Theorem evl1gprodd 42487

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group product of polynomials. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gprodd.1	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gprodd.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gprodd.3	⊢ 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gprodd.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gprodd.5	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gprodd.6	⊢ 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gprodd.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gprodd.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gprodd.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gprodd.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gprodd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gprodd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
2	1	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
3	2	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
4	3	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
5		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
6	5	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
7	4, 6	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
8		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))
9	8	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))
10	9	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))))
11	10	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
12		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
13	12	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
14	11, 13	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
15		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
23	22	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
24	23	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
25	24	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
26		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
27	26	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
28	25, 27	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
29		mpt0 6642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅)
31	30	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg ∅))
32	31	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
33	32	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
34		mpt0 6642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅)
36	35	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg ∅))
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	37	gsum0 18621	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆))
40		evl1gprodd.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
41		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	40, 41	ringidval 20130	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑆)
43	42	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (1r‘𝑅)
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (1r‘𝑅))
45		evl1gprodd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
46		evl1gprodd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
47		evl1gprodd.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
48		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
49		evl1gprodd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
50		evl1gprodd.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
51	50	crngringd 20193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52	40	ringmgp 20186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
54		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
55	54, 37	mndidcl 18686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58	40, 57	mgpbas 20092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
59	47, 58	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
60	56, 59	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
61	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑆))
62	61	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵))
63	60, 62	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
64		evl1gprodd.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
65	45, 46, 47, 48, 49, 50, 63, 64	evl1scad 22291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = (1r‘𝑅)))
66	65	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = (1r‘𝑅))
67	66	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌))
68		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
69	46, 48, 41, 68	ply1scl1 22247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
70	51, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
71		evl1gprodd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
72	71, 68	ringidval 20130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑄)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑄))
74	70, 73	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑄))
75	74	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑂‘(0g‘𝑄)))
76	75	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
77	67, 76	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
78	44, 77	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
79		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
80	79	gsum0 18621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 Σg ∅) = (0g‘𝑄)
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 Σg ∅) = (0g‘𝑄))
82	81	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = (𝑄 Σg ∅))
83	82	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑄)) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
84	83	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
85	39, 78, 84	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
86	36, 85	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
87	33, 86	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
88		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
89		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
90		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
91	88, 89, 90	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
93	92	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))
94	93	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))))
95	94	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌))
96		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
97		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
98	71, 97	mgpplusg 20091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑄)
99	46	ply1crng 22151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
100	50, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
101	71	crngmgp 20188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑄 ∈ CMnd)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CMnd)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → 𝑄 ∈ CMnd)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑄 ∈ CMnd)
105		evl1gprodd.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
106	105	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑁 ∈ Fin)
107		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏 ⊆ 𝑁)
108	106, 107	ssfid 9181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏 ∈ Fin)
109		evl1gprodd.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
110	109	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
111	107	sselda 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝑁)
112		rspcsbela 4392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
113	112	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ 𝑁 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
114	113	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
115	110, 111, 114	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
116	71, 49	mgpbas 20092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑄)
117	116	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑄) = 𝑈
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = 𝑈)
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
122	121	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
123	115, 122	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
124		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))
125	124	eldifbd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
126	124	eldifad 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
127	109	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
128		rspcsbela 4392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
129	126, 127, 128	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
130	120	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
131	129, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
132		csbeq1 3854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
133	96, 98, 104, 108, 123, 124, 125, 131, 132	gsumunsn 19901	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))
134	133	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))) = (𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)))
135	134	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌))
136	50	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑅 ∈ CRing)
137	64	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
138	115	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
139	116, 104, 108, 138	gsummptcl 19908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) ∈ 𝑈)
140	90	equcoms 2022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
141	140	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = 𝑀)
142	89, 88, 141	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))
144	143	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))
145	144	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))))
146	145	fveq1d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
147	139, 146	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)))
148		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
149	129, 148	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
150		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
151	45, 46, 47, 49, 136, 137, 147, 149, 97, 150	evl1muld 22299	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))))
152	151	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
153	135, 152	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
154	95, 153	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
155	40, 150	mgpplusg 20091	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑆)
156		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
157	156	crngmgp 20188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
158	50, 157	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
159	40, 158	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → 𝑆 ∈ CMnd)
161	160	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑆 ∈ CMnd)
162		csbfv12 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌)
163		csbfv2g 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
164	163	elv 3447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
165		vex 3446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
166		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
167	165, 166	csbgfi 3871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌
168	164, 167	fveq12i 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
169	162, 168	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
170	58	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑅)
171	50	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑅 ∈ CRing)
172	64	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑌 ∈ 𝐵)
173	59	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (Base‘𝑆) = 𝐵)
175	174	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
176	172, 175	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
177	45, 46, 170, 49, 171, 176, 115	fveval1fvcl 22289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
178	169, 177	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
179	45, 46, 47, 49, 136, 137, 129	fveval1fvcl 22289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
180	179, 59	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
181		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
182		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑂
183	181	nfcsb1 3874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀
184	182, 183	nffv 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
185	184, 166	nffv 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
186		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → 𝑀 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
187	186	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))
188	187	fveq1d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
189	181, 185, 188	csbhypf 3879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
190	54, 155, 161, 108, 178, 124, 125, 180, 189	gsumunsn 19901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
191		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
192		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
193		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
194		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
195	192, 193, 194	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
197	196	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
198	191, 197	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
199	198	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
200	190, 199	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
201	200	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
202	154, 201	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
203	192, 193, 194	cbvmpt 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
204	203	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
205	204	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
206	205	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
207	202, 206	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
208	207	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
209	7, 14, 21, 28, 87, 208, 105	findcard2d 9103	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  ⦋csb 3851   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  CMndccmn 19721  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  algSccascl 21819  Poly₁cpl1 22129  eval₁ce1 22270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-ply1 22134  df-evl1 22272

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42508