Theorem cnfldbas 20231

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10464	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 20229	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 16372	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4656	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4069	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4069	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20228	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtr4i 3925	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3898	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3898	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16360	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ∪ cun 3857  {csn 4472  {ctp 4476  ⟨cop 4478   ∘ ccom 5447  ‘cfv 6225  ℂcc 10381  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   ≤ cle 10522   − cmin 10717  3c3 11541  ;cdc 11947  ∗ccj 14289  abscabs 14427  ndxcnx 16309  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  ._rcmulr 16395  *_𝑟cstv 16396  TopSetcts 16400  lecple 16401  distcds 16403  UnifSetcunif 16404  MetOpencmopn 20217  metUnifcmetu 20218  ℂ_fldccnfld 20227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-cnfld 20228

This theorem is referenced by:  cncrng  20248  cnfld0  20251  cnfld1  20252  cnfldneg  20253  cnfldplusf  20254  cnfldsub  20255  cndrng  20256  cnflddiv  20257  cnfldinv  20258  cnfldmulg  20259  cnfldexp  20260  cnsrng  20261  cnsubmlem  20275  cnsubglem  20276  cnsubrglem  20277  cnsubdrglem  20278  absabv  20284  cnsubrg  20287  cnmgpabl  20288  cnmgpid  20289  cnmsubglem  20290  gzrngunit  20293  gsumfsum  20294  regsumfsum  20295  expmhm  20296  nn0srg  20297  rge0srg  20298  zringbas  20305  zring0  20309  zringunit  20317  expghm  20325  cnmsgnbas  20404  psgninv  20408  zrhpsgnmhm  20410  rebase  20432  re0g  20438  regsumsupp  20448  cnfldms  23067  cnfldnm  23070  cnfldtopn  23073  cnfldtopon  23074  clmsscn  23366  cnlmod  23427  cnstrcvs  23428  cnrbas  23429  cncvs  23432  cnncvsaddassdemo  23450  cnncvsmulassdemo  23451  cnncvsabsnegdemo  23452  cphsubrglem  23464  cphreccllem  23465  cphdivcl  23469  cphabscl  23472  cphsqrtcl2  23473  cphsqrtcl3  23474  cphipcl  23478  4cphipval2  23528  cncms  23641  cnflduss  23642  cnfldcusp  23643  resscdrg  23644  ishl2  23656  recms  23666  tdeglem3  24336  tdeglem4  24337  tdeglem2  24338  plypf1  24485  dvply2g  24557  dvply2  24558  dvnply  24560  taylfvallem  24629  taylf  24632  tayl0  24633  taylpfval  24636  taylply2  24639  taylply  24640  efgh  24806  efabl  24815  efsubm  24816  jensenlem1  25246  jensenlem2  25247  jensen  25248  amgmlem  25249  amgm  25250  wilthlem2  25328  wilthlem3  25329  dchrelbas2  25495  dchrelbas3  25496  dchrn0  25508  dchrghm  25514  dchrabs  25518  sum2dchr  25532  lgseisenlem4  25636  qrngbas  25877  cchhllem  26356  cffldtocusgr  26912  cnmsgn0g  30425  psgnid  30427  altgnsg  30429  xrge0slmod  30571  ccfldsrarelvec  30660  ccfldextdgrr  30661  iistmd  30762  xrge0iifmhm  30799  xrge0pluscn  30800  zringnm  30818  cnzh  30828  rezh  30829  cnrrext  30868  esumpfinvallem  30950  cnpwstotbnd  34607  repwsmet  34644  rrnequiv  34645  cnsrexpcl  39250  fsumcnsrcl  39251  cnsrplycl  39252  rngunsnply  39258  proot1ex  39286  deg1mhm  39292  amgm2d  40037  amgm3d  40038  amgm4d  40039  binomcxplemdvbinom  40223  binomcxplemnotnn0  40226  sge0tsms  42204  cnfldsrngbas  43518  2zrng0  43687  aacllem  44382  amgmwlem  44383  amgmlemALT  44384  amgmw2d  44385