Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmatinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmatinvcl 21325
 Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is closed under inversion. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmatsrngpmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cpmatinvcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆 ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cpmatinvcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2 cpmatsrngpmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 cpmatsrngpmat.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
71, 2, 3, 4, 5, 6cpmatelimp2 21322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎))))
82ply1sca 20421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
98adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
109adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1110eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
1211fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg𝑅))
1312fveq1d 6663 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) = ((invg𝑅)‘𝑎))
14 ringgrp 19302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1514adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑅) = (invg𝑅)
175, 16grpinvcl 18151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
1815, 17sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
1913, 18eqeltrd 2916 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
2019ad5ant14 757 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
21 fveq2 6661 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((algSc‘𝑃)‘𝑐) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
2221eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
2322adantl 485 . . . . . . . . 9 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) ∧ 𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) → ((𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
242ply1ring 20416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
2524ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
26 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
2825, 26, 273jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
30 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝑃) = (invg𝑃)
31 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐶) = (invg𝐶)
323, 4, 30, 31matinvgcell 21044 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
3329, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
34 fveq2 6661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ((invg𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((invg𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
35 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3625adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
372ply1lmod 20420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
3837ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑃 ∈ LMod)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ LMod)
406, 35, 36, 39asclghm 20112 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
419fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
4241eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
4342biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
4544imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
46 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
4846, 47, 30ghminv 18365 . . . . . . . . . . . . 13 (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
4940, 45, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
5049eqcomd 2830 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
5134, 50sylan9eqr 2881 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
5233, 51eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
5320, 23, 52rspcedvd 3612 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
5453rexlimdva2 3279 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
5554ralimdvva 3174 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
5655expimpd 457 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
577, 56syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
5857imp 410 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
59 simpll 766 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
60 simplr 768 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
612, 3pmatring 21301 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
62 ringgrp 19302 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
6463adantr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐶 ∈ Grp)
651, 2, 3, 4cpmatpmat 21318 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
66653expa 1115 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
674, 31grpinvcl 18151 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
6864, 66, 67syl2anc 587 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
691, 2, 3, 4, 5, 6cpmatel2 21321 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶)) → (((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
7059, 60, 68, 69syl3anc 1368 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → (((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
7158, 70mpbird 260 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
7271ralrimiva 3177 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆 ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104   GrpHom cghm 18355  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  algSccascl 20084  Poly1cpl1 20345   Mat cmat 21016   ConstPolyMat ccpmat 21311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-srg 19256  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-psr1 20348  df-vr1 20349  df-ply1 20350  df-coe1 20351  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mamu 20995  df-mat 21017  df-cpmat 21314 This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  21328
 Copyright terms: Public domain W3C validator