Theorem cnfldbas 20549

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10618	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 20547	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 16543	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4749	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4148	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4148	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20546	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4004	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3976	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3976	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16531	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∪ cun 3934  {csn 4567  {ctp 4571  ⟨cop 4573   ∘ ccom 5559  ‘cfv 6355  ℂcc 10535  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   ≤ cle 10676   − cmin 10870  3c3 11694  ;cdc 12099  ∗ccj 14455  abscabs 14593  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  *_𝑟cstv 16567  TopSetcts 16571  lecple 16572  distcds 16574  UnifSetcunif 16575  MetOpencmopn 20535  metUnifcmetu 20536  ℂ_fldccnfld 20545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-cnfld 20546

This theorem is referenced by:  cncrng  20566  cnfld0  20569  cnfld1  20570  cnfldneg  20571  cnfldplusf  20572  cnfldsub  20573  cndrng  20574  cnflddiv  20575  cnfldinv  20576  cnfldmulg  20577  cnfldexp  20578  cnsrng  20579  cnsubmlem  20593  cnsubglem  20594  cnsubrglem  20595  cnsubdrglem  20596  absabv  20602  cnsubrg  20605  cnmgpabl  20606  cnmgpid  20607  cnmsubglem  20608  gzrngunit  20611  gsumfsum  20612  regsumfsum  20613  expmhm  20614  nn0srg  20615  rge0srg  20616  zringbas  20623  zring0  20627  zringunit  20635  expghm  20643  cnmsgnbas  20722  psgninv  20726  zrhpsgnmhm  20728  rebase  20750  re0g  20756  regsumsupp  20766  cnfldms  23384  cnfldnm  23387  cnfldtopn  23390  cnfldtopon  23391  clmsscn  23683  cnlmod  23744  cnstrcvs  23745  cnrbas  23746  cncvs  23749  cnncvsaddassdemo  23767  cnncvsmulassdemo  23768  cnncvsabsnegdemo  23769  cphsubrglem  23781  cphreccllem  23782  cphdivcl  23786  cphabscl  23789  cphsqrtcl2  23790  cphsqrtcl3  23791  cphipcl  23795  4cphipval2  23845  cncms  23958  cnflduss  23959  cnfldcusp  23960  resscdrg  23961  ishl2  23973  recms  23983  tdeglem3  24653  tdeglem4  24654  tdeglem2  24655  plypf1  24802  dvply2g  24874  dvply2  24875  dvnply  24877  taylfvallem  24946  taylf  24949  tayl0  24950  taylpfval  24953  taylply2  24956  taylply  24957  efgh  25125  efabl  25134  efsubm  25135  jensenlem1  25564  jensenlem2  25565  jensen  25566  amgmlem  25567  amgm  25568  wilthlem2  25646  wilthlem3  25647  dchrelbas2  25813  dchrelbas3  25814  dchrn0  25826  dchrghm  25832  dchrabs  25836  sum2dchr  25850  lgseisenlem4  25954  qrngbas  26195  cchhllem  26673  cffldtocusgr  27229  psgnid  30739  cnmsgn0g  30788  altgnsg  30791  xrge0slmod  30917  ccfldsrarelvec  31056  ccfldextdgrr  31057  iistmd  31145  xrge0iifmhm  31182  xrge0pluscn  31183  zringnm  31201  cnzh  31211  rezh  31212  cnrrext  31251  esumpfinvallem  31333  cnpwstotbnd  35090  repwsmet  35127  rrnequiv  35128  cnsrexpcl  39785  fsumcnsrcl  39786  cnsrplycl  39787  rngunsnply  39793  proot1ex  39821  deg1mhm  39827  amgm2d  40571  amgm3d  40572  amgm4d  40573  binomcxplemdvbinom  40705  binomcxplemnotnn0  40708  sge0tsms  42682  cnfldsrngbas  44056  2zrng0  44229  aacllem  44922  amgmwlem  44923  amgmlemALT  44924  amgmw2d  44925