Theorem bpos1 27667

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bpos1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 13045	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3		6nn0 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ0
4		4nn0 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
6	5	nn0rei 12657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 ∈ ℝ)
8		8nn0 12669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9		3nn0 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;83 ∈ ℕ0
11	10	nn0rei 12657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;83 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ∈ ℝ)
13		eluzelre 13016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		4lt10 12996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < ;10
15		6lt8 12578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 12888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 < ;83
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < ;83)
18		eluzle 13018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ≤ 𝑁)
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 11509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < 𝑁)
20		ltnle 11428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
21	6, 13, 20	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ¬ 𝑁 ≤ ;64)
23	22	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24		83prm 17345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;83 ∈ ℙ
25	4, 9	deccl 12869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 ∈ ℕ0
26		2nn0 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;43 = ;43
28		4t2e8 12551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
29		3t2e6 12548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
30	26, 4, 9, 27, 28, 29	decmul1 12923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;43 · 2) = ;86
31		3lt10 12997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < ;10
32		4lt8 12580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 8
33	4, 8, 9, 9, 31, 32	decltc 12888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;83
34		6nn 12472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
35		3lt6 12568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < 6
36	8, 9, 34, 35	declt 12887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;83 < ;86
37	36	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;83 < ;86 ∨ ;83 = ;86)
38	2, 23, 24, 25, 30, 33, 37	bpos1lem 27666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;43) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39		43prm 17344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 ∈ ℙ
40	26, 9	deccl 12869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;23 = ;23
42		2t2e4 12546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
43	26, 26, 9, 41, 42, 29	decmul1 12923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;23 · 2) = ;46
44		2lt4 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
45	26, 4, 9, 9, 31, 44	decltc 12888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;43
46	4, 9, 34, 35	declt 12887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;46
47	46	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;43 < ;46 ∨ ;43 = ;46)
48	2, 38, 39, 40, 43, 45, 47	bpos1lem 27666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;23) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49		23prm 17341	. . . . . . . . 9 ⊢ ;23 ∈ ℙ
50		1nn0 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
51	50, 9	deccl 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
52		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
53		2cn 12458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
54	53	mullidi 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 2) = 2
55	26, 50, 9, 52, 54, 29	decmul1 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 · 2) = ;26
56		1lt2 12555	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
57	50, 26, 9, 9, 31, 56	decltc 12888	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;23
58	26, 9, 34, 35	declt 12887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;26
59	58	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (;23 < ;26 ∨ ;23 = ;26)
60	2, 48, 49, 51, 55, 57, 59	bpos1lem 27666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;13) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61		13prm 17338	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℙ
62		7nn0 12668	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
63		7t2e14 12968	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 2) = ;14
64		1nn 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
65		7lt10 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
66	64, 9, 62, 65	declti 12897	. . . . . . . 8 ⊢ 7 < ;13
67		4nn 12466	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
68		3lt4 12559	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
69	50, 9, 67, 68	declt 12887	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;14
70	69	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 < ;14 ∨ ;13 = ;14)
71	2, 60, 61, 62, 63, 66, 70	bpos1lem 27666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘7) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72		7prm 17332	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℙ
73		5nn0 12666	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
74		5t2e10 12959	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
75		5lt7 12572	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 7
76	65	orci 879	. . . . . . 7 ⊢ (7 < ;10 ∨ 7 = ;10)
77	2, 71, 72, 73, 74, 75, 76	bpos1lem 27666	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78		5prm 17330	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℙ
79		3lt5 12563	. . . . . 6 ⊢ 3 < 5
80		5lt6 12566	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
81	80	orci 879	. . . . . 6 ⊢ (5 < 6 ∨ 5 = 6)
82	2, 77, 78, 9, 29, 79, 81	bpos1lem 27666	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83		3prm 16913	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℙ
84		2lt3 12556	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
85	68	orci 879	. . . . 5 ⊢ (3 < 4 ∨ 3 = 4)
86	2, 82, 83, 26, 42, 84, 85	bpos1lem 27666	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87		2prm 16911	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
88		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ 2 = 2
89	88	olci 880	. . . 4 ⊢ (2 < 2 ∨ 2 = 2)
90	2, 86, 87, 50, 54, 56, 89	bpos1lem 27666	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
91	1, 90	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
92	91	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  ;cdc 12854  ℤ_≥cuz 13005  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by:  bpos  27677