Theorem cnfldbas 21368

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21365. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11236	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21366	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17250	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4816	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4178	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4178	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21365	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4033	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3993	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3993	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17240	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  {csn 4626  {ctp 4630  ⟨cop 4632   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296   − cmin 11492  3c3 12322  ;cdc 12733  ∗ccj 15135  abscabs 15273  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  *_𝑟cstv 17299  TopSetcts 17303  lecple 17304  distcds 17306  UnifSetcunif 17307  MetOpencmopn 21354  metUnifcmetu 21355  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  cncrng  21401  cncrngOLD  21402  cnfld0  21405  cnfld1  21406  cnfld1OLD  21407  cnfldneg  21408  cnfldplusf  21409  cnfldsub  21410  cndrng  21411  cndrngOLD  21412  cnflddiv  21413  cnflddivOLD  21414  cnfldinv  21415  cnfldmulg  21416  cnfldexp  21417  cnsrng  21418  cnsubmlem  21432  cnsubglem  21433  cnsubrglem  21434  cnsubrglemOLD  21435  cnsubdrglem  21436  absabv  21442  cnsubrg  21445  cnmgpabl  21446  cnmgpid  21447  cnmsubglem  21448  gzrngunit  21451  gsumfsum  21452  regsumfsum  21453  expmhm  21454  nn0srg  21455  rge0srg  21456  zringbas  21464  zring0  21469  zringunit  21477  expghm  21486  fermltlchr  21544  cnmsgnbas  21596  psgninv  21600  zrhpsgnmhm  21602  rebase  21624  re0g  21630  regsumsupp  21640  cnfldms  24796  cnfldnm  24799  cnfldtopn  24802  cnfldtopon  24803  clmsscn  25112  cnlmod  25173  cnstrcvs  25174  cnrbas  25175  cncvs  25178  cnncvsaddassdemo  25197  cnncvsmulassdemo  25198  cnncvsabsnegdemo  25199  cphsubrglem  25211  cphreccllem  25212  cphdivcl  25216  cphabscl  25219  cphsqrtcl2  25220  cphsqrtcl3  25221  cphipcl  25225  4cphipval2  25276  cncms  25389  cnflduss  25390  cnfldcusp  25391  resscdrg  25392  ishl2  25404  recms  25414  tdeglem3  26098  tdeglem4  26099  tdeglem2  26100  plypf1  26251  dvply2g  26326  dvply2gOLD  26327  dvply2  26328  dvnply  26330  taylfvallem  26399  taylf  26402  tayl0  26403  taylpfval  26406  taylply2  26409  taylply2OLD  26410  taylply  26411  efgh  26583  efabl  26592  efsubm  26593  jensenlem1  27030  jensenlem2  27031  jensen  27032  amgmlem  27033  amgm  27034  wilthlem2  27112  wilthlem3  27113  dchrelbas2  27281  dchrelbas3  27282  dchrn0  27294  dchrghm  27300  dchrabs  27304  sum2dchr  27318  lgseisenlem4  27422  qrngbas  27663  cchhllem  28901  cchhllemOLD  28902  cffldtocusgr  29464  cffldtocusgrOLD  29465  gsumzrsum  33062  psgnid  33117  cnmsgn0g  33166  altgnsg  33169  1fldgenq  33324  xrge0slmod  33376  znfermltl  33394  ccfldsrarelvec  33721  ccfldextdgrr  33722  constrelextdg2  33788  constrextdg2lem  33789  2sqr3minply  33791  iistmd  33901  xrge0iifmhm  33938  xrge0pluscn  33939  zringnm  33957  cnzh  33969  rezh  33970  cnrrext  34011  esumpfinvallem  34075  cnpwstotbnd  37804  repwsmet  37841  rrnequiv  37842  cnsrexpcl  43177  fsumcnsrcl  43178  cnsrplycl  43179  rngunsnply  43181  proot1ex  43208  deg1mhm  43212  amgm2d  44211  amgm3d  44212  amgm4d  44213  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemnotnn0  44375  sge0tsms  46395  cnfldsrngbas  48077  2zrng0  48160  aacllem  49320  amgmwlem  49321  amgmlemALT  49322  amgmw2d  49323