MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 25846
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12260 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 11886 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 11886 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 12212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 11808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 12105 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 10777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 10697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 16435 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 12091 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 11892 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 11783 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 11781 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 28, 29decmul1 12140 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 12213 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 11810 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 12105 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 11704 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 11798 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 12104 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 862 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 25845 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 16434 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 12091 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 11779 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 42, 29decmul1 12140 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 11790 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 12105 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 12104 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 862 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 25845 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 16431 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 11891 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 12091 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 11690 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mulid2i 10623 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 54, 29decmul1 12140 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 11786 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 12105 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 12104 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 862 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 25845 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 16428 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 11897 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 12185 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 11626 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 12209 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 12114 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 11698 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 11789 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 12104 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 862 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 25845 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 16423 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 11895 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 12176 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 11802 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 862 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 25845 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 16421 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 11793 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 11796 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 862 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 25845 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 16015 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 11787 . . . . 5 2 < 3
8568orci 862 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 25845 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 16013 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2821 . . . . 5 2 = 2
8988olci 863 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 25845 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 410 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3127   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   · cmul 10519   < clt 10652  cle 10653  cn 11615  2c2 11670  3c3 11671  4c4 11672  5c5 11673  6c6 11674  7c7 11675  8c8 11676  cdc 12076  cuz 12221  cprime 15992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-dvds 15587  df-prm 15993
This theorem is referenced by:  bpos  25856
  Copyright terms: Public domain W3C validator