Theorem cnfldbas 21391

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21388. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11265	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21389	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17261	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4841	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4201	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4201	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21388	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4046	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 4018	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 4018	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17251	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974  {csn 4648  {ctp 4652  ⟨cop 4654   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520  3c3 12349  ;cdc 12758  ∗ccj 15145  abscabs 15283  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  *_𝑟cstv 17313  TopSetcts 17317  lecple 17318  distcds 17320  UnifSetcunif 17321  MetOpencmopn 21377  metUnifcmetu 21378  ℂ_fldccnfld 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-cnfld 21388

This theorem is referenced by:  cncrng  21424  cncrngOLD  21425  cnfld0  21428  cnfld1  21429  cnfld1OLD  21430  cnfldneg  21431  cnfldplusf  21432  cnfldsub  21433  cndrng  21434  cndrngOLD  21435  cnflddiv  21436  cnflddivOLD  21437  cnfldinv  21438  cnfldmulg  21439  cnfldexp  21440  cnsrng  21441  cnsubmlem  21455  cnsubglem  21456  cnsubrglem  21457  cnsubrglemOLD  21458  cnsubdrglem  21459  absabv  21465  cnsubrg  21468  cnmgpabl  21469  cnmgpid  21470  cnmsubglem  21471  gzrngunit  21474  gsumfsum  21475  regsumfsum  21476  expmhm  21477  nn0srg  21478  rge0srg  21479  zringbas  21487  zring0  21492  zringunit  21500  expghm  21509  fermltlchr  21567  cnmsgnbas  21619  psgninv  21623  zrhpsgnmhm  21625  rebase  21647  re0g  21653  regsumsupp  21663  cnfldms  24817  cnfldnm  24820  cnfldtopn  24823  cnfldtopon  24824  clmsscn  25131  cnlmod  25192  cnstrcvs  25193  cnrbas  25194  cncvs  25197  cnncvsaddassdemo  25216  cnncvsmulassdemo  25217  cnncvsabsnegdemo  25218  cphsubrglem  25230  cphreccllem  25231  cphdivcl  25235  cphabscl  25238  cphsqrtcl2  25239  cphsqrtcl3  25240  cphipcl  25244  4cphipval2  25295  cncms  25408  cnflduss  25409  cnfldcusp  25410  resscdrg  25411  ishl2  25423  recms  25433  tdeglem3  26118  tdeglem4  26119  tdeglem2  26120  plypf1  26271  dvply2g  26344  dvply2gOLD  26345  dvply2  26346  dvnply  26348  taylfvallem  26417  taylf  26420  tayl0  26421  taylpfval  26424  taylply2  26427  taylply2OLD  26428  taylply  26429  efgh  26601  efabl  26610  efsubm  26611  jensenlem1  27048  jensenlem2  27049  jensen  27050  amgmlem  27051  amgm  27052  wilthlem2  27130  wilthlem3  27131  dchrelbas2  27299  dchrelbas3  27300  dchrn0  27312  dchrghm  27318  dchrabs  27322  sum2dchr  27336  lgseisenlem4  27440  qrngbas  27681  cchhllem  28919  cchhllemOLD  28920  cffldtocusgr  29482  cffldtocusgrOLD  29483  psgnid  33090  cnmsgn0g  33139  altgnsg  33142  1fldgenq  33289  xrge0slmod  33341  znfermltl  33359  ccfldsrarelvec  33681  ccfldextdgrr  33682  constrelextdg2  33737  2sqr3minply  33738  iistmd  33848  xrge0iifmhm  33885  xrge0pluscn  33886  zringnm  33904  cnzh  33916  rezh  33917  cnrrext  33956  esumpfinvallem  34038  cnpwstotbnd  37757  repwsmet  37794  rrnequiv  37795  cnsrexpcl  43122  fsumcnsrcl  43123  cnsrplycl  43124  rngunsnply  43130  proot1ex  43157  deg1mhm  43161  amgm2d  44160  amgm3d  44161  amgm4d  44162  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemnotnn0  44325  sge0tsms  46301  cnfldsrngbas  47884  2zrng0  47967  aacllem  48895  amgmwlem  48896  amgmlemALT  48897  amgmw2d  48898