Theorem xmstrkgc 29463

Description: Any metric space fulfills Tarski's geometry axioms of congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
xmstrkgc	⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)

Proof of Theorem xmstrkgc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3472	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ V)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	2, 3	xmssym 24784	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
5	4	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
6	5	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
7		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
9		equid 2045	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
10	2, 3	xmseq0 24783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝑧))
11	9, 10	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
12	7, 8, 8, 11	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
13	12	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0))
14	2, 3	xmseq0 24783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	3adant3r3 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	13, 15	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	16	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	ralrimivvva 3209	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
19	6, 18	jca 521	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
21	2, 3, 20	istrkgc 28916	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGC ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))))
22	1, 19, 21	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  Basecbs 17387  distcds 17437  ∞MetSpcxms 24636  TarskiG_Ccstrkgc 28890  Itvcitv 28895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-xms 24639  df-trkgc 28910

This theorem is used by: (None)