MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 26647
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for ๐‘ โ‰ค 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค 64) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12814 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2 ax-1 6 . . . 4 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
3 6nn0 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 โˆˆ โ„•0
4 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 โˆˆ โ„•0
53, 4deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 โˆˆ โ„•0
65nn0rei 12431 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 64 โˆˆ โ„)
8 8nn0 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 โˆˆ โ„•0
9 3nn0 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 โˆˆ โ„•0
108, 9deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 โˆˆ โ„•0
1110nn0rei 12431 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 โˆˆ โ„
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 83 โˆˆ โ„)
13 eluzelre 12781 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 4lt10 12761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 12353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 12654 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 64 < 83)
18 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 83 โ‰ค ๐‘)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 64 < ๐‘)
20 ltnle 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (64 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 64))
216, 13, 20sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ (64 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 64))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ ยฌ ๐‘ โ‰ค 64)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
24 83prm 17002 . . . . . . . . . . 11 83 โˆˆ โ„™
254, 9deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 43 โˆˆ โ„•0
26 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 12328 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
29 3t2e6 12326 . . . . . . . . . . . 12 (3 ยท 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 28, 29decmul1 12689 . . . . . . . . . . 11 (43 ยท 2) = 86
31 3lt10 12762 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 12355 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 12654 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 12249 . . . . . . . . . . . . 13 6 โˆˆ โ„•
35 3lt6 12343 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 12653 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 864 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 โˆจ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 26646 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜43) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
39 43prm 17001 . . . . . . . . . 10 43 โˆˆ โ„™
4026, 9deccl 12640 . . . . . . . . . 10 23 โˆˆ โ„•0
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 42, 29decmul1 12689 . . . . . . . . . 10 (23 ยท 2) = 46
44 2lt4 12335 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 12654 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 12653 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 864 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 โˆจ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 26646 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜23) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
49 23prm 16998 . . . . . . . . 9 23 โˆˆ โ„™
50 1nn0 12436 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•0
5150, 9deccl 12640 . . . . . . . . 9 13 โˆˆ โ„•0
52 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
5453mulid2i 11167 . . . . . . . . . 10 (1 ยท 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 54, 29decmul1 12689 . . . . . . . . 9 (13 ยท 2) = 26
56 1lt2 12331 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 12654 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 12653 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 864 . . . . . . . . 9 (23 < 26 โˆจ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 26646 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜13) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
61 13prm 16995 . . . . . . . 8 13 โˆˆ โ„™
62 7nn0 12442 . . . . . . . 8 7 โˆˆ โ„•0
63 7t2e14 12734 . . . . . . . 8 (7 ยท 2) = 14
64 1nn 12171 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•
65 7lt10 12758 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 12663 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 12243 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•
68 3lt4 12334 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 12653 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 864 . . . . . . . 8 (13 < 14 โˆจ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 26646 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜7) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
72 7prm 16990 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„™
73 5nn0 12440 . . . . . . 7 5 โˆˆ โ„•0
74 5t2e10 12725 . . . . . . 7 (5 ยท 2) = 10
75 5lt7 12347 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 864 . . . . . . 7 (7 < 10 โˆจ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 26646 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
78 5prm 16988 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„™
79 3lt5 12338 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 12341 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 864 . . . . . 6 (5 < 6 โˆจ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 26646 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
83 3prm 16577 . . . . 5 3 โˆˆ โ„™
84 2lt3 12332 . . . . 5 2 < 3
8568orci 864 . . . . 5 (3 < 4 โˆจ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 26646 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
87 2prm 16575 . . . 4 2 โˆˆ โ„™
88 eqid 2737 . . . . 5 2 = 2
8988olci 865 . . . 4 (2 < 2 โˆจ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 26646 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
911, 90sylbi 216 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
9291imp 408 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค 64) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  cdc 12625  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  bpos  26657
  Copyright terms: Public domain W3C validator