Theorem cnfldbas 21682

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21679. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11281	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21680	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17390	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4777	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4124	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4124	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21679	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3980	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3940	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3940	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17381	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11198  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541  3c3 12398  ;cdc 12814  ∗ccj 15263  abscabs 15401  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  *_𝑟cstv 17430  TopSetcts 17434  lecple 17435  distcds 17437  UnifSetcunif 17438  MetOpencmopn 21668  metUnifcmetu 21669  ℂ_fldccnfld 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-cnfld 21679

This theorem is used by:  cncrng  21699  cnfld0  21702  cnfld1  21703  cnfldneg  21704  cnfldplusf  21705  cnfldsub  21706  cndrng  21707  cnflddiv  21708  cnfldinv  21709  cnfldmulg  21710  cnfldexp  21711  cnsrng  21712  cnsubmlem  21721  cnsubglem  21722  cnsubrglem  21723  cnsubdrglem  21724  absabv  21730  cnsubrg  21733  cnmgpabl  21734  cnmgpid  21735  cnmsubglem  21736  gzrngunit  21739  gsumfsum  21740  regsumfsum  21741  expmhm  21742  nn0srg  21743  rge0srg  21744  zringbas  21759  zring0  21764  zringunit  21772  expghm  21781  fermltlchr  21835  cnmsgnbas  21884  psgninv  21888  zrhpsgnmhm  21890  rebase  21912  re0g  21918  regsumsupp  21928  cnfldms  25094  cnfldnm  25097  cnfldtopn  25100  cnfldtopon  25101  clmsscn  25400  cnlmod  25461  cnstrcvs  25462  cnrbas  25463  cncvs  25466  cnncvsaddassdemo  25484  cnncvsmulassdemo  25485  cnncvsabsnegdemo  25486  cphsubrglem  25498  cphreccllem  25499  cphdivcl  25503  cphabscl  25506  cphsqrtcl2  25507  cphsqrtcl3  25508  cphipcl  25512  4cphipval2  25563  cncms  25676  cnflduss  25677  cnfldcusp  25678  resscdrg  25679  ishl2  25691  recms  25701  tdeglem3  26377  tdeglem4  26378  tdeglem2  26379  plypf1  26531  dvply2g  26606  dvply2  26607  dvnply  26609  taylfvallem  26685  taylf  26688  tayl0  26689  taylpfval  26692  taylply2  26695  taylply  26696  efgh  26869  efabl  26878  efsubm  26879  jensenlem1  27314  jensenlem2  27315  jensen  27316  amgmlem  27317  amgm  27318  wilthlem2  27396  wilthlem3  27397  dchrelbas2  27564  dchrelbas3  27565  dchrn0  27577  dchrghm  27583  dchrabs  27587  sum2dchr  27601  lgseisenlem4  27705  qrngbas  27946  cchhllem  29464  cffldtocusgr  30028  gsumzrsum  33626  psgnid  33658  cnmsgn0g  33707  altgnsg  33710  1fldgenq  33884  gsumind  33906  xrge0slmod  33909  znfermltl  33922  psrmonprod  34184  esplyfvaln  34206  ccfldsrarelvec  34303  ccfldextdgrr  34304  constrelextdg2  34379  constrextdg2lem  34380  constrext2chnlem  34382  constrcon  34406  constrsdrg  34407  2sqr3minply  34412  cos9thpiminplylem6  34419  cos9thpiminply  34420  iistmd  34534  xrge0iifmhm  34571  xrge0pluscn  34572  zringnm  34590  cnzh  34600  rezh  34601  cnrrext  34642  esumpfinvallem  34706  cnpwstotbnd  38731  repwsmet  38768  rrnequiv  38769  cnsrexpcl  44166  fsumcnsrcl  44167  cnsrplycl  44168  rngunsnply  44170  proot1ex  44197  deg1mhm  44201  amgm2d  45197  amgm3d  45198  amgm4d  45199  binomcxplemdvbinom  45336  binomcxplemnotnn0  45339  sge0tsms  47389  cnfldsrngbas  49257  2zrng0  49340  aacllem  50938  amgmwlem  50986  amgmlemALT  50987  amgmw2d  50988