Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldbas 20099
 Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldbas ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas
StepHypRef Expression
1 cnex 10611 . 2 ℂ ∈ V
2 cnfldstr 20097 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 baseid 16539 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
4 snsstp1 4712 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 4102 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 4102 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 20096 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtrri 3955 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3927 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3927 . . 3 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 16527 . 2 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 ℂ = (Base‘ℂfld)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∪ cun 3882  {csn 4528  {ctp 4532  ⟨cop 4534   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  ℂcc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   ≤ cle 10669   − cmin 10863  3c3 11685  ;cdc 12090  ∗ccj 14451  abscabs 14589  ndxcnx 16476  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  *𝑟cstv 16563  TopSetcts 16567  lecple 16568  distcds 16570  UnifSetcunif 16571  MetOpencmopn 20085  metUnifcmetu 20086  ℂfldccnfld 20095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-cnfld 20096 This theorem is referenced by:  cncrng  20116  cnfld0  20119  cnfld1  20120  cnfldneg  20121  cnfldplusf  20122  cnfldsub  20123  cndrng  20124  cnflddiv  20125  cnfldinv  20126  cnfldmulg  20127  cnfldexp  20128  cnsrng  20129  cnsubmlem  20143  cnsubglem  20144  cnsubrglem  20145  cnsubdrglem  20146  absabv  20152  cnsubrg  20155  cnmgpabl  20156  cnmgpid  20157  cnmsubglem  20158  gzrngunit  20161  gsumfsum  20162  regsumfsum  20163  expmhm  20164  nn0srg  20165  rge0srg  20166  zringbas  20173  zring0  20177  zringunit  20185  expghm  20193  cnmsgnbas  20271  psgninv  20275  zrhpsgnmhm  20277  rebase  20299  re0g  20305  regsumsupp  20315  cnfldms  23385  cnfldnm  23388  cnfldtopn  23391  cnfldtopon  23392  clmsscn  23688  cnlmod  23749  cnstrcvs  23750  cnrbas  23751  cncvs  23754  cnncvsaddassdemo  23772  cnncvsmulassdemo  23773  cnncvsabsnegdemo  23774  cphsubrglem  23786  cphreccllem  23787  cphdivcl  23791  cphabscl  23794  cphsqrtcl2  23795  cphsqrtcl3  23796  cphipcl  23800  4cphipval2  23850  cncms  23963  cnflduss  23964  cnfldcusp  23965  resscdrg  23966  ishl2  23978  recms  23988  tdeglem3  24664  tdeglem4  24665  tdeglem2  24666  plypf1  24813  dvply2g  24885  dvply2  24886  dvnply  24888  taylfvallem  24957  taylf  24960  tayl0  24961  taylpfval  24964  taylply2  24967  taylply  24968  efgh  25137  efabl  25146  efsubm  25147  jensenlem1  25576  jensenlem2  25577  jensen  25578  amgmlem  25579  amgm  25580  wilthlem2  25658  wilthlem3  25659  dchrelbas2  25825  dchrelbas3  25826  dchrn0  25838  dchrghm  25844  dchrabs  25848  sum2dchr  25862  lgseisenlem4  25966  qrngbas  26207  cchhllem  26685  cffldtocusgr  27241  psgnid  30793  cnmsgn0g  30842  altgnsg  30845  xrge0slmod  30972  ccfldsrarelvec  31148  ccfldextdgrr  31149  iistmd  31259  xrge0iifmhm  31296  xrge0pluscn  31297  zringnm  31315  cnzh  31325  rezh  31326  cnrrext  31365  esumpfinvallem  31447  cnpwstotbnd  35234  repwsmet  35271  rrnequiv  35272  cnsrexpcl  40102  fsumcnsrcl  40103  cnsrplycl  40104  rngunsnply  40110  proot1ex  40138  deg1mhm  40144  amgm2d  40897  amgm3d  40898  amgm4d  40899  binomcxplemdvbinom  41050  binomcxplemnotnn0  41053  sge0tsms  43012  cnfldsrngbas  44382  2zrng0  44555  aacllem  45322  amgmwlem  45323  amgmlemALT  45324  amgmw2d  45325
 Copyright terms: Public domain W3C validator