Theorem ascldimulOLD 20110

Description: Obsolete version of ascldimul 20109 as of 5-Nov-2023. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascldimul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascldimul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascldimul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ascldimul.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
ascldimul.s	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ascldimulOLD	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Proof of Theorem ascldimulOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 20086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4	2, 3	ringidcl 19311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6		ascldimul.t	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑊)
7	2, 6, 3	ringlidm 19314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
8	1, 5, 7	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
9	8	oveq2d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
10	9	oveq2d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
11	10	3ad2ant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
12		simp1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ AssAlg)
13		simp2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ 𝐾)
14	5	3ad2ant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15		assalmod 20085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
16	15	3ad2ant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simp3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ 𝐾)
18		ascldimul.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20		ascldimul.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	2, 18, 19, 20	lmodvscl 19644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
22	16, 17, 14, 21	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
23	2, 18, 20, 19, 6	assaass 20083	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
24	12, 13, 14, 22, 23	syl13anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
25	2, 18, 20, 19, 6	assaassr 20084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))))
26	12, 17, 14, 14, 25	syl13anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))))
27	26	oveq2d 7165	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))))
28	24, 27	eqtrd 2855	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))))
29		ascldimul.s	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐹)
30	2, 18, 19, 20, 29	lmodvsass 19652	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
31	16, 13, 17, 14, 30	syl13anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
32	11, 28, 31	3eqtr4rd 2866	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	18	assasca 20087	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
34		crngring 19301	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
36	20, 29	ringcl 19304	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
37	35, 36	syl3an1 1158	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
38		ascldimul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
39	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20102	. . 3 ⊢ ((𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
40	37, 39	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
41	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20102	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑅) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
42	13, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
43	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20102	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
44	17, 43	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
45	42, 44	oveq12d 7167	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
46	32, 40, 45	3eqtr4d 2865	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16476  ._rcmulr 16559  Scalarcsca 16561   ·_𝑠 cvsca 16562  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  LModclmod 19627  AssAlgcasa 20075  algSccascl 20077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-plusg 16571  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-lmod 19629  df-assa 20078  df-ascl 20080

This theorem is referenced by: (None)