Theorem bpos1 27221

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bpos1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3		6nn0 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ0
4		4nn0 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
6	5	nn0rei 12392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 ∈ ℝ)
8		8nn0 12404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9		3nn0 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;83 ∈ ℕ0
11	10	nn0rei 12392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;83 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ∈ ℝ)
13		eluzelre 12743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		4lt10 12724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < ;10
15		6lt8 12313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 < ;83
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < ;83)
18		eluzle 12745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ≤ 𝑁)
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < 𝑁)
20		ltnle 11192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
21	6, 13, 20	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ¬ 𝑁 ≤ ;64)
23	22	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24		83prm 17034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;83 ∈ ℙ
25	4, 9	deccl 12603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 ∈ ℕ0
26		2nn0 12398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;43 = ;43
28		4t2e8 12288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
29		3t2e6 12286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
30	26, 4, 9, 27, 28, 29	decmul1 12652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;43 · 2) = ;86
31		3lt10 12725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < ;10
32		4lt8 12315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 8
33	4, 8, 9, 9, 31, 32	decltc 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;83
34		6nn 12214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
35		3lt6 12303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < 6
36	8, 9, 34, 35	declt 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;83 < ;86
37	36	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;83 < ;86 ∨ ;83 = ;86)
38	2, 23, 24, 25, 30, 33, 37	bpos1lem 27220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;43) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39		43prm 17033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 ∈ ℙ
40	26, 9	deccl 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
41		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;23 = ;23
42		2t2e4 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
43	26, 26, 9, 41, 42, 29	decmul1 12652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;23 · 2) = ;46
44		2lt4 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
45	26, 4, 9, 9, 31, 44	decltc 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;43
46	4, 9, 34, 35	declt 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;46
47	46	orci 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;43 < ;46 ∨ ;43 = ;46)
48	2, 38, 39, 40, 43, 45, 47	bpos1lem 27220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;23) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49		23prm 17030	. . . . . . . . 9 ⊢ ;23 ∈ ℙ
50		1nn0 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
51	50, 9	deccl 12603	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
52		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
53		2cn 12200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
54	53	mullidi 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 2) = 2
55	26, 50, 9, 52, 54, 29	decmul1 12652	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 · 2) = ;26
56		1lt2 12291	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
57	50, 26, 9, 9, 31, 56	decltc 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;23
58	26, 9, 34, 35	declt 12616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;26
59	58	orci 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (;23 < ;26 ∨ ;23 = ;26)
60	2, 48, 49, 51, 55, 57, 59	bpos1lem 27220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;13) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61		13prm 17027	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℙ
62		7nn0 12403	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
63		7t2e14 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 2) = ;14
64		1nn 12136	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
65		7lt10 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
66	64, 9, 62, 65	declti 12626	. . . . . . . 8 ⊢ 7 < ;13
67		4nn 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
68		3lt4 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
69	50, 9, 67, 68	declt 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;14
70	69	orci 865	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 < ;14 ∨ ;13 = ;14)
71	2, 60, 61, 62, 63, 66, 70	bpos1lem 27220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘7) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72		7prm 17022	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℙ
73		5nn0 12401	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
74		5t2e10 12688	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
75		5lt7 12307	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 7
76	65	orci 865	. . . . . . 7 ⊢ (7 < ;10 ∨ 7 = ;10)
77	2, 71, 72, 73, 74, 75, 76	bpos1lem 27220	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78		5prm 17020	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℙ
79		3lt5 12298	. . . . . 6 ⊢ 3 < 5
80		5lt6 12301	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
81	80	orci 865	. . . . . 6 ⊢ (5 < 6 ∨ 5 = 6)
82	2, 77, 78, 9, 29, 79, 81	bpos1lem 27220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83		3prm 16605	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℙ
84		2lt3 12292	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
85	68	orci 865	. . . . 5 ⊢ (3 < 4 ∨ 3 = 4)
86	2, 82, 83, 26, 42, 84, 85	bpos1lem 27220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87		2prm 16603	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
88		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ 2 = 2
89	88	olci 866	. . . 4 ⊢ (2 < 2 ∨ 2 = 2)
90	2, 86, 87, 50, 54, 56, 89	bpos1lem 27220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
91	1, 90	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
92	91	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  5c5 12183  6c6 12184  7c7 12185  8c8 12186  ;cdc 12588  ℤ_≥cuz 12732  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  bpos  27231