Theorem bpos1 27603

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bpos1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12998	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3		6nn0 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ0
4		4nn0 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
6	5	nn0rei 12610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 ∈ ℝ)
8		8nn0 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9		3nn0 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;83 ∈ ℕ0
11	10	nn0rei 12610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;83 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ∈ ℝ)
13		eluzelre 12969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		4lt10 12949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < ;10
15		6lt8 12531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 12841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 < ;83
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < ;83)
18		eluzle 12971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ≤ 𝑁)
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 11463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < 𝑁)
20		ltnle 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
21	6, 13, 20	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ¬ 𝑁 ≤ ;64)
23	22	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24		83prm 17294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;83 ∈ ℙ
25	4, 9	deccl 12822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 ∈ ℕ0
26		2nn0 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;43 = ;43
28		4t2e8 12504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
29		3t2e6 12501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
30	26, 4, 9, 27, 28, 29	decmul1 12876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;43 · 2) = ;86
31		3lt10 12950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < ;10
32		4lt8 12533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 8
33	4, 8, 9, 9, 31, 32	decltc 12841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;83
34		6nn 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
35		3lt6 12521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < 6
36	8, 9, 34, 35	declt 12840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;83 < ;86
37	36	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;83 < ;86 ∨ ;83 = ;86)
38	2, 23, 24, 25, 30, 33, 37	bpos1lem 27602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;43) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39		43prm 17293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 ∈ ℙ
40	26, 9	deccl 12822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
41		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;23 = ;23
42		2t2e4 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
43	26, 26, 9, 41, 42, 29	decmul1 12876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;23 · 2) = ;46
44		2lt4 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
45	26, 4, 9, 9, 31, 44	decltc 12841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;43
46	4, 9, 34, 35	declt 12840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;46
47	46	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;43 < ;46 ∨ ;43 = ;46)
48	2, 38, 39, 40, 43, 45, 47	bpos1lem 27602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;23) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49		23prm 17290	. . . . . . . . 9 ⊢ ;23 ∈ ℙ
50		1nn0 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
51	50, 9	deccl 12822	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
52		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
53		2cn 12411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
54	53	mullidi 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 2) = 2
55	26, 50, 9, 52, 54, 29	decmul1 12876	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 · 2) = ;26
56		1lt2 12508	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
57	50, 26, 9, 9, 31, 56	decltc 12841	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;23
58	26, 9, 34, 35	declt 12840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;26
59	58	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (;23 < ;26 ∨ ;23 = ;26)
60	2, 48, 49, 51, 55, 57, 59	bpos1lem 27602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;13) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61		13prm 17287	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℙ
62		7nn0 12621	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
63		7t2e14 12921	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 2) = ;14
64		1nn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
65		7lt10 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
66	64, 9, 62, 65	declti 12850	. . . . . . . 8 ⊢ 7 < ;13
67		4nn 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
68		3lt4 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
69	50, 9, 67, 68	declt 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;14
70	69	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 < ;14 ∨ ;13 = ;14)
71	2, 60, 61, 62, 63, 66, 70	bpos1lem 27602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘7) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72		7prm 17281	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℙ
73		5nn0 12619	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
74		5t2e10 12912	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
75		5lt7 12525	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 7
76	65	orci 879	. . . . . . 7 ⊢ (7 < ;10 ∨ 7 = ;10)
77	2, 71, 72, 73, 74, 75, 76	bpos1lem 27602	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78		5prm 17279	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℙ
79		3lt5 12516	. . . . . 6 ⊢ 3 < 5
80		5lt6 12519	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
81	80	orci 879	. . . . . 6 ⊢ (5 < 6 ∨ 5 = 6)
82	2, 77, 78, 9, 29, 79, 81	bpos1lem 27602	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83		3prm 16862	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℙ
84		2lt3 12509	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
85	68	orci 879	. . . . 5 ⊢ (3 < 4 ∨ 3 = 4)
86	2, 82, 83, 26, 42, 84, 85	bpos1lem 27602	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87		2prm 16860	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
88		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ 2 = 2
89	88	olci 880	. . . 4 ⊢ (2 < 2 ∨ 2 = 2)
90	2, 86, 87, 50, 54, 56, 89	bpos1lem 27602	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
91	1, 90	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
92	91	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  8c8 12396  ;cdc 12807  ℤ_≥cuz 12958  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840

This theorem is used by:  bpos  27613