Theorem cnfldbas 20941

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11188	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 20939	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17144	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4819	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4172	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4172	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20938	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4019	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3991	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3991	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17134	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6541  ℂcc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   ≤ cle 11246   − cmin 11441  3c3 12265  ;cdc 12674  ∗ccj 15040  abscabs 15178  ndxcnx 17123  Basecbs 17141  +_gcplusg 17194  ._rcmulr 17195  *_𝑟cstv 17196  TopSetcts 17200  lecple 17201  distcds 17203  UnifSetcunif 17204  MetOpencmopn 20927  metUnifcmetu 20928  ℂ_fldccnfld 20937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-cnfld 20938

This theorem is referenced by:  cncrng  20959  cnfld0  20962  cnfld1  20963  cnfldneg  20964  cnfldplusf  20965  cnfldsub  20966  cndrng  20967  cnflddiv  20968  cnfldinv  20969  cnfldmulg  20970  cnfldexp  20971  cnsrng  20972  cnsubmlem  20986  cnsubglem  20987  cnsubrglem  20988  cnsubdrglem  20989  absabv  20995  cnsubrg  20998  cnmgpabl  20999  cnmgpid  21000  cnmsubglem  21001  gzrngunit  21004  gsumfsum  21005  regsumfsum  21006  expmhm  21007  nn0srg  21008  rge0srg  21009  zringbas  21016  zring0  21020  zringunit  21028  expghm  21037  cnmsgnbas  21123  psgninv  21127  zrhpsgnmhm  21129  rebase  21151  re0g  21157  regsumsupp  21167  cnfldms  24284  cnfldnm  24287  cnfldtopn  24290  cnfldtopon  24291  clmsscn  24587  cnlmod  24648  cnstrcvs  24649  cnrbas  24650  cncvs  24653  cnncvsaddassdemo  24672  cnncvsmulassdemo  24673  cnncvsabsnegdemo  24674  cphsubrglem  24686  cphreccllem  24687  cphdivcl  24691  cphabscl  24694  cphsqrtcl2  24695  cphsqrtcl3  24696  cphipcl  24700  4cphipval2  24751  cncms  24864  cnflduss  24865  cnfldcusp  24866  resscdrg  24867  ishl2  24879  recms  24889  tdeglem3  25567  tdeglem3OLD  25568  tdeglem4  25569  tdeglem4OLD  25570  tdeglem2  25571  plypf1  25718  dvply2g  25790  dvply2  25791  dvnply  25793  taylfvallem  25862  taylf  25865  tayl0  25866  taylpfval  25869  taylply2  25872  taylply  25873  efgh  26042  efabl  26051  efsubm  26052  jensenlem1  26481  jensenlem2  26482  jensen  26483  amgmlem  26484  amgm  26485  wilthlem2  26563  wilthlem3  26564  dchrelbas2  26730  dchrelbas3  26731  dchrn0  26743  dchrghm  26749  dchrabs  26753  sum2dchr  26767  lgseisenlem4  26871  qrngbas  27112  cchhllem  28134  cchhllemOLD  28135  cffldtocusgr  28694  psgnid  32244  cnmsgn0g  32293  altgnsg  32296  1fldgenq  32401  xrge0slmod  32452  fermltlchr  32467  znfermltl  32468  ccfldsrarelvec  32734  ccfldextdgrr  32735  iistmd  32871  xrge0iifmhm  32908  xrge0pluscn  32909  zringnm  32927  cnzh  32939  rezh  32940  cnrrext  32979  esumpfinvallem  33061  cnpwstotbnd  36654  repwsmet  36691  rrnequiv  36692  cnsrexpcl  41893  fsumcnsrcl  41894  cnsrplycl  41895  rngunsnply  41901  proot1ex  41929  deg1mhm  41935  amgm2d  42936  amgm3d  42937  amgm4d  42938  binomcxplemdvbinom  43098  binomcxplemnotnn0  43101  sge0tsms  45083  cnfldsrngbas  46526  2zrng0  46790  aacllem  47802  amgmwlem  47803  amgmlemALT  47804  amgmw2d  47805