Theorem cnfldbas 21325

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21322. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11119	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21323	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17151	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4774	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4132	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4132	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21322	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3985	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3945	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3945	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17142	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901  {csn 4582  {ctp 4586  ⟨cop 4588   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   − cmin 11376  3c3 12213  ;cdc 12619  ∗ccj 15031  abscabs 15169  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  *_𝑟cstv 17191  TopSetcts 17195  lecple 17196  distcds 17198  UnifSetcunif 17199  MetOpencmopn 21311  metUnifcmetu 21312  ℂ_fldccnfld 21321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-cnfld 21322

This theorem is referenced by:  cncrng  21355  cncrngOLD  21356  cnfld0  21359  cnfld1  21360  cnfld1OLD  21361  cnfldneg  21362  cnfldplusf  21363  cnfldsub  21364  cndrng  21365  cndrngOLD  21366  cnflddiv  21367  cnflddivOLD  21368  cnfldinv  21369  cnfldmulg  21370  cnfldexp  21371  cnsrng  21372  cnsubmlem  21381  cnsubglem  21382  cnsubrglem  21383  cnsubrglemOLD  21384  cnsubdrglem  21385  absabv  21391  cnsubrg  21394  cnmgpabl  21395  cnmgpid  21396  cnmsubglem  21397  gzrngunit  21400  gsumfsum  21401  regsumfsum  21402  expmhm  21403  nn0srg  21404  rge0srg  21405  zringbas  21420  zring0  21425  zringunit  21433  expghm  21442  fermltlchr  21496  cnmsgnbas  21545  psgninv  21549  zrhpsgnmhm  21551  rebase  21573  re0g  21579  regsumsupp  21589  cnfldms  24731  cnfldnm  24734  cnfldtopn  24737  cnfldtopon  24738  clmsscn  25047  cnlmod  25108  cnstrcvs  25109  cnrbas  25110  cncvs  25113  cnncvsaddassdemo  25131  cnncvsmulassdemo  25132  cnncvsabsnegdemo  25133  cphsubrglem  25145  cphreccllem  25146  cphdivcl  25150  cphabscl  25153  cphsqrtcl2  25154  cphsqrtcl3  25155  cphipcl  25159  4cphipval2  25210  cncms  25323  cnflduss  25324  cnfldcusp  25325  resscdrg  25326  ishl2  25338  recms  25348  tdeglem3  26032  tdeglem4  26033  tdeglem2  26034  plypf1  26185  dvply2g  26260  dvply2gOLD  26261  dvply2  26262  dvnply  26264  taylfvallem  26333  taylf  26336  tayl0  26337  taylpfval  26340  taylply2  26343  taylply2OLD  26344  taylply  26345  efgh  26518  efabl  26527  efsubm  26528  jensenlem1  26965  jensenlem2  26966  jensen  26967  amgmlem  26968  amgm  26969  wilthlem2  27047  wilthlem3  27048  dchrelbas2  27216  dchrelbas3  27217  dchrn0  27229  dchrghm  27235  dchrabs  27239  sum2dchr  27253  lgseisenlem4  27357  qrngbas  27598  cchhllem  28971  cffldtocusgr  29532  cffldtocusgrOLD  29533  gsumzrsum  33159  psgnid  33191  cnmsgn0g  33240  altgnsg  33243  1fldgenq  33416  gsumind  33438  xrge0slmod  33441  znfermltl  33459  psrmonprod  33729  esplyfvaln  33751  ccfldsrarelvec  33849  ccfldextdgrr  33850  constrelextdg2  33925  constrextdg2lem  33926  constrext2chnlem  33928  constrcon  33952  constrsdrg  33953  2sqr3minply  33958  cos9thpiminplylem6  33965  cos9thpiminply  33966  iistmd  34080  xrge0iifmhm  34117  xrge0pluscn  34118  zringnm  34136  cnzh  34146  rezh  34147  cnrrext  34188  esumpfinvallem  34252  cnpwstotbnd  38048  repwsmet  38085  rrnequiv  38086  cnsrexpcl  43522  fsumcnsrcl  43523  cnsrplycl  43524  rngunsnply  43526  proot1ex  43553  deg1mhm  43557  amgm2d  44554  amgm3d  44555  amgm4d  44556  binomcxplemdvbinom  44709  binomcxplemnotnn0  44712  sge0tsms  46738  cnfldsrngbas  48521  2zrng0  48604  aacllem  50160  amgmwlem  50161  amgmlemALT  50162  amgmw2d  50163