Theorem cnfldbas 21313

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21310. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11107	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21311	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17139	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4772	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4130	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4130	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21310	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3983	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3943	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3943	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17130	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899  {csn 4580  {ctp 4584  ⟨cop 4586   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   ≤ cle 11167   − cmin 11364  3c3 12201  ;cdc 12607  ∗ccj 15019  abscabs 15157  ndxcnx 17120  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  *_𝑟cstv 17179  TopSetcts 17183  lecple 17184  distcds 17186  UnifSetcunif 17187  MetOpencmopn 21299  metUnifcmetu 21300  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-cnfld 21310

This theorem is referenced by:  cncrng  21343  cncrngOLD  21344  cnfld0  21347  cnfld1  21348  cnfld1OLD  21349  cnfldneg  21350  cnfldplusf  21351  cnfldsub  21352  cndrng  21353  cndrngOLD  21354  cnflddiv  21355  cnflddivOLD  21356  cnfldinv  21357  cnfldmulg  21358  cnfldexp  21359  cnsrng  21360  cnsubmlem  21369  cnsubglem  21370  cnsubrglem  21371  cnsubrglemOLD  21372  cnsubdrglem  21373  absabv  21379  cnsubrg  21382  cnmgpabl  21383  cnmgpid  21384  cnmsubglem  21385  gzrngunit  21388  gsumfsum  21389  regsumfsum  21390  expmhm  21391  nn0srg  21392  rge0srg  21393  zringbas  21408  zring0  21413  zringunit  21421  expghm  21430  fermltlchr  21484  cnmsgnbas  21533  psgninv  21537  zrhpsgnmhm  21539  rebase  21561  re0g  21567  regsumsupp  21577  cnfldms  24719  cnfldnm  24722  cnfldtopn  24725  cnfldtopon  24726  clmsscn  25035  cnlmod  25096  cnstrcvs  25097  cnrbas  25098  cncvs  25101  cnncvsaddassdemo  25119  cnncvsmulassdemo  25120  cnncvsabsnegdemo  25121  cphsubrglem  25133  cphreccllem  25134  cphdivcl  25138  cphabscl  25141  cphsqrtcl2  25142  cphsqrtcl3  25143  cphipcl  25147  4cphipval2  25198  cncms  25311  cnflduss  25312  cnfldcusp  25313  resscdrg  25314  ishl2  25326  recms  25336  tdeglem3  26020  tdeglem4  26021  tdeglem2  26022  plypf1  26173  dvply2g  26248  dvply2gOLD  26249  dvply2  26250  dvnply  26252  taylfvallem  26321  taylf  26324  tayl0  26325  taylpfval  26328  taylply2  26331  taylply2OLD  26332  taylply  26333  efgh  26506  efabl  26515  efsubm  26516  jensenlem1  26953  jensenlem2  26954  jensen  26955  amgmlem  26956  amgm  26957  wilthlem2  27035  wilthlem3  27036  dchrelbas2  27204  dchrelbas3  27205  dchrn0  27217  dchrghm  27223  dchrabs  27227  sum2dchr  27241  lgseisenlem4  27345  qrngbas  27586  cchhllem  28959  cffldtocusgr  29520  cffldtocusgrOLD  29521  gsumzrsum  33148  psgnid  33179  cnmsgn0g  33228  altgnsg  33231  1fldgenq  33404  gsumind  33426  xrge0slmod  33429  znfermltl  33447  ccfldsrarelvec  33828  ccfldextdgrr  33829  constrelextdg2  33904  constrextdg2lem  33905  constrext2chnlem  33907  constrcon  33931  constrsdrg  33932  2sqr3minply  33937  cos9thpiminplylem6  33944  cos9thpiminply  33945  iistmd  34059  xrge0iifmhm  34096  xrge0pluscn  34097  zringnm  34115  cnzh  34125  rezh  34126  cnrrext  34167  esumpfinvallem  34231  cnpwstotbnd  37998  repwsmet  38035  rrnequiv  38036  cnsrexpcl  43417  fsumcnsrcl  43418  cnsrplycl  43419  rngunsnply  43421  proot1ex  43448  deg1mhm  43452  amgm2d  44449  amgm3d  44450  amgm4d  44451  binomcxplemdvbinom  44604  binomcxplemnotnn0  44607  sge0tsms  46634  cnfldsrngbas  48417  2zrng0  48500  aacllem  50056  amgmwlem  50057  amgmlemALT  50058  amgmw2d  50059