Theorem cnfldbas 21590

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21587. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11206	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21588	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17305	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4777	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4124	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4124	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21587	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3980	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3940	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3940	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17296	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  ℂcc 11123  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   ≤ cle 11269   − cmin 11466  3c3 12321  ;cdc 12737  ∗ccj 15184  abscabs 15322  ndxcnx 17286  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  ._rcmulr 17344  *_𝑟cstv 17345  TopSetcts 17349  lecple 17350  distcds 17352  UnifSetcunif 17353  MetOpencmopn 21576  metUnifcmetu 21577  ℂ_fldccnfld 21586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-cnfld 21587

This theorem is used by:  cncrng  21607  cnfld0  21610  cnfld1  21611  cnfldneg  21612  cnfldplusf  21613  cnfldsub  21614  cndrng  21615  cnflddiv  21616  cnfldinv  21617  cnfldmulg  21618  cnfldexp  21619  cnsrng  21620  cnsubmlem  21629  cnsubglem  21630  cnsubrglem  21631  cnsubdrglem  21632  absabv  21638  cnsubrg  21641  cnmgpabl  21642  cnmgpid  21643  cnmsubglem  21644  gzrngunit  21647  gsumfsum  21648  regsumfsum  21649  expmhm  21650  nn0srg  21651  rge0srg  21652  zringbas  21667  zring0  21672  zringunit  21680  expghm  21689  fermltlchr  21743  cnmsgnbas  21792  psgninv  21796  zrhpsgnmhm  21798  rebase  21820  re0g  21826  regsumsupp  21836  cnfldms  25002  cnfldnm  25005  cnfldtopn  25008  cnfldtopon  25009  clmsscn  25308  cnlmod  25369  cnstrcvs  25370  cnrbas  25371  cncvs  25374  cnncvsaddassdemo  25392  cnncvsmulassdemo  25393  cnncvsabsnegdemo  25394  cphsubrglem  25406  cphreccllem  25407  cphdivcl  25411  cphabscl  25414  cphsqrtcl2  25415  cphsqrtcl3  25416  cphipcl  25420  4cphipval2  25471  cncms  25584  cnflduss  25585  cnfldcusp  25586  resscdrg  25587  ishl2  25599  recms  25609  tdeglem3  26285  tdeglem4  26286  tdeglem2  26287  plypf1  26439  dvply2g  26516  dvply2  26517  dvnply  26519  taylfvallem  26595  taylf  26598  tayl0  26599  taylpfval  26602  taylply2  26605  taylply  26606  efgh  26779  efabl  26788  efsubm  26789  jensenlem1  27224  jensenlem2  27225  jensen  27226  amgmlem  27227  amgm  27228  wilthlem2  27306  wilthlem3  27307  dchrelbas2  27474  dchrelbas3  27475  dchrn0  27487  dchrghm  27493  dchrabs  27497  sum2dchr  27511  lgseisenlem4  27615  qrngbas  27856  cchhllem  29344  cffldtocusgr  29908  gsumzrsum  33506  psgnid  33538  cnmsgn0g  33587  altgnsg  33590  1fldgenq  33764  gsumind  33786  xrge0slmod  33789  znfermltl  33802  psrmonprod  34063  esplyfvaln  34085  ccfldsrarelvec  34182  ccfldextdgrr  34183  constrelextdg2  34258  constrextdg2lem  34259  constrext2chnlem  34261  constrcon  34285  constrsdrg  34286  2sqr3minply  34291  cos9thpiminplylem6  34298  cos9thpiminply  34299  iistmd  34413  xrge0iifmhm  34450  xrge0pluscn  34451  zringnm  34469  cnzh  34479  rezh  34480  cnrrext  34521  esumpfinvallem  34585  cnpwstotbnd  38548  repwsmet  38585  rrnequiv  38586  cnsrexpcl  44007  fsumcnsrcl  44008  cnsrplycl  44009  rngunsnply  44011  proot1ex  44038  deg1mhm  44042  amgm2d  45039  amgm3d  45040  amgm4d  45041  binomcxplemdvbinom  45178  binomcxplemnotnn0  45181  sge0tsms  47209  cnfldsrngbas  49077  2zrng0  49160  aacllem  50773  amgmwlem  50821  amgmlemALT  50822  amgmw2d  50823