MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 27327
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12922 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 12537 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 12537 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 12889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 12869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 12459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 12762 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 17160 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 12434 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 12432 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 28, 29decmul1 12797 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 12870 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 12461 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 12762 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 12355 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 12449 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 12761 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 866 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 27326 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 17159 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 12748 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 12430 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 42, 29decmul1 12797 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 12441 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 12762 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 12761 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 866 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 27326 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 17156 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 12542 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 12748 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mullidi 11266 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 54, 29decmul1 12797 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 12437 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 12762 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 12761 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 866 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 27326 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 17153 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 12548 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 12842 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 12277 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 12866 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 12771 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 12440 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 12761 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 866 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 27326 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 17148 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 12546 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 12833 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 12453 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 866 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 27326 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 17146 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 12444 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 12447 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 866 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 27326 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 16731 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 12438 . . . . 5 2 < 3
8568orci 866 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 27326 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 16729 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2737 . . . . 5 2 = 2
8988olci 867 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 27326 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 406 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  cdc 12733  cuz 12878  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  bpos  27337
  Copyright terms: Public domain W3C validator