Theorem cnfldbas 20601

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10952	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 20599	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 16915	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4749	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4106	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4106	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20598	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3958	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3930	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3930	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16905	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885  {csn 4561  {ctp 4565  ⟨cop 4567   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205  3c3 12029  ;cdc 12437  ∗ccj 14807  abscabs 14945  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  *_𝑟cstv 16964  TopSetcts 16968  lecple 16969  distcds 16971  UnifSetcunif 16972  MetOpencmopn 20587  metUnifcmetu 20588  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  cncrng  20619  cnfld0  20622  cnfld1  20623  cnfldneg  20624  cnfldplusf  20625  cnfldsub  20626  cndrng  20627  cnflddiv  20628  cnfldinv  20629  cnfldmulg  20630  cnfldexp  20631  cnsrng  20632  cnsubmlem  20646  cnsubglem  20647  cnsubrglem  20648  cnsubdrglem  20649  absabv  20655  cnsubrg  20658  cnmgpabl  20659  cnmgpid  20660  cnmsubglem  20661  gzrngunit  20664  gsumfsum  20665  regsumfsum  20666  expmhm  20667  nn0srg  20668  rge0srg  20669  zringbas  20676  zring0  20680  zringunit  20688  expghm  20697  cnmsgnbas  20783  psgninv  20787  zrhpsgnmhm  20789  rebase  20811  re0g  20817  regsumsupp  20827  cnfldms  23939  cnfldnm  23942  cnfldtopn  23945  cnfldtopon  23946  clmsscn  24242  cnlmod  24303  cnstrcvs  24304  cnrbas  24305  cncvs  24308  cnncvsaddassdemo  24327  cnncvsmulassdemo  24328  cnncvsabsnegdemo  24329  cphsubrglem  24341  cphreccllem  24342  cphdivcl  24346  cphabscl  24349  cphsqrtcl2  24350  cphsqrtcl3  24351  cphipcl  24355  4cphipval2  24406  cncms  24519  cnflduss  24520  cnfldcusp  24521  resscdrg  24522  ishl2  24534  recms  24544  tdeglem3  25222  tdeglem3OLD  25223  tdeglem4  25224  tdeglem4OLD  25225  tdeglem2  25226  plypf1  25373  dvply2g  25445  dvply2  25446  dvnply  25448  taylfvallem  25517  taylf  25520  tayl0  25521  taylpfval  25524  taylply2  25527  taylply  25528  efgh  25697  efabl  25706  efsubm  25707  jensenlem1  26136  jensenlem2  26137  jensen  26138  amgmlem  26139  amgm  26140  wilthlem2  26218  wilthlem3  26219  dchrelbas2  26385  dchrelbas3  26386  dchrn0  26398  dchrghm  26404  dchrabs  26408  sum2dchr  26422  lgseisenlem4  26526  qrngbas  26767  cchhllem  27254  cchhllemOLD  27255  cffldtocusgr  27814  psgnid  31364  cnmsgn0g  31413  altgnsg  31416  xrge0slmod  31548  znfermltl  31562  ccfldsrarelvec  31741  ccfldextdgrr  31742  iistmd  31852  xrge0iifmhm  31889  xrge0pluscn  31890  zringnm  31908  cnzh  31920  rezh  31921  cnrrext  31960  esumpfinvallem  32042  cnpwstotbnd  35955  repwsmet  35992  rrnequiv  35993  cnsrexpcl  40990  fsumcnsrcl  40991  cnsrplycl  40992  rngunsnply  40998  proot1ex  41026  deg1mhm  41032  amgm2d  41809  amgm3d  41810  amgm4d  41811  binomcxplemdvbinom  41971  binomcxplemnotnn0  41974  sge0tsms  43918  cnfldsrngbas  45323  2zrng0  45496  aacllem  46505  amgmwlem  46506  amgmlemALT  46507  amgmw2d  46508