MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 26786
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for ๐‘ โ‰ค 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค 64) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12866 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2 ax-1 6 . . . 4 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
3 6nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 โˆˆ โ„•0
4 4nn0 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 โˆˆ โ„•0
53, 4deccl 12692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 โˆˆ โ„•0
65nn0rei 12483 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 64 โˆˆ โ„)
8 8nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 โˆˆ โ„•0
9 3nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 โˆˆ โ„•0
108, 9deccl 12692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 โˆˆ โ„•0
1110nn0rei 12483 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 โˆˆ โ„
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 83 โˆˆ โ„)
13 eluzelre 12833 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 4lt10 12813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 12405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 12706 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 64 < 83)
18 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 83 โ‰ค ๐‘)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ 64 < ๐‘)
20 ltnle 11293 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (64 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 64))
216, 13, 20sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ (64 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 64))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ ยฌ ๐‘ โ‰ค 64)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜83) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
24 83prm 17056 . . . . . . . . . . 11 83 โˆˆ โ„™
254, 9deccl 12692 . . . . . . . . . . 11 43 โˆˆ โ„•0
26 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 12380 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
29 3t2e6 12378 . . . . . . . . . . . 12 (3 ยท 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 28, 29decmul1 12741 . . . . . . . . . . 11 (43 ยท 2) = 86
31 3lt10 12814 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 12407 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 12706 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 12301 . . . . . . . . . . . . 13 6 โˆˆ โ„•
35 3lt6 12395 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 12705 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 864 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 โˆจ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 26785 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜43) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
39 43prm 17055 . . . . . . . . . 10 43 โˆˆ โ„™
4026, 9deccl 12692 . . . . . . . . . 10 23 โˆˆ โ„•0
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 12376 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 42, 29decmul1 12741 . . . . . . . . . 10 (23 ยท 2) = 46
44 2lt4 12387 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 12706 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 12705 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 864 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 โˆจ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 26785 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜23) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
49 23prm 17052 . . . . . . . . 9 23 โˆˆ โ„™
50 1nn0 12488 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•0
5150, 9deccl 12692 . . . . . . . . 9 13 โˆˆ โ„•0
52 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
5453mullidi 11219 . . . . . . . . . 10 (1 ยท 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 54, 29decmul1 12741 . . . . . . . . 9 (13 ยท 2) = 26
56 1lt2 12383 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 12706 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 12705 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 864 . . . . . . . . 9 (23 < 26 โˆจ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 26785 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜13) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
61 13prm 17049 . . . . . . . 8 13 โˆˆ โ„™
62 7nn0 12494 . . . . . . . 8 7 โˆˆ โ„•0
63 7t2e14 12786 . . . . . . . 8 (7 ยท 2) = 14
64 1nn 12223 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•
65 7lt10 12810 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 12715 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 12295 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•
68 3lt4 12386 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 12705 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 864 . . . . . . . 8 (13 < 14 โˆจ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 26785 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜7) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
72 7prm 17044 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„™
73 5nn0 12492 . . . . . . 7 5 โˆˆ โ„•0
74 5t2e10 12777 . . . . . . 7 (5 ยท 2) = 10
75 5lt7 12399 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 864 . . . . . . 7 (7 < 10 โˆจ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 26785 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
78 5prm 17042 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„™
79 3lt5 12390 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 12393 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 864 . . . . . 6 (5 < 6 โˆจ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 26785 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
83 3prm 16631 . . . . 5 3 โˆˆ โ„™
84 2lt3 12384 . . . . 5 2 < 3
8568orci 864 . . . . 5 (3 < 4 โˆจ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 26785 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
87 2prm 16629 . . . 4 2 โˆˆ โ„™
88 eqid 2733 . . . . 5 2 = 2
8988olci 865 . . . 4 (2 < 2 โˆจ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 26785 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
911, 90sylbi 216 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 64 โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘))))
9291imp 408 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค 64) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  cdc 12677  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  bpos  26796
  Copyright terms: Public domain W3C validator