Theorem ascldimulOLD 20574

Description: Obsolete version of ascldimul 20573 as of 5-Nov-2023. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascldimul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascldimul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascldimul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ascldimul.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
ascldimul.s	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ascldimulOLD	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Proof of Theorem ascldimulOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 20550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4	2, 3	ringidcl 19314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6		ascldimul.t	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑊)
7	2, 6, 3	ringlidm 19317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
8	1, 5, 7	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
9	8	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
10	9	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
11	10	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
12		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ AssAlg)
13		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ 𝐾)
14	5	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15		assalmod 20549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
16	15	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ 𝐾)
18		ascldimul.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20		ascldimul.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	2, 18, 19, 20	lmodvscl 19644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
22	16, 17, 14, 21	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
23	2, 18, 20, 19, 6	assaass 20547	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
24	12, 13, 14, 22, 23	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
25	2, 18, 20, 19, 6	assaassr 20548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))))
26	12, 17, 14, 14, 25	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))))
27	26	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))))
28	24, 27	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))))
29		ascldimul.s	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐹)
30	2, 18, 19, 20, 29	lmodvsass 19652	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
31	16, 13, 17, 14, 30	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
32	11, 28, 31	3eqtr4rd 2844	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	18	assasca 20551	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
34		crngring 19302	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
36	20, 29	ringcl 19307	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
37	35, 36	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
38		ascldimul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
39	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20566	. . 3 ⊢ ((𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
40	37, 39	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
41	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20566	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑅) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
42	13, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
43	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20566	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
44	17, 43	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
45	42, 44	oveq12d 7153	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
46	32, 40, 45	3eqtr4d 2843	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  LModclmod 19627  AssAlgcasa 20539  algSccascl 20541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-lmod 19629  df-assa 20542  df-ascl 20544

This theorem is referenced by: (None)