Theorem cnfldbas 21268

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21265. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11149	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21266	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17182	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4780	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4141	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4141	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21265	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3996	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3956	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3956	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17173	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912  {csn 4589  {ctp 4593  ⟨cop 4595   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209   − cmin 11405  3c3 12242  ;cdc 12649  ∗ccj 15062  abscabs 15200  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  *_𝑟cstv 17222  TopSetcts 17226  lecple 17227  distcds 17229  UnifSetcunif 17230  MetOpencmopn 21254  metUnifcmetu 21255  ℂ_fldccnfld 21264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-cnfld 21265

This theorem is referenced by:  cncrng  21300  cncrngOLD  21301  cnfld0  21304  cnfld1  21305  cnfld1OLD  21306  cnfldneg  21307  cnfldplusf  21308  cnfldsub  21309  cndrng  21310  cndrngOLD  21311  cnflddiv  21312  cnflddivOLD  21313  cnfldinv  21314  cnfldmulg  21315  cnfldexp  21316  cnsrng  21317  cnsubmlem  21331  cnsubglem  21332  cnsubrglem  21333  cnsubrglemOLD  21334  cnsubdrglem  21335  absabv  21341  cnsubrg  21344  cnmgpabl  21345  cnmgpid  21346  cnmsubglem  21347  gzrngunit  21350  gsumfsum  21351  regsumfsum  21352  expmhm  21353  nn0srg  21354  rge0srg  21355  zringbas  21363  zring0  21368  zringunit  21376  expghm  21385  fermltlchr  21439  cnmsgnbas  21487  psgninv  21491  zrhpsgnmhm  21493  rebase  21515  re0g  21521  regsumsupp  21531  cnfldms  24663  cnfldnm  24666  cnfldtopn  24669  cnfldtopon  24670  clmsscn  24979  cnlmod  25040  cnstrcvs  25041  cnrbas  25042  cncvs  25045  cnncvsaddassdemo  25063  cnncvsmulassdemo  25064  cnncvsabsnegdemo  25065  cphsubrglem  25077  cphreccllem  25078  cphdivcl  25082  cphabscl  25085  cphsqrtcl2  25086  cphsqrtcl3  25087  cphipcl  25091  4cphipval2  25142  cncms  25255  cnflduss  25256  cnfldcusp  25257  resscdrg  25258  ishl2  25270  recms  25280  tdeglem3  25964  tdeglem4  25965  tdeglem2  25966  plypf1  26117  dvply2g  26192  dvply2gOLD  26193  dvply2  26194  dvnply  26196  taylfvallem  26265  taylf  26268  tayl0  26269  taylpfval  26272  taylply2  26275  taylply2OLD  26276  taylply  26277  efgh  26450  efabl  26459  efsubm  26460  jensenlem1  26897  jensenlem2  26898  jensen  26899  amgmlem  26900  amgm  26901  wilthlem2  26979  wilthlem3  26980  dchrelbas2  27148  dchrelbas3  27149  dchrn0  27161  dchrghm  27167  dchrabs  27171  sum2dchr  27185  lgseisenlem4  27289  qrngbas  27530  cchhllem  28814  cffldtocusgr  29374  cffldtocusgrOLD  29375  gsumzrsum  32999  psgnid  33054  cnmsgn0g  33103  altgnsg  33106  1fldgenq  33272  xrge0slmod  33319  znfermltl  33337  ccfldsrarelvec  33666  ccfldextdgrr  33667  constrelextdg2  33737  constrextdg2lem  33738  constrext2chnlem  33740  constrcon  33764  constrsdrg  33765  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem6  33777  cos9thpiminply  33778  iistmd  33892  xrge0iifmhm  33929  xrge0pluscn  33930  zringnm  33948  cnzh  33958  rezh  33959  cnrrext  34000  esumpfinvallem  34064  cnpwstotbnd  37791  repwsmet  37828  rrnequiv  37829  cnsrexpcl  43154  fsumcnsrcl  43155  cnsrplycl  43156  rngunsnply  43158  proot1ex  43185  deg1mhm  43189  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  binomcxplemdvbinom  44342  binomcxplemnotnn0  44345  sge0tsms  46378  cnfldsrngbas  48149  2zrng0  48232  aacllem  49790  amgmwlem  49791  amgmlemALT  49792  amgmw2d  49793