Theorem xmstrkgc 26977

Description: Any metric space fulfills Tarski's geometry axioms of congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
xmstrkgc	⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)

Proof of Theorem xmstrkgc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3426	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ V)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	2, 3	xmssym 23363	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
5	4	3expb 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
6	5	ralrimivva 3112	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
7		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		simpr3 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
9		equid 2020	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
10	2, 3	xmseq0 23362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝑧))
11	9, 10	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
12	7, 8, 8, 11	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
13	12	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0))
14	2, 3	xmseq0 23362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	3adant3r3 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	13, 15	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	16	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	ralrimivvva 3113	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
19	6, 18	jca 515	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
20		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
21	2, 3, 20	istrkgc 26545	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGC ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))))
22	1, 19, 21	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  Basecbs 16760  distcds 16811  ∞MetSpcxms 23215  TarskiG_Ccstrkgc 26522  Itvcitv 26527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-xms 23218  df-trkgc 26539

This theorem is referenced by: (None)