MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 27261
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12899 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 12523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 12866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 12846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 12438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 12739 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 12868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 11406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 17095 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 12725 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 12522 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 12413 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 12411 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 28, 29decmul1 12774 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 12847 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 12440 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 12739 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 12334 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 12428 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 12738 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 863 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 27260 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 17094 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 12725 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 12409 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 42, 29decmul1 12774 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 12420 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 12739 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 12738 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 863 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 27260 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 17091 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 12521 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 12725 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 12320 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mullidi 11251 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 54, 29decmul1 12774 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 12416 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 12739 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 12738 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 863 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 27260 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 17088 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 12527 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 12819 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 12256 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 12843 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 12748 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 12328 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 12419 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 12738 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 863 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 27260 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 17083 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 12525 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 12810 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 12432 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 863 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 27260 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 17081 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 12423 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 12426 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 863 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 27260 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 16668 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 12417 . . . . 5 2 < 3
8568orci 863 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 27260 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 16666 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2725 . . . . 5 2 = 2
8988olci 864 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 27260 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 405 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  7c7 12305  8c8 12306  cdc 12710  cuz 12855  cprime 16645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-prm 16646
This theorem is referenced by:  bpos  27271
  Copyright terms: Public domain W3C validator