Theorem cnfldbas 21578

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21575. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11198	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21576	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17296	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4784	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4131	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4131	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21575	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3987	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3947	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3947	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17287	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∪ cun 3904  {csn 4591  {ctp 4595  ⟨cop 4597   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  ℂcc 11115  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   ≤ cle 11261   − cmin 11458  3c3 12313  ;cdc 12729  ∗ccj 15173  abscabs 15311  ndxcnx 17277  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335  *_𝑟cstv 17336  TopSetcts 17340  lecple 17341  distcds 17343  UnifSetcunif 17344  MetOpencmopn 21564  metUnifcmetu 21565  ℂ_fldccnfld 21574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-cnfld 21575

This theorem is used by:  cncrng  21595  cnfld0  21598  cnfld1  21599  cnfldneg  21600  cnfldplusf  21601  cnfldsub  21602  cndrng  21603  cnflddiv  21604  cnfldinv  21605  cnfldmulg  21606  cnfldexp  21607  cnsrng  21608  cnsubmlem  21617  cnsubglem  21618  cnsubrglem  21619  cnsubdrglem  21620  absabv  21626  cnsubrg  21629  cnmgpabl  21630  cnmgpid  21631  cnmsubglem  21632  gzrngunit  21635  gsumfsum  21636  regsumfsum  21637  expmhm  21638  nn0srg  21639  rge0srg  21640  zringbas  21655  zring0  21660  zringunit  21668  expghm  21677  fermltlchr  21731  cnmsgnbas  21780  psgninv  21784  zrhpsgnmhm  21786  rebase  21808  re0g  21814  regsumsupp  21824  cnfldms  24985  cnfldnm  24988  cnfldtopn  24991  cnfldtopon  24992  clmsscn  25291  cnlmod  25352  cnstrcvs  25353  cnrbas  25354  cncvs  25357  cnncvsaddassdemo  25375  cnncvsmulassdemo  25376  cnncvsabsnegdemo  25377  cphsubrglem  25389  cphreccllem  25390  cphdivcl  25394  cphabscl  25397  cphsqrtcl2  25398  cphsqrtcl3  25399  cphipcl  25403  4cphipval2  25454  cncms  25567  cnflduss  25568  cnfldcusp  25569  resscdrg  25570  ishl2  25582  recms  25592  tdeglem3  26269  tdeglem4  26270  tdeglem2  26271  plypf1  26422  dvply2g  26499  dvply2  26500  dvnply  26502  taylfvallem  26574  taylf  26577  tayl0  26578  taylpfval  26581  taylply2  26584  taylply  26585  efgh  26759  efabl  26768  efsubm  26769  jensenlem1  27204  jensenlem2  27205  jensen  27206  amgmlem  27207  amgm  27208  wilthlem2  27286  wilthlem3  27287  dchrelbas2  27454  dchrelbas3  27455  dchrn0  27467  dchrghm  27473  dchrabs  27477  sum2dchr  27491  lgseisenlem4  27595  qrngbas  27836  cchhllem  29293  cffldtocusgr  29857  gsumzrsum  33451  psgnid  33483  cnmsgn0g  33532  altgnsg  33535  1fldgenq  33709  gsumind  33731  xrge0slmod  33734  znfermltl  33747  psrmonprod  34008  esplyfvaln  34030  ccfldsrarelvec  34127  ccfldextdgrr  34128  constrelextdg2  34203  constrextdg2lem  34204  constrext2chnlem  34206  constrcon  34230  constrsdrg  34231  2sqr3minply  34236  cos9thpiminplylem6  34243  cos9thpiminply  34244  iistmd  34358  xrge0iifmhm  34395  xrge0pluscn  34396  zringnm  34414  cnzh  34424  rezh  34425  cnrrext  34466  esumpfinvallem  34530  cnpwstotbnd  38508  repwsmet  38545  rrnequiv  38546  cnsrexpcl  43952  fsumcnsrcl  43953  cnsrplycl  43954  rngunsnply  43956  proot1ex  43983  deg1mhm  43987  amgm2d  44984  amgm3d  44985  amgm4d  44986  binomcxplemdvbinom  45123  binomcxplemnotnn0  45126  sge0tsms  47154  cnfldsrngbas  48985  2zrng0  49068  aacllem  50680  amgmwlem  50709  amgmlemALT  50710  amgmw2d  50711