MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 25460
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12030 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 11663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 11654 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 11654 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 12003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 11983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 11875 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 12005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 10536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 10456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 119 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 16228 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 11860 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 11661 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 11550 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 11548 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 28, 29decmul1 11910 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 11984 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 11577 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 11875 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 11467 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 11565 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 11874 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 854 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 25459 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 16227 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 11860 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 11546 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 42, 29decmul1 11910 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 11557 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 11875 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 11874 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 854 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 25459 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 16224 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 11660 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 11860 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 11450 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mulid2i 10382 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 54, 29decmul1 11910 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 11553 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 11875 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 11874 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 854 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 25459 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 16221 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 11666 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 11956 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 11387 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 11980 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 11884 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 11459 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 11556 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 11874 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 854 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 25459 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 16216 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 11664 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 11947 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 11569 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 854 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 25459 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 16214 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 11560 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 11563 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 854 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 25459 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 15811 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 11554 . . . . 5 2 < 3
8568orci 854 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 25459 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 15810 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2778 . . . . 5 2 = 2
8988olci 855 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 25459 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 209 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 397 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cn 11374  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  5c5 11433  6c6 11434  7c7 11435  8c8 11436  cdc 11845  cuz 11992  cprime 15790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-prm 15791
This theorem is referenced by:  bpos  25470
  Copyright terms: Public domain W3C validator