MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldbas 19978
Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldbas ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas
StepHypRef Expression
1 cnex 10312 . 2 ℂ ∈ V
2 cnfldstr 19976 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 baseid 16150 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
4 snsstp1 4548 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 3986 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 3986 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 19975 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtr4i 3846 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3818 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3818 . . 3 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 16138 . 2 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 ℂ = (Base‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  Vcvv 3402  cun 3778  {csn 4381  {ctp 4385  cop 4387  ccom 5328  cfv 6111  cc 10229  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  cle 10370  cmin 10561  3c3 11369  cdc 11779  ccj 14079  abscabs 14217  ndxcnx 16085  Basecbs 16088  +gcplusg 16173  .rcmulr 16174  *𝑟cstv 16175  TopSetcts 16179  lecple 16180  distcds 16182  UnifSetcunif 16183  MetOpencmopn 19964  metUnifcmetu 19965  fldccnfld 19974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-fz 12570  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-cnfld 19975
This theorem is referenced by:  cncrng  19995  cnfld0  19998  cnfld1  19999  cnfldneg  20000  cnfldplusf  20001  cnfldsub  20002  cndrng  20003  cnflddiv  20004  cnfldinv  20005  cnfldmulg  20006  cnfldexp  20007  cnsrng  20008  cnsubmlem  20022  cnsubglem  20023  cnsubrglem  20024  cnsubdrglem  20025  absabv  20031  cnsubrg  20034  cnmgpabl  20035  cnmgpid  20036  cnmsubglem  20037  gzrngunit  20040  gsumfsum  20041  regsumfsum  20042  expmhm  20043  nn0srg  20044  rge0srg  20045  zringbas  20052  zring0  20056  zringunit  20064  expghm  20072  cnmsgnbas  20151  psgninv  20155  zrhpsgnmhm  20157  rebase  20181  re0g  20187  regsumsupp  20197  cnfldms  22813  cnfldnm  22816  cnfldtopn  22819  cnfldtopon  22820  clmsscn  23112  cnlmod  23173  cnstrcvs  23174  cnrbas  23175  cncvs  23178  cnncvsaddassdemo  23196  cnncvsmulassdemo  23197  cnncvsabsnegdemo  23198  cphsubrglem  23210  cphreccllem  23211  cphdivcl  23215  cphabscl  23218  cphsqrtcl2  23219  cphsqrtcl3  23220  cphipcl  23224  4cphipval2  23274  cncms  23385  cnflduss  23386  cnfldcusp  23387  resscdrg  23388  ishl2  23400  recms  23403  tdeglem3  24056  tdeglem4  24057  tdeglem2  24058  plypf1  24205  dvply2g  24277  dvply2  24278  dvnply  24280  taylfvallem  24349  taylf  24352  tayl0  24353  taylpfval  24356  taylply2  24359  taylply  24360  efgh  24525  efabl  24534  efsubm  24535  jensenlem1  24950  jensenlem2  24951  jensen  24952  amgmlem  24953  amgm  24954  wilthlem2  25032  wilthlem3  25033  dchrelbas2  25199  dchrelbas3  25200  dchrn0  25212  dchrghm  25218  dchrabs  25222  sum2dchr  25236  lgseisenlem4  25340  qrngbas  25545  cchhllem  26004  cffldtocusgr  26594  xrge0slmod  30192  psgnid  30195  iistmd  30296  xrge0iifmhm  30333  xrge0pluscn  30334  zringnm  30352  cnzh  30362  rezh  30363  cnrrext  30402  esumpfinvallem  30484  cnpwstotbnd  33926  repwsmet  33963  rrnequiv  33964  cnsrexpcl  38254  fsumcnsrcl  38255  cnsrplycl  38256  rngunsnply  38262  proot1ex  38298  deg1mhm  38304  amgm2d  39019  amgm3d  39020  amgm4d  39021  binomcxplemdvbinom  39070  binomcxplemnotnn0  39073  sge0tsms  41094  cnfldsrngbas  42355  2zrng0  42524  aacllem  43136  amgmwlem  43137  amgmlemALT  43138  amgmw2d  43139
  Copyright terms: Public domain W3C validator