Theorem cnfldbas 21495

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21492. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11181	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21493	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17272	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4786	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4139	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4139	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21492	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3994	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3954	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3954	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17263	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11098  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   ≤ cle 11244   − cmin 11441  3c3 12296  ;cdc 12711  ∗ccj 15147  abscabs 15285  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  *_𝑟cstv 17312  TopSetcts 17316  lecple 17317  distcds 17319  UnifSetcunif 17320  MetOpencmopn 21481  metUnifcmetu 21482  ℂ_fldccnfld 21491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-cnfld 21492

This theorem is referenced by:  cncrng  21512  cnfld0  21515  cnfld1  21516  cnfldneg  21517  cnfldplusf  21518  cnfldsub  21519  cndrng  21520  cnflddiv  21521  cnfldinv  21522  cnfldmulg  21523  cnfldexp  21524  cnsrng  21525  cnsubmlem  21534  cnsubglem  21535  cnsubrglem  21536  cnsubdrglem  21537  absabv  21543  cnsubrg  21546  cnmgpabl  21547  cnmgpid  21548  cnmsubglem  21549  gzrngunit  21552  gsumfsum  21553  regsumfsum  21554  expmhm  21555  nn0srg  21556  rge0srg  21557  zringbas  21572  zring0  21577  zringunit  21585  expghm  21594  fermltlchr  21648  cnmsgnbas  21697  psgninv  21701  zrhpsgnmhm  21703  rebase  21725  re0g  21731  regsumsupp  21741  cnfldms  24901  cnfldnm  24904  cnfldtopn  24907  cnfldtopon  24908  clmsscn  25207  cnlmod  25268  cnstrcvs  25269  cnrbas  25270  cncvs  25273  cnncvsaddassdemo  25291  cnncvsmulassdemo  25292  cnncvsabsnegdemo  25293  cphsubrglem  25305  cphreccllem  25306  cphdivcl  25310  cphabscl  25313  cphsqrtcl2  25314  cphsqrtcl3  25315  cphipcl  25319  4cphipval2  25370  cncms  25483  cnflduss  25484  cnfldcusp  25485  resscdrg  25486  ishl2  25498  recms  25508  tdeglem3  26185  tdeglem4  26186  tdeglem2  26187  plypf1  26338  dvply2g  26415  dvply2  26416  dvnply  26418  taylfvallem  26487  taylf  26490  tayl0  26491  taylpfval  26494  taylply2  26497  taylply  26498  efgh  26672  efabl  26681  efsubm  26682  jensenlem1  27117  jensenlem2  27118  jensen  27119  amgmlem  27120  amgm  27121  wilthlem2  27199  wilthlem3  27200  dchrelbas2  27367  dchrelbas3  27368  dchrn0  27380  dchrghm  27386  dchrabs  27390  sum2dchr  27404  lgseisenlem4  27508  qrngbas  27749  cchhllem  29177  cffldtocusgr  29738  gsumzrsum  33326  psgnid  33358  cnmsgn0g  33407  altgnsg  33410  1fldgenq  33586  gsumind  33608  xrge0slmod  33611  znfermltl  33624  psrmonprod  33887  esplyfvaln  33909  ccfldsrarelvec  34006  ccfldextdgrr  34007  constrelextdg2  34082  constrextdg2lem  34083  constrext2chnlem  34085  constrcon  34109  constrsdrg  34110  2sqr3minply  34115  cos9thpiminplylem6  34122  cos9thpiminply  34123  iistmd  34237  xrge0iifmhm  34274  xrge0pluscn  34275  zringnm  34293  cnzh  34303  rezh  34304  cnrrext  34345  esumpfinvallem  34409  cnpwstotbnd  38336  repwsmet  38373  rrnequiv  38374  cnsrexpcl  43784  fsumcnsrcl  43785  cnsrplycl  43786  rngunsnply  43788  proot1ex  43815  deg1mhm  43819  amgm2d  44816  amgm3d  44817  amgm4d  44818  binomcxplemdvbinom  44955  binomcxplemnotnn0  44958  sge0tsms  46986  cnfldsrngbas  48815  2zrng0  48898  aacllem  50475  amgmwlem  50476  amgmlemALT  50477  amgmw2d  50478