Theorem cpmatinvcl 22539

Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is closed under inversion. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmatinvcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cpmatinvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		cpmatsrngpmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cpmatsrngpmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatelimp2 22536	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎))))
8	2	ply1sca 22095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
11	10	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘𝑅))
13	12	fveq1d 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) = ((invg‘𝑅)‘𝑎))
14		ringgrp 20139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	5, 16	grpinvcl 18915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 17	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
19	13, 18	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	ad5ant14 755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
21		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((algSc‘𝑃)‘𝑐) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
22	21	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) ∧ 𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
24	2	ply1ring 22090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
26		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
28	25, 26, 27	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
29	28	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
30		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
31		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
32	3, 4, 30, 31	matinvgcell 22257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
34		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
36	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
37	2	ply1lmod 22094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ LMod)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ LMod)
40	6, 35, 36, 39	asclghm 21747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
41	9	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42	41	eleq2d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
43	42	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
44	43	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
45	44	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
46		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
48	46, 47, 30	ghminv 19144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
49	40, 45, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
50	49	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
51	34, 50	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
52	33, 51	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
53	20, 23, 52	rspcedvd 3614	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
54	53	rexlimdva2 3156	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
55	54	ralimdvva 3203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
56	55	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
57	7, 56	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
58	57	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
59		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
60		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 3	pmatring 22514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
62		ringgrp 20139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ Grp)
65	1, 2, 3, 4	cpmatpmat 22532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
66	65	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
67	4, 31	grpinvcl 18915	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
68	64, 66, 67	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
69	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatel2 22535	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶)) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
70	59, 60, 68, 69	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
71	58, 70	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
72	71	ralrimiva 3145	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862   GrpHom cghm 19134  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  algSccascl 21717  Poly₁cpl1 22020   Mat cmat 22227   ConstPolyMat ccpmat 22525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-ascl 21720  df-psr 21772  df-mvr 21773  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-psr1 22023  df-vr1 22024  df-ply1 22025  df-coe1 22026  df-mamu 22206  df-mat 22228  df-cpmat 22528

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  22542