Theorem cnfldbas 21300

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21297. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11125	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21298	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17158	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4776	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4137	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4137	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21297	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3993	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3953	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3953	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17149	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909  {csn 4585  {ctp 4589  ⟨cop 4591   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ℂcc 11042  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   ≤ cle 11185   − cmin 11381  3c3 12218  ;cdc 12625  ∗ccj 15038  abscabs 15176  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  *_𝑟cstv 17198  TopSetcts 17202  lecple 17203  distcds 17205  UnifSetcunif 17206  MetOpencmopn 21286  metUnifcmetu 21287  ℂ_fldccnfld 21296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-cnfld 21297

This theorem is referenced by:  cncrng  21330  cncrngOLD  21331  cnfld0  21334  cnfld1  21335  cnfld1OLD  21336  cnfldneg  21337  cnfldplusf  21338  cnfldsub  21339  cndrng  21340  cndrngOLD  21341  cnflddiv  21342  cnflddivOLD  21343  cnfldinv  21344  cnfldmulg  21345  cnfldexp  21346  cnsrng  21347  cnsubmlem  21356  cnsubglem  21357  cnsubrglem  21358  cnsubrglemOLD  21359  cnsubdrglem  21360  absabv  21366  cnsubrg  21369  cnmgpabl  21370  cnmgpid  21371  cnmsubglem  21372  gzrngunit  21375  gsumfsum  21376  regsumfsum  21377  expmhm  21378  nn0srg  21379  rge0srg  21380  zringbas  21395  zring0  21400  zringunit  21408  expghm  21417  fermltlchr  21471  cnmsgnbas  21520  psgninv  21524  zrhpsgnmhm  21526  rebase  21548  re0g  21554  regsumsupp  21564  cnfldms  24696  cnfldnm  24699  cnfldtopn  24702  cnfldtopon  24703  clmsscn  25012  cnlmod  25073  cnstrcvs  25074  cnrbas  25075  cncvs  25078  cnncvsaddassdemo  25096  cnncvsmulassdemo  25097  cnncvsabsnegdemo  25098  cphsubrglem  25110  cphreccllem  25111  cphdivcl  25115  cphabscl  25118  cphsqrtcl2  25119  cphsqrtcl3  25120  cphipcl  25124  4cphipval2  25175  cncms  25288  cnflduss  25289  cnfldcusp  25290  resscdrg  25291  ishl2  25303  recms  25313  tdeglem3  25997  tdeglem4  25998  tdeglem2  25999  plypf1  26150  dvply2g  26225  dvply2gOLD  26226  dvply2  26227  dvnply  26229  taylfvallem  26298  taylf  26301  tayl0  26302  taylpfval  26305  taylply2  26308  taylply2OLD  26309  taylply  26310  efgh  26483  efabl  26492  efsubm  26493  jensenlem1  26930  jensenlem2  26931  jensen  26932  amgmlem  26933  amgm  26934  wilthlem2  27012  wilthlem3  27013  dchrelbas2  27181  dchrelbas3  27182  dchrn0  27194  dchrghm  27200  dchrabs  27204  sum2dchr  27218  lgseisenlem4  27322  qrngbas  27563  cchhllem  28867  cffldtocusgr  29427  cffldtocusgrOLD  29428  gsumzrsum  33042  psgnid  33069  cnmsgn0g  33118  altgnsg  33121  1fldgenq  33288  xrge0slmod  33312  znfermltl  33330  ccfldsrarelvec  33659  ccfldextdgrr  33660  constrelextdg2  33730  constrextdg2lem  33731  constrext2chnlem  33733  constrcon  33757  constrsdrg  33758  2sqr3minply  33763  cos9thpiminplylem6  33770  cos9thpiminply  33771  iistmd  33885  xrge0iifmhm  33922  xrge0pluscn  33923  zringnm  33941  cnzh  33951  rezh  33952  cnrrext  33993  esumpfinvallem  34057  cnpwstotbnd  37784  repwsmet  37821  rrnequiv  37822  cnsrexpcl  43147  fsumcnsrcl  43148  cnsrplycl  43149  rngunsnply  43151  proot1ex  43178  deg1mhm  43182  amgm2d  44180  amgm3d  44181  amgm4d  44182  binomcxplemdvbinom  44335  binomcxplemnotnn0  44338  sge0tsms  46371  cnfldsrngbas  48142  2zrng0  48225  aacllem  49783  amgmwlem  49784  amgmlemALT  49785  amgmw2d  49786