Theorem cnfldbas 21351

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21348. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11113	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21349	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17176	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4760	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4119	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4119	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21348	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3972	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3932	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3932	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17167	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  {csn 4568  {ctp 4572  ⟨cop 4574   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ℂcc 11030  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   ≤ cle 11174   − cmin 11371  3c3 12231  ;cdc 12638  ∗ccj 15052  abscabs 15190  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  *_𝑟cstv 17216  TopSetcts 17220  lecple 17221  distcds 17223  UnifSetcunif 17224  MetOpencmopn 21337  metUnifcmetu 21338  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cncrng  21381  cncrngOLD  21382  cnfld0  21385  cnfld1  21386  cnfld1OLD  21387  cnfldneg  21388  cnfldplusf  21389  cnfldsub  21390  cndrng  21391  cndrngOLD  21392  cnflddiv  21393  cnflddivOLD  21394  cnfldinv  21395  cnfldmulg  21396  cnfldexp  21397  cnsrng  21398  cnsubmlem  21407  cnsubglem  21408  cnsubrglem  21409  cnsubrglemOLD  21410  cnsubdrglem  21411  absabv  21417  cnsubrg  21420  cnmgpabl  21421  cnmgpid  21422  cnmsubglem  21423  gzrngunit  21426  gsumfsum  21427  regsumfsum  21428  expmhm  21429  nn0srg  21430  rge0srg  21431  zringbas  21446  zring0  21451  zringunit  21459  expghm  21468  fermltlchr  21522  cnmsgnbas  21571  psgninv  21575  zrhpsgnmhm  21577  rebase  21599  re0g  21605  regsumsupp  21615  cnfldms  24753  cnfldnm  24756  cnfldtopn  24759  cnfldtopon  24760  clmsscn  25059  cnlmod  25120  cnstrcvs  25121  cnrbas  25122  cncvs  25125  cnncvsaddassdemo  25143  cnncvsmulassdemo  25144  cnncvsabsnegdemo  25145  cphsubrglem  25157  cphreccllem  25158  cphdivcl  25162  cphabscl  25165  cphsqrtcl2  25166  cphsqrtcl3  25167  cphipcl  25171  4cphipval2  25222  cncms  25335  cnflduss  25336  cnfldcusp  25337  resscdrg  25338  ishl2  25350  recms  25360  tdeglem3  26037  tdeglem4  26038  tdeglem2  26039  plypf1  26190  dvply2g  26264  dvply2gOLD  26265  dvply2  26266  dvnply  26268  taylfvallem  26337  taylf  26340  tayl0  26341  taylpfval  26344  taylply2  26347  taylply2OLD  26348  taylply  26349  efgh  26521  efabl  26530  efsubm  26531  jensenlem1  26967  jensenlem2  26968  jensen  26969  amgmlem  26970  amgm  26971  wilthlem2  27049  wilthlem3  27050  dchrelbas2  27217  dchrelbas3  27218  dchrn0  27230  dchrghm  27236  dchrabs  27240  sum2dchr  27254  lgseisenlem4  27358  qrngbas  27599  cchhllem  28972  cffldtocusgr  29533  cffldtocusgrOLD  29534  gsumzrsum  33144  psgnid  33176  cnmsgn0g  33225  altgnsg  33228  1fldgenq  33401  gsumind  33423  xrge0slmod  33426  znfermltl  33444  psrmonprod  33714  esplyfvaln  33736  ccfldsrarelvec  33834  ccfldextdgrr  33835  constrelextdg2  33910  constrextdg2lem  33911  constrext2chnlem  33913  constrcon  33937  constrsdrg  33938  2sqr3minply  33943  cos9thpiminplylem6  33950  cos9thpiminply  33951  iistmd  34065  xrge0iifmhm  34102  xrge0pluscn  34103  zringnm  34121  cnzh  34131  rezh  34132  cnrrext  34173  esumpfinvallem  34237  cnpwstotbnd  38135  repwsmet  38172  rrnequiv  38173  cnsrexpcl  43614  fsumcnsrcl  43615  cnsrplycl  43616  rngunsnply  43618  proot1ex  43645  deg1mhm  43649  amgm2d  44646  amgm3d  44647  amgm4d  44648  binomcxplemdvbinom  44801  binomcxplemnotnn0  44804  sge0tsms  46829  cnfldsrngbas  48652  2zrng0  48735  aacllem  50291  amgmwlem  50292  amgmlemALT  50293  amgmw2d  50294