Theorem cpmatinvcl 22757

Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is closed under inversion. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmatinvcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cpmatinvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		cpmatsrngpmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cpmatsrngpmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatelimp2 22754	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎))))
8	2	ply1sca 22294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9	8	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
10	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
11	10	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘𝑅))
13	12	fveq1d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) = ((invg‘𝑅)‘𝑎))
14		ringgrp 20267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	14	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	5, 16	grpinvcl 19012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 17	sylan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
19	13, 18	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	ad5ant14 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
21		fveq2 6863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((algSc‘𝑃)‘𝑐) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
22	21	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
23	22	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) ∧ 𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
24	2	ply1ring 22289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
26		simplr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
28	25, 26, 27	3jca 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
29	28	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
30		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
31		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
32	3, 4, 30, 31	matinvgcell 22475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
34		fveq2 6863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
35		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
36	25	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
37	2	ply1lmod 22293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ LMod)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ LMod)
40	6, 35, 36, 39	asclghm 21914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
41	9	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42	41	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
43	42	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
44	43	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
45	44	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
46		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
48	46, 47, 30	ghminv 19246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
49	40, 45, 48	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
50	49	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
51	34, 50	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
52	33, 51	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
53	20, 23, 52	rspcedvd 3583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
54	53	rexlimdva2 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
55	54	ralimdvva 3208	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
56	55	expimpd 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
57	7, 56	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
58	57	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
59		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
60		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 3	pmatring 22732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
62		ringgrp 20267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
64	63	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ Grp)
65	1, 2, 3, 4	cpmatpmat 22750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
66	65	3expa 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
67	4, 31	grpinvcl 19012	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
68	64, 66, 67	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
69	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatel2 22753	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶)) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
70	59, 60, 68, 69	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
71	58, 70	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
72	71	ralrimiva 3153	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  Basecbs 17228  Scalarcsca 17272  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959   GrpHom cghm 19236  Ringcrg 20262  LModclmod 20907  algSccascl 21884  Poly₁cpl1 22219   Mat cmat 22447   ConstPolyMat ccpmat 22743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-srg 20216  df-ring 20264  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-ascl 21887  df-psr 21941  df-mvr 21942  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-psr1 22222  df-vr1 22223  df-ply1 22224  df-coe1 22225  df-mamu 22431  df-mat 22448  df-cpmat 22746

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  22760