Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evl1gprodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gprodd 42099
Description: Polynomial evaluation builder for a finite group product of polynomials. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gprodd.1 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1gprodd.2 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1gprodd.3 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gprodd.4 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gprodd.5 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gprodd.6 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gprodd.7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1gprodd.8 (𝜑𝑌𝐵)
evl1gprodd.9 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈)
evl1gprodd.10 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
evl1gprodd (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gprodd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑥𝑎𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
21oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
32fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
43fveq1d 6909 . . 3 (𝑎 = ∅ → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
5 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
65oveq2d 7447 . . 3 (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
74, 6eqeq12d 2751 . 2 (𝑎 = ∅ → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
8 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥𝑎𝑀) = (𝑥𝑏𝑀))
98oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))
109fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀))))
1110fveq1d 6909 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌))
12 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
1312oveq2d 7447 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
1411, 13eqeq12d 2751 . 2 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
15 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥𝑎𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))
1615oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))
1716fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))))
1817fveq1d 6909 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
2019oveq2d 7447 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
2118, 20eqeq12d 2751 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
22 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝑥𝑎𝑀) = (𝑥𝑁𝑀))
2322oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥𝑁𝑀)))
2423fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑁𝑀))))
2524fveq1d 6909 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌))
26 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
2726oveq2d 7447 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
2825, 27eqeq12d 2751 . 2 (𝑎 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑎𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑎 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
29 mpt0 6711 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅)
3130oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg ∅))
3231fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
3332fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
34 mpt0 6711 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = ∅
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = ∅)
3635oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg ∅))
37 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3837gsum0 18710 . . . . . 6 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
3938a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆))
40 evl1gprodd.6 . . . . . . . . 9 𝑆 = (mulGrp‘𝑅)
41 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4240, 41ringidval 20201 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (0g𝑆)
4342eqcomi 2744 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (1r𝑅)
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑆) = (1r𝑅))
45 evl1gprodd.1 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (eval1𝑅)
46 evl1gprodd.2 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1𝑅)
47 evl1gprodd.4 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
48 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
49 evl1gprodd.5 . . . . . . . . . 10 𝑈 = (Base‘𝑃)
50 evl1gprodd.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5150crngringd 20264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5240ringmgp 20257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
54 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5554, 37mndidcl 18775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Mnd → (0g𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
57 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5840, 57mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
5947, 58eqtri 2763 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑆)
6056, 59eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝐵)
6142a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑅) = (0g𝑆))
6261eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ↔ (0g𝑆) ∈ 𝐵))
6360, 62mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
64 evl1gprodd.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
6545, 46, 47, 48, 49, 50, 63, 64evl1scad 22355 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑌) = (1r𝑅)))
6665simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑌) = (1r𝑅))
6766eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑌))
68 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑃) = (1r𝑃)
6946, 48, 41, 68ply1scl1 22312 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
7051, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
71 evl1gprodd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (mulGrp‘𝑃)
7271, 68ringidval 20201 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑃) = (0g𝑄)
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑃) = (0g𝑄))
7470, 73eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (0g𝑄))
7574fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = (𝑂‘(0g𝑄)))
7675fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑌) = ((𝑂‘(0g𝑄))‘𝑌))
7767, 76eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑅) = ((𝑂‘(0g𝑄))‘𝑌))
7844, 77eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑆) = ((𝑂‘(0g𝑄))‘𝑌))
79 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0g𝑄) = (0g𝑄)
8079gsum0 18710 . . . . . . . . 9 (𝑄 Σg ∅) = (0g𝑄)
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 Σg ∅) = (0g𝑄))
8281eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑄) = (𝑄 Σg ∅))
8382fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(0g𝑄)) = (𝑂‘(𝑄 Σg ∅)))
8483fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(0g𝑄))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
8539, 78, 843eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌))
8636, 85eqtr2d 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg ∅))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
8733, 86eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
88 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑀
89 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦 / 𝑥𝑀
90 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑀 = 𝑦 / 𝑥𝑀)
9188, 89, 90cbvmpt 5259 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀))
9392oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)))
9493fveq2d 6911 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀))))
9594fveq1d 6909 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)))‘𝑌))
96 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
97 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
9871, 97mgpplusg 20156 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (+g𝑄)
9946ply1crng 22216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
10050, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
10171crngmgp 20259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ CRing → 𝑄 ∈ CMnd)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ CMnd)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑄 ∈ CMnd)
104103adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑄 ∈ CMnd)
105 evl1gprodd.10 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
106105ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑁 ∈ Fin)
107 simplrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏𝑁)
108106, 107ssfid 9299 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑏 ∈ Fin)
109 evl1gprodd.9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈)
110109ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈)
111107sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦𝑁)
112 rspcsbela 4444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝑈)
113112expcom 413 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝑁 𝑀𝑈 → (𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝑀𝑈))
114113imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝑁 𝑀𝑈𝑦𝑁) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝑈)
115110, 111, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝑈)
11671, 49mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 = (Base‘𝑄)
117116eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑄) = 𝑈
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝑄) = 𝑈)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → (Base‘𝑄) = 𝑈)
122121eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑦 / 𝑥𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑦 / 𝑥𝑀𝑈))
123115, 122mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
124 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑏))
125124eldifbd 3976 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ¬ 𝑐𝑏)
126124eldifad 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐𝑁)
127109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈)
128 rspcsbela 4444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈) → 𝑐 / 𝑥𝑀𝑈)
129126, 127, 128syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 / 𝑥𝑀𝑈)
130120eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑐 / 𝑥𝑀 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑐 / 𝑥𝑀𝑈))
131129, 130mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑐 / 𝑥𝑀 ∈ (Base‘𝑄))
132 csbeq1 3911 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑐𝑦 / 𝑥𝑀 = 𝑐 / 𝑥𝑀)
13396, 98, 104, 108, 123, 124, 125, 131, 132gsumunsn 19993 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)) = ((𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀))(.r𝑃)𝑐 / 𝑥𝑀))
134133fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀))) = (𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀))(.r𝑃)𝑐 / 𝑥𝑀)))
135134fveq1d 6909 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀))(.r𝑃)𝑐 / 𝑥𝑀))‘𝑌))
13650ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑅 ∈ CRing)
13764ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑌𝐵)
138115ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ∀𝑦𝑏 𝑦 / 𝑥𝑀𝑈)
139116, 104, 108, 138gsummptcl 20000 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀)) ∈ 𝑈)
14090equcoms 2017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥𝑀 = 𝑦 / 𝑥𝑀)
141140eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝑀 = 𝑀)
14289, 88, 141cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀) = (𝑥𝑏𝑀)
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀) = (𝑥𝑏𝑀))
144143oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀)) = (𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))
145144fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀))) = (𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀))))
146145fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌))
147139, 146jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)))
148 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌))
149129, 148jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑐 / 𝑥𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
150 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15145, 46, 47, 49, 136, 137, 147, 149, 97, 150evl1muld 22363 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀))(.r𝑃)𝑐 / 𝑥𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀))(.r𝑃)𝑐 / 𝑥𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌))))
152151simprd 495 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘((𝑄 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝑀))(.r𝑃)𝑐 / 𝑥𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
153135, 152eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
15495, 153eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
15540, 150mgpplusg 20156 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (+g𝑆)
156 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
157156crngmgp 20259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
15850, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
15940, 158eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
160159adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑆 ∈ CMnd)
161160adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → 𝑆 ∈ CMnd)
162 csbfv12 6955 . . . . . . . . . 10 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) = (𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝑌)
163 csbfv2g 6956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀) = (𝑂𝑦 / 𝑥𝑀))
164163elv 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀) = (𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)
165 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
166 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑌
167165, 166csbgfi 3929 . . . . . . . . . . 11 𝑦 / 𝑥𝑌 = 𝑌
168164, 167fveq12i 6913 . . . . . . . . . 10 (𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝑌) = ((𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝑌)
169162, 168eqtri 2763 . . . . . . . . 9 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝑌)
17058eqcomi 2744 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑅)
17150ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑅 ∈ CRing)
17264ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑌𝐵)
17359eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑆) = 𝐵
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → (Base‘𝑆) = 𝐵)
175174eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑌𝐵))
176172, 175mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
17745, 46, 170, 49, 171, 176, 115fveval1fvcl 22353 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → ((𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
178169, 177eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
17945, 46, 47, 49, 136, 137, 129fveval1fvcl 22353 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
180179, 59eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
181 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑥𝑐
182 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑂
183181nfcsb1 3932 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑐 / 𝑥𝑀
184182, 183nffv 6917 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)
185184, 166nffv 6917 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)
186 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑐𝑀 = 𝑐 / 𝑥𝑀)
187186fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑐 → (𝑂𝑀) = (𝑂𝑐 / 𝑥𝑀))
188187fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌))
189181, 185, 188csbhypf 3937 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌))
19054, 155, 161, 108, 178, 124, 125, 180, 189gsumunsn 19993 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)))(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
191 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
192 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝑂𝑀)‘𝑌)
193 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)
194 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))
195192, 193, 194cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)))
197196oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))))
198191, 197eqtr2d 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))) = ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌))
199198oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑆 Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)))(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
200190, 199eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
201200eqcomd 2741 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌)(.r𝑅)((𝑂𝑐 / 𝑥𝑀)‘𝑌)) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))))
202154, 201eqtrd 2775 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))))
203192, 193, 194cbvmpt 5259 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))
204203eqcomi 2744 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))
205204a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
206205oveq2d 7447 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (𝑆 Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
207202, 206eqtrd 2775 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
208207ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑏𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑏 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
2097, 14, 21, 28, 87, 208, 105findcard2d 9205 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑄 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑆 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  algSccascl 21890  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-evl1 22336
This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42120
  Copyright terms: Public domain W3C validator