Theorem cnfldbas 21526

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21523. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11176	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21524	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17267	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4782	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4131	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4131	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21523	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3986	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3946	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3946	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17258	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903  {csn 4589  {ctp 4593  ⟨cop 4595   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11093  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   ≤ cle 11239   − cmin 11436  3c3 12291  ;cdc 12706  ∗ccj 15143  abscabs 15281  ndxcnx 17248  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  *_𝑟cstv 17307  TopSetcts 17311  lecple 17312  distcds 17314  UnifSetcunif 17315  MetOpencmopn 21512  metUnifcmetu 21513  ℂ_fldccnfld 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-cnfld 21523

This theorem is referenced by:  cncrng  21543  cnfld0  21546  cnfld1  21547  cnfldneg  21548  cnfldplusf  21549  cnfldsub  21550  cndrng  21551  cnflddiv  21552  cnfldinv  21553  cnfldmulg  21554  cnfldexp  21555  cnsrng  21556  cnsubmlem  21565  cnsubglem  21566  cnsubrglem  21567  cnsubdrglem  21568  absabv  21574  cnsubrg  21577  cnmgpabl  21578  cnmgpid  21579  cnmsubglem  21580  gzrngunit  21583  gsumfsum  21584  regsumfsum  21585  expmhm  21586  nn0srg  21587  rge0srg  21588  zringbas  21603  zring0  21608  zringunit  21616  expghm  21625  fermltlchr  21679  cnmsgnbas  21728  psgninv  21732  zrhpsgnmhm  21734  rebase  21756  re0g  21762  regsumsupp  21772  cnfldms  24932  cnfldnm  24935  cnfldtopn  24938  cnfldtopon  24939  clmsscn  25238  cnlmod  25299  cnstrcvs  25300  cnrbas  25301  cncvs  25304  cnncvsaddassdemo  25322  cnncvsmulassdemo  25323  cnncvsabsnegdemo  25324  cphsubrglem  25336  cphreccllem  25337  cphdivcl  25341  cphabscl  25344  cphsqrtcl2  25345  cphsqrtcl3  25346  cphipcl  25350  4cphipval2  25401  cncms  25514  cnflduss  25515  cnfldcusp  25516  resscdrg  25517  ishl2  25529  recms  25539  tdeglem3  26216  tdeglem4  26217  tdeglem2  26218  plypf1  26369  dvply2g  26446  dvply2  26447  dvnply  26449  taylfvallem  26521  taylf  26524  tayl0  26525  taylpfval  26528  taylply2  26531  taylply  26532  efgh  26706  efabl  26715  efsubm  26716  jensenlem1  27151  jensenlem2  27152  jensen  27153  amgmlem  27154  amgm  27155  wilthlem2  27233  wilthlem3  27234  dchrelbas2  27401  dchrelbas3  27402  dchrn0  27414  dchrghm  27420  dchrabs  27424  sum2dchr  27438  lgseisenlem4  27542  qrngbas  27783  cchhllem  29236  cffldtocusgr  29797  gsumzrsum  33385  psgnid  33417  cnmsgn0g  33466  altgnsg  33469  1fldgenq  33643  gsumind  33665  xrge0slmod  33668  znfermltl  33681  psrmonprod  33942  esplyfvaln  33964  ccfldsrarelvec  34061  ccfldextdgrr  34062  constrelextdg2  34137  constrextdg2lem  34138  constrext2chnlem  34140  constrcon  34164  constrsdrg  34165  2sqr3minply  34170  cos9thpiminplylem6  34177  cos9thpiminply  34178  iistmd  34292  xrge0iifmhm  34329  xrge0pluscn  34330  zringnm  34348  cnzh  34358  rezh  34359  cnrrext  34400  esumpfinvallem  34464  cnpwstotbnd  38468  repwsmet  38505  rrnequiv  38506  cnsrexpcl  43912  fsumcnsrcl  43913  cnsrplycl  43914  rngunsnply  43916  proot1ex  43943  deg1mhm  43947  amgm2d  44944  amgm3d  44945  amgm4d  44946  binomcxplemdvbinom  45083  binomcxplemnotnn0  45086  sge0tsms  47114  cnfldsrngbas  48946  2zrng0  49029  aacllem  50641  amgmwlem  50669  amgmlemALT  50670  amgmw2d  50671