Theorem cnfldbas 20321

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10775	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 20319	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 16724	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4715	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4072	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4072	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20318	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3924	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3896	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3896	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16713	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ∪ cun 3851  {csn 4527  {ctp 4531  ⟨cop 4533   ∘ ccom 5540  ‘cfv 6358  ℂcc 10692  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699   ≤ cle 10833   − cmin 11027  3c3 11851  ;cdc 12258  ∗ccj 14624  abscabs 14762  ndxcnx 16663  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  ._rcmulr 16750  *_𝑟cstv 16751  TopSetcts 16755  lecple 16756  distcds 16758  UnifSetcunif 16759  MetOpencmopn 20307  metUnifcmetu 20308  ℂ_fldccnfld 20317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-cnfld 20318

This theorem is referenced by:  cncrng  20338  cnfld0  20341  cnfld1  20342  cnfldneg  20343  cnfldplusf  20344  cnfldsub  20345  cndrng  20346  cnflddiv  20347  cnfldinv  20348  cnfldmulg  20349  cnfldexp  20350  cnsrng  20351  cnsubmlem  20365  cnsubglem  20366  cnsubrglem  20367  cnsubdrglem  20368  absabv  20374  cnsubrg  20377  cnmgpabl  20378  cnmgpid  20379  cnmsubglem  20380  gzrngunit  20383  gsumfsum  20384  regsumfsum  20385  expmhm  20386  nn0srg  20387  rge0srg  20388  zringbas  20395  zring0  20399  zringunit  20407  expghm  20416  cnmsgnbas  20494  psgninv  20498  zrhpsgnmhm  20500  rebase  20522  re0g  20528  regsumsupp  20538  cnfldms  23627  cnfldnm  23630  cnfldtopn  23633  cnfldtopon  23634  clmsscn  23930  cnlmod  23991  cnstrcvs  23992  cnrbas  23993  cncvs  23996  cnncvsaddassdemo  24014  cnncvsmulassdemo  24015  cnncvsabsnegdemo  24016  cphsubrglem  24028  cphreccllem  24029  cphdivcl  24033  cphabscl  24036  cphsqrtcl2  24037  cphsqrtcl3  24038  cphipcl  24042  4cphipval2  24093  cncms  24206  cnflduss  24207  cnfldcusp  24208  resscdrg  24209  ishl2  24221  recms  24231  tdeglem3  24909  tdeglem3OLD  24910  tdeglem4  24911  tdeglem4OLD  24912  tdeglem2  24913  plypf1  25060  dvply2g  25132  dvply2  25133  dvnply  25135  taylfvallem  25204  taylf  25207  tayl0  25208  taylpfval  25211  taylply2  25214  taylply  25215  efgh  25384  efabl  25393  efsubm  25394  jensenlem1  25823  jensenlem2  25824  jensen  25825  amgmlem  25826  amgm  25827  wilthlem2  25905  wilthlem3  25906  dchrelbas2  26072  dchrelbas3  26073  dchrn0  26085  dchrghm  26091  dchrabs  26095  sum2dchr  26109  lgseisenlem4  26213  qrngbas  26454  cchhllem  26932  cffldtocusgr  27489  psgnid  31037  cnmsgn0g  31086  altgnsg  31089  xrge0slmod  31216  znfermltl  31230  ccfldsrarelvec  31409  ccfldextdgrr  31410  iistmd  31520  xrge0iifmhm  31557  xrge0pluscn  31558  zringnm  31576  cnzh  31586  rezh  31587  cnrrext  31626  esumpfinvallem  31708  cnpwstotbnd  35641  repwsmet  35678  rrnequiv  35679  cnsrexpcl  40634  fsumcnsrcl  40635  cnsrplycl  40636  rngunsnply  40642  proot1ex  40670  deg1mhm  40676  amgm2d  41428  amgm3d  41429  amgm4d  41430  binomcxplemdvbinom  41585  binomcxplemnotnn0  41588  sge0tsms  43536  cnfldsrngbas  44939  2zrng0  45112  aacllem  46119  amgmwlem  46120  amgmlemALT  46121  amgmw2d  46122