Theorem cpmatinvcl 22744

Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is closed under inversion. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmatinvcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cpmatinvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		cpmatsrngpmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cpmatsrngpmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatelimp2 22741	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎))))
8	2	ply1sca 22275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
11	10	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘𝑅))
13	12	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) = ((invg‘𝑅)‘𝑎))
14		ringgrp 20265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	5, 16	grpinvcl 19027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 17	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
19	13, 18	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	ad5ant14 757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
21		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((algSc‘𝑃)‘𝑐) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
22	21	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) ∧ 𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
24	2	ply1ring 22270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
26		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
28	25, 26, 27	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
30		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
32	3, 4, 30, 31	matinvgcell 22462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
34		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
35		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
36	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
37	2	ply1lmod 22274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ LMod)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ LMod)
40	6, 35, 36, 39	asclghm 21926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
41	9	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42	41	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
43	42	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
45	44	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
46		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
48	46, 47, 30	ghminv 19263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
49	40, 45, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
50	49	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
51	34, 50	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
52	33, 51	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
53	20, 23, 52	rspcedvd 3637	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
54	53	rexlimdva2 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
55	54	ralimdvva 3212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
56	55	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
57	7, 56	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
58	57	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
59		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
60		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 3	pmatring 22719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
62		ringgrp 20265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ Grp)
65	1, 2, 3, 4	cpmatpmat 22737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
66	65	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
67	4, 31	grpinvcl 19027	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
68	64, 66, 67	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
69	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatel2 22740	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶)) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
70	59, 60, 68, 69	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
71	58, 70	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
72	71	ralrimiva 3152	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974   GrpHom cghm 19252  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  algSccascl 21895  Poly₁cpl1 22199   Mat cmat 22432   ConstPolyMat ccpmat 22730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mamu 22416  df-mat 22433  df-cpmat 22733

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  22747