Theorem cnfldbas 21491

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21488. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11177	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21489	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17268	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4783	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4139	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4139	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21488	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3994	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3954	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3954	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17259	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4591  {ctp 4595  ⟨cop 4597   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   ≤ cle 11240   − cmin 11437  3c3 12292  ;cdc 12707  ∗ccj 15143  abscabs 15281  ndxcnx 17249  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307  *_𝑟cstv 17308  TopSetcts 17312  lecple 17313  distcds 17315  UnifSetcunif 17316  MetOpencmopn 21477  metUnifcmetu 21478  ℂ_fldccnfld 21487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-cnfld 21488

This theorem is referenced by:  cncrng  21508  cnfld0  21511  cnfld1  21512  cnfldneg  21513  cnfldplusf  21514  cnfldsub  21515  cndrng  21516  cnflddiv  21517  cnfldinv  21518  cnfldmulg  21519  cnfldexp  21520  cnsrng  21521  cnsubmlem  21530  cnsubglem  21531  cnsubrglem  21532  cnsubdrglem  21533  absabv  21539  cnsubrg  21542  cnmgpabl  21543  cnmgpid  21544  cnmsubglem  21545  gzrngunit  21548  gsumfsum  21549  regsumfsum  21550  expmhm  21551  nn0srg  21552  rge0srg  21553  zringbas  21568  zring0  21573  zringunit  21581  expghm  21590  fermltlchr  21644  cnmsgnbas  21693  psgninv  21697  zrhpsgnmhm  21699  rebase  21721  re0g  21727  regsumsupp  21737  cnfldms  24897  cnfldnm  24900  cnfldtopn  24903  cnfldtopon  24904  clmsscn  25203  cnlmod  25264  cnstrcvs  25265  cnrbas  25266  cncvs  25269  cnncvsaddassdemo  25287  cnncvsmulassdemo  25288  cnncvsabsnegdemo  25289  cphsubrglem  25301  cphreccllem  25302  cphdivcl  25306  cphabscl  25309  cphsqrtcl2  25310  cphsqrtcl3  25311  cphipcl  25315  4cphipval2  25366  cncms  25479  cnflduss  25480  cnfldcusp  25481  resscdrg  25482  ishl2  25494  recms  25504  tdeglem3  26181  tdeglem4  26182  tdeglem2  26183  plypf1  26334  dvply2g  26411  dvply2  26412  dvnply  26414  taylfvallem  26483  taylf  26486  tayl0  26487  taylpfval  26490  taylply2  26493  taylply  26494  efgh  26668  efabl  26677  efsubm  26678  jensenlem1  27113  jensenlem2  27114  jensen  27115  amgmlem  27116  amgm  27117  wilthlem2  27195  wilthlem3  27196  dchrelbas2  27363  dchrelbas3  27364  dchrn0  27376  dchrghm  27382  dchrabs  27386  sum2dchr  27400  lgseisenlem4  27504  qrngbas  27745  cchhllem  29173  cffldtocusgr  29734  gsumzrsum  33322  psgnid  33354  cnmsgn0g  33403  altgnsg  33406  1fldgenq  33582  gsumind  33604  xrge0slmod  33607  znfermltl  33620  psrmonprod  33883  esplyfvaln  33905  ccfldsrarelvec  34002  ccfldextdgrr  34003  constrelextdg2  34078  constrextdg2lem  34079  constrext2chnlem  34081  constrcon  34105  constrsdrg  34106  2sqr3minply  34111  cos9thpiminplylem6  34118  cos9thpiminply  34119  iistmd  34233  xrge0iifmhm  34270  xrge0pluscn  34271  zringnm  34289  cnzh  34299  rezh  34300  cnrrext  34341  esumpfinvallem  34405  cnpwstotbnd  38331  repwsmet  38368  rrnequiv  38369  cnsrexpcl  43777  fsumcnsrcl  43778  cnsrplycl  43779  rngunsnply  43781  proot1ex  43808  deg1mhm  43812  amgm2d  44809  amgm3d  44810  amgm4d  44811  binomcxplemdvbinom  44948  binomcxplemnotnn0  44951  sge0tsms  46979  cnfldsrngbas  48808  2zrng0  48891  aacllem  50457  amgmwlem  50458  amgmlemALT  50459  amgmw2d  50460