Theorem evl1gprodd 42731

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group product of polynomials. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gprodd.1	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gprodd.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gprodd.3	⊢ 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gprodd.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gprodd.5	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gprodd.6	⊢ 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gprodd.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gprodd.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gprodd.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gprodd.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gprodd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gprodd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
2	1	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
3	2	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
4	3	fveq1d 6869	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
5		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
6	5	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
7	4, 6	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
8		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))
9	8	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))
10	9	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))))
11	10	fveq1d 6869	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
12		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
13	12	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
14	11, 13	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
15		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6869	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22		mpteq1 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
23	22	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
24	23	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
25	24	fveq1d 6869	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
26		mpteq1 5189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
27	26	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
28	25, 27	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
29		mpt0 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅)
31	30	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg ∅))
32	31	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
33	32	fveq1d 6869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
34		mpt0 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅)
36	35	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg ∅))
37		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	37	gsum0 18718	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆))
40		evl1gprodd.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
41		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	40, 41	ringidval 20229	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑆)
43	42	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (1r‘𝑅)
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (1r‘𝑅))
45		evl1gprodd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
46		evl1gprodd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
47		evl1gprodd.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
48		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
49		evl1gprodd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
50		evl1gprodd.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
51	50	crngringd 20292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52	40	ringmgp 20285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
54		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
55	54, 37	mndidcl 18783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
57		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58	40, 57	mgpbas 20191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
59	47, 58	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
60	56, 59	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
61	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑆))
62	61	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ↔ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵))
63	60, 62	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
64		evl1gprodd.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
65	45, 46, 47, 48, 49, 50, 63, 64	evl1scad 22395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = (1r‘𝑅)))
66	65	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = (1r‘𝑅))
67	66	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌))
68		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
69	46, 48, 41, 68	ply1scl1 22352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
70	51, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
71		evl1gprodd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
72	71, 68	ringidval 20229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑄)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑄))
74	70, 73	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑄))
75	74	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑂‘(0g‘𝑄)))
76	75	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑌) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
77	67, 76	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
78	44, 77	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌))
79		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
80	79	gsum0 18718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 Σg ∅) = (0g‘𝑄)
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 Σg ∅) = (0g‘𝑄))
82	81	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑄) = (𝑄 Σg ∅))
83	82	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑄)) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
84	83	fveq1d 6869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(0g‘𝑄))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
85	39, 78, 84	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
86	36, 85	eqtr2d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
87	33, 86	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
88		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
89		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
90		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
91	88, 89, 90	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
93	92	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))
94	93	fveq2d 6871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))))
95	94	fveq1d 6869	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌))
96		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
97		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
98	71, 97	mgpplusg 20190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑄)
99	46	ply1crng 22257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
100	50, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
101	71	crngmgp 20287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑄 ∈ CMnd)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ CMnd)
103	102	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → 𝑄 ∈ CMnd)
104	103	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑄 ∈ CMnd)
105		evl1gprodd.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
106	105	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑁 ∈ Fin)
107		simplrl 786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏 ⊆ 𝑁)
108	106, 107	ssfid 9213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏 ∈ Fin)
109		evl1gprodd.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
110	109	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
111	107	sselda 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝑁)
112		rspcsbela 4392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
113	112	expcom 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ 𝑁 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
114	113	imp 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
115	110, 111, 114	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
116	71, 49	mgpbas 20191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑄)
117	116	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑄) = 𝑈
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = 𝑈)
119	118	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
120	119	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
121	120	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
122	121	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
123	115, 122	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
124		simplrr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))
125	124	eldifbd 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
126	124	eldifad 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
127	109	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
128		rspcsbela 4392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
129	126, 127, 128	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
130	120	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
131	129, 130	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
132		csbeq1 3855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
133	96, 98, 104, 108, 123, 124, 125, 131, 132	gsumunsn 20000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))
134	133	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))) = (𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)))
135	134	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌))
136	50	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑅 ∈ CRing)
137	64	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
138	115	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
139	116, 104, 108, 138	gsummptcl 20007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) ∈ 𝑈)
140	90	equcoms 2040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
141	140	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = 𝑀)
142	89, 88, 141	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))
144	143	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))
145	144	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀))))
146	145	fveq1d 6869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
147	139, 146	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)))
148		eqidd 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
149	129, 148	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
150		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
151	45, 46, 47, 49, 136, 137, 147, 149, 97, 150	evl1muld 22403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))))
152	151	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(.r‘𝑃)⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
153	135, 152	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
154	95, 153	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
155	40, 150	mgpplusg 20190	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑆)
156		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
157	156	crngmgp 20287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
158	50, 157	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
159	40, 158	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
160	159	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → 𝑆 ∈ CMnd)
161	160	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → 𝑆 ∈ CMnd)
162		csbfv12 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌)
163		csbfv2g 6913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
164	163	elv 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
165		vex 3458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
166		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
167	165, 166	csbgfi 3872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌
168	164, 167	fveq12i 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
169	162, 168	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
170	58	eqcomi 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑅)
171	50	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑅 ∈ CRing)
172	64	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑌 ∈ 𝐵)
173	59	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (Base‘𝑆) = 𝐵)
175	174	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
176	172, 175	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
177	45, 46, 170, 49, 171, 176, 115	fveval1fvcl 22393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
178	169, 177	eqeltrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
179	45, 46, 47, 49, 136, 137, 129	fveval1fvcl 22393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
180	179, 59	eleqtrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
181		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
182		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑂
183	181	nfcsb1 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀
184	182, 183	nffv 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
185	184, 166	nffv 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
186		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → 𝑀 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)
187	186	fveq2d 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀))
188	187	fveq1d 6869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
189	181, 185, 188	csbhypf 3880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
190	54, 155, 161, 108, 178, 124, 125, 180, 189	gsumunsn 20000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
191		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
192		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
193		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
194		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
195	192, 193, 194	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
197	196	oveq2d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
198	191, 197	eqtr2d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
199	198	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑆 Σg (𝑦 ∈ 𝑏 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
200	190, 199	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
201	200	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(.r‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
202	154, 201	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
203	192, 193, 194	cbvmpt 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
204	203	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
205	204	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
206	205	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
207	202, 206	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
208	207	ex 416	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁 ∖ 𝑏))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
209	7, 14, 21, 28, 87, 208, 105	findcard2d 9135	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454  ⦋csb 3852   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  Mndcmnd 18768  CMndccmn 19820  mulGrpcmgp 20186  1_rcur 20227  Ringcrg 20279  CRingccrg 20280  algSccascl 21901  Poly₁cpl1 22236  eval₁ce1 22374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-srg 20233  df-ring 20281  df-cring 20282  df-rhm 20517  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lsp 21036  df-assa 21902  df-asp 21903  df-ascl 21904  df-psr 21958  df-mvr 21959  df-mpl 21960  df-opsr 21962  df-evls 22124  df-evl 22125  df-psr1 22239  df-ply1 22241  df-evl1 22376

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42752