Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstrkgc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmstrkgc 26721
 Description: Any metric space fulfills Tarski's geometry axioms of congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
xmstrkgc (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)

Proof of Theorem xmstrkgc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3459 . 2 (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ V)
2 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 eqid 2798 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
42, 3xmssym 23110 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
543expb 1117 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
65ralrimivva 3156 . . 3 (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
7 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
9 equid 2019 . . . . . . . . 9 𝑧 = 𝑧
102, 3xmseq0 23109 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝑧))
119, 10mpbiri 261 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
127, 8, 8, 11syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
1312eqeq2d 2809 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0))
142, 3xmseq0 23109 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
15143adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
1613, 15bitrd 282 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1716biimpd 232 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
1817ralrimivvva 3157 . . 3 (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
196, 18jca 515 . 2 (𝐺 ∈ ∞MetSp → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
20 eqid 2798 . . 3 (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
212, 3, 20istrkgc 26289 . 2 (𝐺 ∈ TarskiGC ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))))
221, 19, 21sylanbrc 586 1 (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  0cc0 10541  Basecbs 16492  distcds 16583  ∞MetSpcxms 22962  TarskiGCcstrkgc 26266  Itvcitv 26271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11987  df-uz 12249  df-q 12354  df-rp 12395  df-xneg 12512  df-xadd 12513  df-xmul 12514  df-topgen 16726  df-psmet 20101  df-xmet 20102  df-bl 20104  df-mopn 20105  df-top 21537  df-topon 21554  df-topsp 21576  df-bases 21589  df-xms 22965  df-trkgc 26283 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator