MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 27341
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12919 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 12866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 12456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 12759 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 17156 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 12745 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 12540 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 12431 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 12429 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 28, 29decmul1 12794 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 12867 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 12458 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 12759 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 12352 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 12446 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 12758 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 865 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 27340 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 17155 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 12745 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 12427 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 42, 29decmul1 12794 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 12438 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 12759 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 12758 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 865 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 27340 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 17152 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 12539 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 12745 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 12338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mullidi 11263 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 54, 29decmul1 12794 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 12434 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 12759 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 12758 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 865 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 27340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 17149 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 12545 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 12839 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 12274 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 12863 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 12768 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 12346 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 12437 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 12758 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 865 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 27340 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 17144 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 12543 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 12830 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 12450 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 865 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 27340 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 17142 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 12441 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 12444 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 865 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 27340 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 16727 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 12435 . . . . 5 2 < 3
8568orci 865 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 27340 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 16725 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2734 . . . . 5 2 = 2
8988olci 866 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 27340 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 406 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  6c6 12322  7c7 12323  8c8 12324  cdc 12730  cuz 12875  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-prm 16705
This theorem is referenced by:  bpos  27351
  Copyright terms: Public domain W3C validator