Theorem cnfldbas 21356

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21353. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11119	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21354	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17182	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4759	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4118	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4118	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21353	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3971	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3931	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3931	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17173	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887  {csn 4567  {ctp 4571  ⟨cop 4573   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11180   − cmin 11377  3c3 12237  ;cdc 12644  ∗ccj 15058  abscabs 15196  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  *_𝑟cstv 17222  TopSetcts 17226  lecple 17227  distcds 17229  UnifSetcunif 17230  MetOpencmopn 21342  metUnifcmetu 21343  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  cncrng  21373  cnfld0  21376  cnfld1  21377  cnfldneg  21378  cnfldplusf  21379  cnfldsub  21380  cndrng  21381  cnflddiv  21382  cnfldinv  21383  cnfldmulg  21384  cnfldexp  21385  cnsrng  21386  cnsubmlem  21395  cnsubglem  21396  cnsubrglem  21397  cnsubdrglem  21398  absabv  21404  cnsubrg  21407  cnmgpabl  21408  cnmgpid  21409  cnmsubglem  21410  gzrngunit  21413  gsumfsum  21414  regsumfsum  21415  expmhm  21416  nn0srg  21417  rge0srg  21418  zringbas  21433  zring0  21438  zringunit  21446  expghm  21455  fermltlchr  21509  cnmsgnbas  21558  psgninv  21562  zrhpsgnmhm  21564  rebase  21586  re0g  21592  regsumsupp  21602  cnfldms  24740  cnfldnm  24743  cnfldtopn  24746  cnfldtopon  24747  clmsscn  25046  cnlmod  25107  cnstrcvs  25108  cnrbas  25109  cncvs  25112  cnncvsaddassdemo  25130  cnncvsmulassdemo  25131  cnncvsabsnegdemo  25132  cphsubrglem  25144  cphreccllem  25145  cphdivcl  25149  cphabscl  25152  cphsqrtcl2  25153  cphsqrtcl3  25154  cphipcl  25158  4cphipval2  25209  cncms  25322  cnflduss  25323  cnfldcusp  25324  resscdrg  25325  ishl2  25337  recms  25347  tdeglem3  26024  tdeglem4  26025  tdeglem2  26026  plypf1  26177  dvply2g  26251  dvply2  26252  dvnply  26254  taylfvallem  26323  taylf  26326  tayl0  26327  taylpfval  26330  taylply2  26333  taylply  26334  efgh  26505  efabl  26514  efsubm  26515  jensenlem1  26950  jensenlem2  26951  jensen  26952  amgmlem  26953  amgm  26954  wilthlem2  27032  wilthlem3  27033  dchrelbas2  27200  dchrelbas3  27201  dchrn0  27213  dchrghm  27219  dchrabs  27223  sum2dchr  27237  lgseisenlem4  27341  qrngbas  27582  cchhllem  28955  cffldtocusgr  29516  gsumzrsum  33126  psgnid  33158  cnmsgn0g  33207  altgnsg  33210  1fldgenq  33383  gsumind  33405  xrge0slmod  33408  znfermltl  33426  psrmonprod  33696  esplyfvaln  33718  ccfldsrarelvec  33815  ccfldextdgrr  33816  constrelextdg2  33891  constrextdg2lem  33892  constrext2chnlem  33894  constrcon  33918  constrsdrg  33919  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem6  33931  cos9thpiminply  33932  iistmd  34046  xrge0iifmhm  34083  xrge0pluscn  34084  zringnm  34102  cnzh  34112  rezh  34113  cnrrext  34154  esumpfinvallem  34218  cnpwstotbnd  38118  repwsmet  38155  rrnequiv  38156  cnsrexpcl  43593  fsumcnsrcl  43594  cnsrplycl  43595  rngunsnply  43597  proot1ex  43624  deg1mhm  43628  amgm2d  44625  amgm3d  44626  amgm4d  44627  binomcxplemdvbinom  44780  binomcxplemnotnn0  44783  sge0tsms  46808  cnfldsrngbas  48637  2zrng0  48720  aacllem  50276  amgmwlem  50277  amgmlemALT  50278  amgmw2d  50279