Theorem cnfldbas 20514

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10883	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 20512	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 16843	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4746	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4102	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4102	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20511	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3954	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3926	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3926	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16833	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  {csn 4558  {ctp 4562  ⟨cop 4564   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135  3c3 11959  ;cdc 12366  ∗ccj 14735  abscabs 14873  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  *_𝑟cstv 16890  TopSetcts 16894  lecple 16895  distcds 16897  UnifSetcunif 16898  MetOpencmopn 20500  metUnifcmetu 20501  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  cncrng  20531  cnfld0  20534  cnfld1  20535  cnfldneg  20536  cnfldplusf  20537  cnfldsub  20538  cndrng  20539  cnflddiv  20540  cnfldinv  20541  cnfldmulg  20542  cnfldexp  20543  cnsrng  20544  cnsubmlem  20558  cnsubglem  20559  cnsubrglem  20560  cnsubdrglem  20561  absabv  20567  cnsubrg  20570  cnmgpabl  20571  cnmgpid  20572  cnmsubglem  20573  gzrngunit  20576  gsumfsum  20577  regsumfsum  20578  expmhm  20579  nn0srg  20580  rge0srg  20581  zringbas  20588  zring0  20592  zringunit  20600  expghm  20609  cnmsgnbas  20695  psgninv  20699  zrhpsgnmhm  20701  rebase  20723  re0g  20729  regsumsupp  20739  cnfldms  23845  cnfldnm  23848  cnfldtopn  23851  cnfldtopon  23852  clmsscn  24148  cnlmod  24209  cnstrcvs  24210  cnrbas  24211  cncvs  24214  cnncvsaddassdemo  24232  cnncvsmulassdemo  24233  cnncvsabsnegdemo  24234  cphsubrglem  24246  cphreccllem  24247  cphdivcl  24251  cphabscl  24254  cphsqrtcl2  24255  cphsqrtcl3  24256  cphipcl  24260  4cphipval2  24311  cncms  24424  cnflduss  24425  cnfldcusp  24426  resscdrg  24427  ishl2  24439  recms  24449  tdeglem3  25127  tdeglem3OLD  25128  tdeglem4  25129  tdeglem4OLD  25130  tdeglem2  25131  plypf1  25278  dvply2g  25350  dvply2  25351  dvnply  25353  taylfvallem  25422  taylf  25425  tayl0  25426  taylpfval  25429  taylply2  25432  taylply  25433  efgh  25602  efabl  25611  efsubm  25612  jensenlem1  26041  jensenlem2  26042  jensen  26043  amgmlem  26044  amgm  26045  wilthlem2  26123  wilthlem3  26124  dchrelbas2  26290  dchrelbas3  26291  dchrn0  26303  dchrghm  26309  dchrabs  26313  sum2dchr  26327  lgseisenlem4  26431  qrngbas  26672  cchhllem  27157  cchhllemOLD  27158  cffldtocusgr  27717  psgnid  31266  cnmsgn0g  31315  altgnsg  31318  xrge0slmod  31450  znfermltl  31464  ccfldsrarelvec  31643  ccfldextdgrr  31644  iistmd  31754  xrge0iifmhm  31791  xrge0pluscn  31792  zringnm  31810  cnzh  31820  rezh  31821  cnrrext  31860  esumpfinvallem  31942  cnpwstotbnd  35882  repwsmet  35919  rrnequiv  35920  cnsrexpcl  40906  fsumcnsrcl  40907  cnsrplycl  40908  rngunsnply  40914  proot1ex  40942  deg1mhm  40948  amgm2d  41698  amgm3d  41699  amgm4d  41700  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemnotnn0  41863  sge0tsms  43808  cnfldsrngbas  45211  2zrng0  45384  aacllem  46391  amgmwlem  46392  amgmlemALT  46393  amgmw2d  46394