval 20153	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑆)
43	42	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (1r‘𝑅)
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (1r‘𝑅))
45		evl1gprodd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
46		evl1gprodd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
47		evl1gprodd.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
48		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
49		evl1gprodd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
50		evl1gprodd.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
51	50	crngringd 20216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52	40	ringmgp 20209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
54		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
55	54, 37	mndidcl 18706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58	40, 57	mgpbas 20115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
59	47, 58	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
60	56, 59	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
61	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑆))
62	61	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵))
63	60, 62	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
64		evl1gprodd.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
65	45, 46, 47, 48, 49, 50, 63, 64	evl1scad 22309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = (1r‘𝑅)))
66	65	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = (1r‘𝑅))
67	66	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌))
68		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
69	46, 48, 41, 68	ply1scl1 22266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
70	51, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
71		evl1gprodd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
72	71, 68	ringidval 20153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑄)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑄))
74	70, 73	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑄))
75	74	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑂‘(0g‘𝑄)))
76	75	fveq1d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
77	67, 76	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
78	44, 77	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
79		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
80	79	gsum0 18641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 Σg ∅) = (0g‘𝑄)
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 Σg ∅) = (0g‘𝑄))
82	81	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = (𝑄 Σg ∅))
83	82	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑄)) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
84	83	fveq1d 6834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
85	39, 78, 84	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
86	36, 85	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
87	33, 86	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
88		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
89		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
90		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
91	88, 89, 90	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
93	92	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))
94	93	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))))
95	94	fveq1d 6834	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌))
96		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
97		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
98	71, 97	mgpplusg 20114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑄)
99	46	ply1crng 22171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
100	50, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
101	71	crngmgp 20211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑄 ∈ CMnd)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CMnd)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → 𝑄 ∈ CMnd)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑄 ∈ CMnd)
105		evl1gprodd.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
106	105	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑁 ∈ Fin)
107		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏 ⊆ 𝑁)
108	106, 107	ssfid 9170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏 ∈ Fin)
109		evl1gprodd.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
110	109	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
111	107	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝑁)
112		rspcsbela 4379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
113	112	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ 𝑁 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
114	113	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
115	110, 111, 114	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
116	71, 49	mgpbas 20115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑄)
117	116	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑄) = 𝑈
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = 𝑈)
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
122	121	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
123	115, 122	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
124		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))
125	124	eldifbd 3903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
126	124	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
127	109	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
128		rspcsbela 4379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
129	126, 127, 128	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
130	120	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
131	129, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
132		csbeq1 3841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
133	96, 98, 104, 108, 123, 124, 125, 131, 132	gsumunsn 19924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))
134	133	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))) = (𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)))
135	134	fveq1d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌))
136	50	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑅 ∈ CRing)
137	64	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
138	115	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
139	116, 104, 108, 138	gsummptcl 19931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) ∈ 𝑈)
140	90	equcoms 2022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
141	140	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = 𝑀)
142	89, 88, 141	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))
144	143	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))
145	144	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))))
146	145	fveq1d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
147	139, 146	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)))
148		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
149	129, 148	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
150		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
151	45, 46, 47, 49, 136, 137, 147, 149, 97, 150	evl1muld 22317	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))))
152	151	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
153	135, 152	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
154	95, 153	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
155	40, 150	mgpplusg 20114	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑆)
156		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
157	156	crngmgp 20211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
158	50, 157	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
159	40, 158	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → 𝑆 ∈ CMnd)
161	160	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑆 ∈ CMnd)
162		csbfv12 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌)
163		csbfv2g 6878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
164	163	elv 3435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
165		vex 3434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
166		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
167	165, 166	csbgfi 3858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌
168	164, 167	fveq12i 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
169	162, 168	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
170	58	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑅)
171	50	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑅 ∈ CRing)
172	64	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑌 ∈ 𝐵)
173	59	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (Base‘𝑆) = 𝐵)
175	174	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
176	172, 175	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
177	45, 46, 170, 49, 171, 176, 115	fveval1fvcl 22307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
178	169, 177	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
179	45, 46, 47, 49, 136, 137, 129	fveval1fvcl 22307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
180	179, 59	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
181		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
182		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑂
183	181	nfcsb1 3861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀
184	182, 183	nffv 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
185	184, 166	nffv 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
186		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → 𝑀 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
187	186	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))
188	187	fveq1d 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
189	181, 185, 188	csbhypf 3866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
190	54, 155, 161, 108, 178, 124, 125, 180, 189	gsumunsn 19924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
191		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
192		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
193		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
194		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
195	192, 193, 194	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
197	196	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
198	191, 197	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
199	198	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
200	190, 199	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
201	200	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
202	154, 201	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
203	192, 193, 194	cbvmpt 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
204	203	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
205	204	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
206	205	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
207	202, 206	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
208	207	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
209	7, 14, 21, 28, 87, 208, 105	findcard2d 9092	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ⦋csb 3838   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  0_gc0g 17391   Σ_g cgsu 17392  Mndcmnd 18691  CMndccmn 19744  mulGrpcmgp 20110  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  algSccascl 21840  Poly₁cpl1 22149  eval₁ce1 22288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-srg 20157  df-ring 20205  df-cring 20206  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-assa 21841  df-asp 21842  df-ascl 21843  df-psr 21897  df-mvr 21898  df-mpl 21899  df-opsr 21901  df-evls 22061  df-evl 22062  df-psr1 22152  df-ply1 22154  df-evl1 22290

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42588