Theorem cpmatinvcl 21847

Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is closed under inversion. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmatinvcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cpmatinvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		cpmatsrngpmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cpmatsrngpmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatelimp2 21844	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎))))
8	2	ply1sca 21405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
11	10	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘𝑅))
13	12	fveq1d 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) = ((invg‘𝑅)‘𝑎))
14		ringgrp 19769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	5, 16	grpinvcl 18608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 17	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
19	13, 18	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	ad5ant14 754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
21		fveq2 6768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((algSc‘𝑃)‘𝑐) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
22	21	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) ∧ 𝑐 = ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) → ((𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐) ↔ (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎))))
24	2	ply1ring 21400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	ad3antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
26		simplr 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
28	25, 26, 27	3jca 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
29	28	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
30		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
31		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
32	3, 4, 30, 31	matinvgcell 21565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
34		fveq2 6768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
35		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
36	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
37	2	ply1lmod 21404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	ad3antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ LMod)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑃 ∈ LMod)
40	6, 35, 36, 39	asclghm 21068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
41	9	fveq2d 6772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42	41	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
43	42	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
44	43	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
45	44	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
46		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
48	46, 47, 30	ghminv 18822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
49	40, 45, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)) = ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)))
50	49	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘𝑎)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
51	34, 50	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ((invg‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
52	33, 51	eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → (𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘𝑎)))
53	20, 23, 52	rspcedvd 3563	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
54	53	rexlimdva2 3217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
55	54	ralimdvva 3106	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
56	55	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖𝑥𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑎)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
57	7, 56	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
58	57	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐))
59		simpll 763	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
60		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 3	pmatring 21822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
62		ringgrp 19769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ Grp)
65	1, 2, 3, 4	cpmatpmat 21840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
66	65	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
67	4, 31	grpinvcl 18608	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
68	64, 66, 67	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶))
69	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatel2 21843	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐶)) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
70	59, 60, 68, 69	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖((invg‘𝐶)‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘𝑐)))
71	58, 70	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
72	71	ralrimiva 3109	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  Basecbs 16893  Scalarcsca 16946  Grpcgrp 18558  inv_gcminusg 18559   GrpHom cghm 18812  Ringcrg 19764  LModclmod 20104  algSccascl 21040  Poly₁cpl1 21329   Mat cmat 21535   ConstPolyMat ccpmat 21833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-prds 17139  df-pws 17141  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-srg 19723  df-ring 19766  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-ascl 21043  df-psr 21093  df-mvr 21094  df-mpl 21095  df-opsr 21097  df-psr1 21332  df-vr1 21333  df-ply1 21334  df-coe1 21335  df-mamu 21514  df-mat 21536  df-cpmat 21836

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  21850