Theorem cnfldbas 21311

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21308. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11105	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21309	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17137	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4770	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4128	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4128	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21308	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3981	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3941	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3941	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17128	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∪ cun 3897  {csn 4578  {ctp 4582  ⟨cop 4584   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℂcc 11022  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   ≤ cle 11165   − cmin 11362  3c3 12199  ;cdc 12605  ∗ccj 15017  abscabs 15155  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  *_𝑟cstv 17177  TopSetcts 17181  lecple 17182  distcds 17184  UnifSetcunif 17185  MetOpencmopn 21297  metUnifcmetu 21298  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-cnfld 21308

This theorem is referenced by:  cncrng  21341  cncrngOLD  21342  cnfld0  21345  cnfld1  21346  cnfld1OLD  21347  cnfldneg  21348  cnfldplusf  21349  cnfldsub  21350  cndrng  21351  cndrngOLD  21352  cnflddiv  21353  cnflddivOLD  21354  cnfldinv  21355  cnfldmulg  21356  cnfldexp  21357  cnsrng  21358  cnsubmlem  21367  cnsubglem  21368  cnsubrglem  21369  cnsubrglemOLD  21370  cnsubdrglem  21371  absabv  21377  cnsubrg  21380  cnmgpabl  21381  cnmgpid  21382  cnmsubglem  21383  gzrngunit  21386  gsumfsum  21387  regsumfsum  21388  expmhm  21389  nn0srg  21390  rge0srg  21391  zringbas  21406  zring0  21411  zringunit  21419  expghm  21428  fermltlchr  21482  cnmsgnbas  21531  psgninv  21535  zrhpsgnmhm  21537  rebase  21559  re0g  21565  regsumsupp  21575  cnfldms  24717  cnfldnm  24720  cnfldtopn  24723  cnfldtopon  24724  clmsscn  25033  cnlmod  25094  cnstrcvs  25095  cnrbas  25096  cncvs  25099  cnncvsaddassdemo  25117  cnncvsmulassdemo  25118  cnncvsabsnegdemo  25119  cphsubrglem  25131  cphreccllem  25132  cphdivcl  25136  cphabscl  25139  cphsqrtcl2  25140  cphsqrtcl3  25141  cphipcl  25145  4cphipval2  25196  cncms  25309  cnflduss  25310  cnfldcusp  25311  resscdrg  25312  ishl2  25324  recms  25334  tdeglem3  26018  tdeglem4  26019  tdeglem2  26020  plypf1  26171  dvply2g  26246  dvply2gOLD  26247  dvply2  26248  dvnply  26250  taylfvallem  26319  taylf  26322  tayl0  26323  taylpfval  26326  taylply2  26329  taylply2OLD  26330  taylply  26331  efgh  26504  efabl  26513  efsubm  26514  jensenlem1  26951  jensenlem2  26952  jensen  26953  amgmlem  26954  amgm  26955  wilthlem2  27033  wilthlem3  27034  dchrelbas2  27202  dchrelbas3  27203  dchrn0  27215  dchrghm  27221  dchrabs  27225  sum2dchr  27239  lgseisenlem4  27343  qrngbas  27584  cchhllem  28908  cffldtocusgr  29469  cffldtocusgrOLD  29470  gsumzrsum  33097  psgnid  33128  cnmsgn0g  33177  altgnsg  33180  1fldgenq  33353  gsumind  33375  xrge0slmod  33378  znfermltl  33396  ccfldsrarelvec  33777  ccfldextdgrr  33778  constrelextdg2  33853  constrextdg2lem  33854  constrext2chnlem  33856  constrcon  33880  constrsdrg  33881  2sqr3minply  33886  cos9thpiminplylem6  33893  cos9thpiminply  33894  iistmd  34008  xrge0iifmhm  34045  xrge0pluscn  34046  zringnm  34064  cnzh  34074  rezh  34075  cnrrext  34116  esumpfinvallem  34180  cnpwstotbnd  37937  repwsmet  37974  rrnequiv  37975  cnsrexpcl  43349  fsumcnsrcl  43350  cnsrplycl  43351  rngunsnply  43353  proot1ex  43380  deg1mhm  43384  amgm2d  44381  amgm3d  44382  amgm4d  44383  binomcxplemdvbinom  44536  binomcxplemnotnn0  44539  sge0tsms  46566  cnfldsrngbas  48349  2zrng0  48432  aacllem  49988  amgmwlem  49989  amgmlemALT  49990  amgmw2d  49991