Theorem cnfldbas 21733

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21730. (Revised by GG, 31-Mar-2025.) Revise df-cnfld 21730. (Revised by Thierry Arnoux, 9-Nov-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11320	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21731	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;21⟩
3		baseid 17434	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4777	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4179	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4179	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(EuclF‘ndx), abs⟩}))
7		df-cnfld 21730	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(EuclF‘ndx), abs⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3962	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3922	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3922	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17425	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4840   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  ℂcc 11237  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   ≤ cle 11383   − cmin 11580  2c2 12437  ;cdc 12854  ∗ccj 15306  abscabs 15444  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  *_𝑟cstv 17474  TopSetcts 17478  lecple 17479  distcds 17481  UnifSetcunif 17482  EuclFceuf 17485  MetOpencmopn 21719  metUnifcmetu 21720  ℂ_fldccnfld 21729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-cnfld 21730

This theorem is used by:  cncrng  21751  cnfld0  21754  cnfld1  21755  cnfldneg  21756  cnfldplusf  21757  cnfldsub  21758  cndrng  21759  cnflddiv  21760  cnfldinv  21761  cnfldmulg  21762  cnfldexp  21763  cnsrng  21764  cnsubmlem  21773  cnsubglem  21774  cnsubrglem  21775  cnsubdrglem  21776  fsumcnsrcl  21777  cnsrexpcl  21778  absabv  21784  cnsubrg  21787  cnmgpabl  21788  cnmgpid  21789  cnmsubglem  21790  gzrngunit  21793  gsumfsum  21794  regsumfsum  21795  expmhm  21796  nn0srg  21797  rge0srg  21798  zringbas  21813  zring0  21819  zringunit  21827  expghm  21836  fermltlchr  21890  cnmsgnbas  21939  psgninv  21943  zrhpsgnmhm  21945  rebase  21967  re0g  21973  regsumsupp  21983  cnfldms  25149  cnfldnm  25152  cnfldtopn  25155  cnfldtopon  25156  clmsscn  25455  cnlmod  25516  cnstrcvs  25517  cnrbas  25518  cncvs  25521  cnncvsaddassdemo  25539  cnncvsmulassdemo  25540  cnncvsabsnegdemo  25541  cphsubrglem  25553  cphreccllem  25554  cphdivcl  25558  cphabscl  25561  cphsqrtcl2  25562  cphsqrtcl3  25563  cphipcl  25567  4cphipval2  25618  cncms  25731  cnflduss  25732  cnfldcusp  25733  resscdrg  25734  ishl2  25746  recms  25756  tdeglem3  26432  tdeglem4  26433  tdeglem2  26434  plypf1  26586  dvply2g  26661  dvply2  26662  dvnply  26664  cnsrplycl  26692  rngunsnply  26693  taylfvallem  26742  taylf  26745  tayl0  26746  taylpfval  26749  taylply2  26752  taylply  26753  efgh  26926  efabl  26935  efsubm  26936  jensenlem1  27371  jensenlem2  27372  jensen  27373  amgmlem  27374  amgm  27375  wilthlem2  27453  wilthlem3  27454  dchrelbas2  27621  dchrelbas3  27622  dchrn0  27634  dchrghm  27640  dchrabs  27644  sum2dchr  27658  lgseisenlem4  27762  qrngbas  28003  cchhllem  29521  cffldtocusgr  30085  gsumzrsum  33725  psgnid  33757  cnmsgn0g  33806  altgnsg  33809  1fldgenq  33988  gsumind  34010  xrge0slmod  34013  znfermltl  34026  psrmonprod  34295  esplyfvaln  34317  ccfldsrarelvec  34414  ccfldextdgrr  34415  constrelextdg2  34490  constrextdg2lem  34491  constrext2chnlem  34493  constrcon  34517  constrsdrg  34518  2sqr3minply  34523  cos9thpiminplylem6  34530  cos9thpiminply  34531  iistmd  34645  xrge0iifmhm  34682  xrge0pluscn  34683  zringnm  34701  cnzh  34711  rezh  34712  cnrrext  34753  esumpfinvallem  34817  cnpwstotbnd  38997  repwsmet  39034  rrnequiv  39035  proot1ex  44459  deg1mhm  44463  amgm2d  45459  amgm3d  45460  amgm4d  45461  binomcxplemdvbinom  45598  binomcxplemnotnn0  45601  sge0tsms  47663  cnfldsrngbas  49531  2zrng0  49614  subrgccsscc  49704  azssid  49718  azcn  49720  aacllem  51367  amgmwlem  51415  amgmlemALT  51416  amgmw2d  51417