Theorem bpos1 27619

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bpos1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 13012	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3		6nn0 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ0
4		4nn0 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
6	5	nn0rei 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 ∈ ℝ)
8		8nn0 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9		3nn0 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;83 ∈ ℕ0
11	10	nn0rei 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;83 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ∈ ℝ)
13		eluzelre 12983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		4lt10 12963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < ;10
15		6lt8 12545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 12855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 < ;83
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < ;83)
18		eluzle 12985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ≤ 𝑁)
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 11477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < 𝑁)
20		ltnle 11396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
21	6, 13, 20	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ¬ 𝑁 ≤ ;64)
23	22	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24		83prm 17310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;83 ∈ ℙ
25	4, 9	deccl 12836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 ∈ ℕ0
26		2nn0 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;43 = ;43
28		4t2e8 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
29		3t2e6 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
30	26, 4, 9, 27, 28, 29	decmul1 12890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;43 · 2) = ;86
31		3lt10 12964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < ;10
32		4lt8 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 8
33	4, 8, 9, 9, 31, 32	decltc 12855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;83
34		6nn 12439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
35		3lt6 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < 6
36	8, 9, 34, 35	declt 12854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;83 < ;86
37	36	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;83 < ;86 ∨ ;83 = ;86)
38	2, 23, 24, 25, 30, 33, 37	bpos1lem 27618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;43) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39		43prm 17309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 ∈ ℙ
40	26, 9	deccl 12836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
41		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;23 = ;23
42		2t2e4 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
43	26, 26, 9, 41, 42, 29	decmul1 12890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;23 · 2) = ;46
44		2lt4 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
45	26, 4, 9, 9, 31, 44	decltc 12855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;43
46	4, 9, 34, 35	declt 12854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;46
47	46	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;43 < ;46 ∨ ;43 = ;46)
48	2, 38, 39, 40, 43, 45, 47	bpos1lem 27618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;23) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49		23prm 17306	. . . . . . . . 9 ⊢ ;23 ∈ ℙ
50		1nn0 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
51	50, 9	deccl 12836	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
52		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
53		2cn 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
54	53	mullidi 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 2) = 2
55	26, 50, 9, 52, 54, 29	decmul1 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 · 2) = ;26
56		1lt2 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
57	50, 26, 9, 9, 31, 56	decltc 12855	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;23
58	26, 9, 34, 35	declt 12854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;26
59	58	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (;23 < ;26 ∨ ;23 = ;26)
60	2, 48, 49, 51, 55, 57, 59	bpos1lem 27618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;13) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61		13prm 17303	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℙ
62		7nn0 12635	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
63		7t2e14 12935	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 2) = ;14
64		1nn 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
65		7lt10 12960	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
66	64, 9, 62, 65	declti 12864	. . . . . . . 8 ⊢ 7 < ;13
67		4nn 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
68		3lt4 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
69	50, 9, 67, 68	declt 12854	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;14
70	69	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 < ;14 ∨ ;13 = ;14)
71	2, 60, 61, 62, 63, 66, 70	bpos1lem 27618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘7) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72		7prm 17297	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℙ
73		5nn0 12633	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
74		5t2e10 12926	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
75		5lt7 12539	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 7
76	65	orci 879	. . . . . . 7 ⊢ (7 < ;10 ∨ 7 = ;10)
77	2, 71, 72, 73, 74, 75, 76	bpos1lem 27618	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78		5prm 17295	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℙ
79		3lt5 12530	. . . . . 6 ⊢ 3 < 5
80		5lt6 12533	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
81	80	orci 879	. . . . . 6 ⊢ (5 < 6 ∨ 5 = 6)
82	2, 77, 78, 9, 29, 79, 81	bpos1lem 27618	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83		3prm 16878	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℙ
84		2lt3 12523	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
85	68	orci 879	. . . . 5 ⊢ (3 < 4 ∨ 3 = 4)
86	2, 82, 83, 26, 42, 84, 85	bpos1lem 27618	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87		2prm 16876	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
88		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ 2 = 2
89	88	olci 880	. . . 4 ⊢ (2 < 2 ∨ 2 = 2)
90	2, 86, 87, 50, 54, 56, 89	bpos1lem 27618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
91	1, 90	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
92	91	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   · cmul 11212   < clt 11350   ≤ cle 11351  ℕcn 12342  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  5c5 12407  6c6 12408  7c7 12409  8c8 12410  ;cdc 12821  ℤ_≥cuz 12972  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-prm 16856

This theorem is used by:  bpos  27629