Theorem cnfldbas 20954

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11193	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 20952	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17149	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4819	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4172	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4172	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20951	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4019	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3991	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3991	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17139	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  ℂcc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   ≤ cle 11251   − cmin 11446  3c3 12270  ;cdc 12679  ∗ccj 15045  abscabs 15183  ndxcnx 17128  Basecbs 17146  +_gcplusg 17199  ._rcmulr 17200  *_𝑟cstv 17201  TopSetcts 17205  lecple 17206  distcds 17208  UnifSetcunif 17209  MetOpencmopn 20940  metUnifcmetu 20941  ℂ_fldccnfld 20950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-cnfld 20951

This theorem is referenced by:  cncrng  20972  cnfld0  20975  cnfld1  20976  cnfldneg  20977  cnfldplusf  20978  cnfldsub  20979  cndrng  20980  cnflddiv  20981  cnfldinv  20982  cnfldmulg  20983  cnfldexp  20984  cnsrng  20985  cnsubmlem  20999  cnsubglem  21000  cnsubrglem  21001  cnsubdrglem  21002  absabv  21008  cnsubrg  21011  cnmgpabl  21012  cnmgpid  21013  cnmsubglem  21014  gzrngunit  21017  gsumfsum  21018  regsumfsum  21019  expmhm  21020  nn0srg  21021  rge0srg  21022  zringbas  21029  zring0  21034  zringunit  21042  expghm  21051  cnmsgnbas  21137  psgninv  21141  zrhpsgnmhm  21143  rebase  21165  re0g  21171  regsumsupp  21181  cnfldms  24299  cnfldnm  24302  cnfldtopn  24305  cnfldtopon  24306  clmsscn  24602  cnlmod  24663  cnstrcvs  24664  cnrbas  24665  cncvs  24668  cnncvsaddassdemo  24687  cnncvsmulassdemo  24688  cnncvsabsnegdemo  24689  cphsubrglem  24701  cphreccllem  24702  cphdivcl  24706  cphabscl  24709  cphsqrtcl2  24710  cphsqrtcl3  24711  cphipcl  24715  4cphipval2  24766  cncms  24879  cnflduss  24880  cnfldcusp  24881  resscdrg  24882  ishl2  24894  recms  24904  tdeglem3  25582  tdeglem3OLD  25583  tdeglem4  25584  tdeglem4OLD  25585  tdeglem2  25586  plypf1  25733  dvply2g  25805  dvply2  25806  dvnply  25808  taylfvallem  25877  taylf  25880  tayl0  25881  taylpfval  25884  taylply2  25887  taylply  25888  efgh  26057  efabl  26066  efsubm  26067  jensenlem1  26498  jensenlem2  26499  jensen  26500  amgmlem  26501  amgm  26502  wilthlem2  26580  wilthlem3  26581  dchrelbas2  26747  dchrelbas3  26748  dchrn0  26760  dchrghm  26766  dchrabs  26770  sum2dchr  26784  lgseisenlem4  26888  qrngbas  27129  cchhllem  28182  cchhllemOLD  28183  cffldtocusgr  28742  psgnid  32297  cnmsgn0g  32346  altgnsg  32349  1fldgenq  32453  xrge0slmod  32504  fermltlchr  32523  znfermltl  32524  ccfldsrarelvec  32805  ccfldextdgrr  32806  iistmd  32951  xrge0iifmhm  32988  xrge0pluscn  32989  zringnm  33007  cnzh  33019  rezh  33020  cnrrext  33059  esumpfinvallem  33141  gg-cffldtocusgr  35268  gg-cncrng  35269  gg-cnfld1  35270  cnpwstotbnd  36751  repwsmet  36788  rrnequiv  36789  cnsrexpcl  41989  fsumcnsrcl  41990  cnsrplycl  41991  rngunsnply  41997  proot1ex  42025  deg1mhm  42031  amgm2d  43032  amgm3d  43033  amgm4d  43034  binomcxplemdvbinom  43194  binomcxplemnotnn0  43197  sge0tsms  45175  cnfldsrngbas  46618  2zrng0  46915  aacllem  47926  amgmwlem  47927  amgmlemALT  47928  amgmw2d  47929