Theorem cnfldbas 21275

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21272. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11156	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21273	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17189	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4783	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4144	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4144	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21272	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3999	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3959	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3959	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17180	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  {csn 4592  {ctp 4596  ⟨cop 4598   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412  3c3 12249  ;cdc 12656  ∗ccj 15069  abscabs 15207  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  *_𝑟cstv 17229  TopSetcts 17233  lecple 17234  distcds 17236  UnifSetcunif 17237  MetOpencmopn 21261  metUnifcmetu 21262  ℂ_fldccnfld 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-cnfld 21272

This theorem is referenced by:  cncrng  21307  cncrngOLD  21308  cnfld0  21311  cnfld1  21312  cnfld1OLD  21313  cnfldneg  21314  cnfldplusf  21315  cnfldsub  21316  cndrng  21317  cndrngOLD  21318  cnflddiv  21319  cnflddivOLD  21320  cnfldinv  21321  cnfldmulg  21322  cnfldexp  21323  cnsrng  21324  cnsubmlem  21338  cnsubglem  21339  cnsubrglem  21340  cnsubrglemOLD  21341  cnsubdrglem  21342  absabv  21348  cnsubrg  21351  cnmgpabl  21352  cnmgpid  21353  cnmsubglem  21354  gzrngunit  21357  gsumfsum  21358  regsumfsum  21359  expmhm  21360  nn0srg  21361  rge0srg  21362  zringbas  21370  zring0  21375  zringunit  21383  expghm  21392  fermltlchr  21446  cnmsgnbas  21494  psgninv  21498  zrhpsgnmhm  21500  rebase  21522  re0g  21528  regsumsupp  21538  cnfldms  24670  cnfldnm  24673  cnfldtopn  24676  cnfldtopon  24677  clmsscn  24986  cnlmod  25047  cnstrcvs  25048  cnrbas  25049  cncvs  25052  cnncvsaddassdemo  25070  cnncvsmulassdemo  25071  cnncvsabsnegdemo  25072  cphsubrglem  25084  cphreccllem  25085  cphdivcl  25089  cphabscl  25092  cphsqrtcl2  25093  cphsqrtcl3  25094  cphipcl  25098  4cphipval2  25149  cncms  25262  cnflduss  25263  cnfldcusp  25264  resscdrg  25265  ishl2  25277  recms  25287  tdeglem3  25971  tdeglem4  25972  tdeglem2  25973  plypf1  26124  dvply2g  26199  dvply2gOLD  26200  dvply2  26201  dvnply  26203  taylfvallem  26272  taylf  26275  tayl0  26276  taylpfval  26279  taylply2  26282  taylply2OLD  26283  taylply  26284  efgh  26457  efabl  26466  efsubm  26467  jensenlem1  26904  jensenlem2  26905  jensen  26906  amgmlem  26907  amgm  26908  wilthlem2  26986  wilthlem3  26987  dchrelbas2  27155  dchrelbas3  27156  dchrn0  27168  dchrghm  27174  dchrabs  27178  sum2dchr  27192  lgseisenlem4  27296  qrngbas  27537  cchhllem  28821  cffldtocusgr  29381  cffldtocusgrOLD  29382  gsumzrsum  33006  psgnid  33061  cnmsgn0g  33110  altgnsg  33113  1fldgenq  33279  xrge0slmod  33326  znfermltl  33344  ccfldsrarelvec  33673  ccfldextdgrr  33674  constrelextdg2  33744  constrextdg2lem  33745  constrext2chnlem  33747  constrcon  33771  constrsdrg  33772  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem6  33784  cos9thpiminply  33785  iistmd  33899  xrge0iifmhm  33936  xrge0pluscn  33937  zringnm  33955  cnzh  33965  rezh  33966  cnrrext  34007  esumpfinvallem  34071  cnpwstotbnd  37798  repwsmet  37835  rrnequiv  37836  cnsrexpcl  43161  fsumcnsrcl  43162  cnsrplycl  43163  rngunsnply  43165  proot1ex  43192  deg1mhm  43196  amgm2d  44194  amgm3d  44195  amgm4d  44196  binomcxplemdvbinom  44349  binomcxplemnotnn0  44352  sge0tsms  46385  cnfldsrngbas  48153  2zrng0  48236  aacllem  49794  amgmwlem  49795  amgmlemALT  49796  amgmw2d  49797