Theorem cnfldbas 21385

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21382. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11233	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21383	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17247	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4820	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4187	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4187	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21382	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4032	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 4004	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 4004	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17237	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ∪ cun 3960  {csn 4630  {ctp 4634  ⟨cop 4636   ∘ ccom 5692  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  ℂcc 11150  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   ≤ cle 11293   − cmin 11489  3c3 12319  ;cdc 12730  ∗ccj 15131  abscabs 15269  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  *_𝑟cstv 17299  TopSetcts 17303  lecple 17304  distcds 17306  UnifSetcunif 17307  MetOpencmopn 21371  metUnifcmetu 21372  ℂ_fldccnfld 21381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-cnfld 21382

This theorem is referenced by:  cncrng  21418  cncrngOLD  21419  cnfld0  21422  cnfld1  21423  cnfld1OLD  21424  cnfldneg  21425  cnfldplusf  21426  cnfldsub  21427  cndrng  21428  cndrngOLD  21429  cnflddiv  21430  cnflddivOLD  21431  cnfldinv  21432  cnfldmulg  21433  cnfldexp  21434  cnsrng  21435  cnsubmlem  21449  cnsubglem  21450  cnsubrglem  21451  cnsubrglemOLD  21452  cnsubdrglem  21453  absabv  21459  cnsubrg  21462  cnmgpabl  21463  cnmgpid  21464  cnmsubglem  21465  gzrngunit  21468  gsumfsum  21469  regsumfsum  21470  expmhm  21471  nn0srg  21472  rge0srg  21473  zringbas  21481  zring0  21486  zringunit  21494  expghm  21503  fermltlchr  21561  cnmsgnbas  21613  psgninv  21617  zrhpsgnmhm  21619  rebase  21641  re0g  21647  regsumsupp  21657  cnfldms  24811  cnfldnm  24814  cnfldtopn  24817  cnfldtopon  24818  clmsscn  25125  cnlmod  25186  cnstrcvs  25187  cnrbas  25188  cncvs  25191  cnncvsaddassdemo  25210  cnncvsmulassdemo  25211  cnncvsabsnegdemo  25212  cphsubrglem  25224  cphreccllem  25225  cphdivcl  25229  cphabscl  25232  cphsqrtcl2  25233  cphsqrtcl3  25234  cphipcl  25238  4cphipval2  25289  cncms  25402  cnflduss  25403  cnfldcusp  25404  resscdrg  25405  ishl2  25417  recms  25427  tdeglem3  26112  tdeglem4  26113  tdeglem2  26114  plypf1  26265  dvply2g  26340  dvply2gOLD  26341  dvply2  26342  dvnply  26344  taylfvallem  26413  taylf  26416  tayl0  26417  taylpfval  26420  taylply2  26423  taylply2OLD  26424  taylply  26425  efgh  26597  efabl  26606  efsubm  26607  jensenlem1  27044  jensenlem2  27045  jensen  27046  amgmlem  27047  amgm  27048  wilthlem2  27126  wilthlem3  27127  dchrelbas2  27295  dchrelbas3  27296  dchrn0  27308  dchrghm  27314  dchrabs  27318  sum2dchr  27332  lgseisenlem4  27436  qrngbas  27677  cchhllem  28915  cchhllemOLD  28916  cffldtocusgr  29478  cffldtocusgrOLD  29479  gsumzrsum  33044  psgnid  33099  cnmsgn0g  33148  altgnsg  33151  1fldgenq  33303  xrge0slmod  33355  znfermltl  33373  ccfldsrarelvec  33695  ccfldextdgrr  33696  constrelextdg2  33751  2sqr3minply  33752  iistmd  33862  xrge0iifmhm  33899  xrge0pluscn  33900  zringnm  33918  cnzh  33930  rezh  33931  cnrrext  33972  esumpfinvallem  34054  cnpwstotbnd  37783  repwsmet  37820  rrnequiv  37821  cnsrexpcl  43153  fsumcnsrcl  43154  cnsrplycl  43155  rngunsnply  43157  proot1ex  43184  deg1mhm  43188  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  binomcxplemdvbinom  44348  binomcxplemnotnn0  44351  sge0tsms  46335  cnfldsrngbas  48004  2zrng0  48087  aacllem  49031  amgmwlem  49032  amgmlemALT  49033  amgmw2d  49034