Theorem cnfldbas 21295

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21292. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11087	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 21293	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 17123	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4765	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩}
5		ssun1 4125	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4125	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21292	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3979	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3939	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3939	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17114	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  {csn 4573  {ctp 4577  ⟨cop 4579   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ℂcc 11004  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   ≤ cle 11147   − cmin 11344  3c3 12181  ;cdc 12588  ∗ccj 15003  abscabs 15141  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  *_𝑟cstv 17163  TopSetcts 17167  lecple 17168  distcds 17170  UnifSetcunif 17171  MetOpencmopn 21281  metUnifcmetu 21282  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by:  cncrng  21325  cncrngOLD  21326  cnfld0  21329  cnfld1  21330  cnfld1OLD  21331  cnfldneg  21332  cnfldplusf  21333  cnfldsub  21334  cndrng  21335  cndrngOLD  21336  cnflddiv  21337  cnflddivOLD  21338  cnfldinv  21339  cnfldmulg  21340  cnfldexp  21341  cnsrng  21342  cnsubmlem  21351  cnsubglem  21352  cnsubrglem  21353  cnsubrglemOLD  21354  cnsubdrglem  21355  absabv  21361  cnsubrg  21364  cnmgpabl  21365  cnmgpid  21366  cnmsubglem  21367  gzrngunit  21370  gsumfsum  21371  regsumfsum  21372  expmhm  21373  nn0srg  21374  rge0srg  21375  zringbas  21390  zring0  21395  zringunit  21403  expghm  21412  fermltlchr  21466  cnmsgnbas  21515  psgninv  21519  zrhpsgnmhm  21521  rebase  21543  re0g  21549  regsumsupp  21559  cnfldms  24690  cnfldnm  24693  cnfldtopn  24696  cnfldtopon  24697  clmsscn  25006  cnlmod  25067  cnstrcvs  25068  cnrbas  25069  cncvs  25072  cnncvsaddassdemo  25090  cnncvsmulassdemo  25091  cnncvsabsnegdemo  25092  cphsubrglem  25104  cphreccllem  25105  cphdivcl  25109  cphabscl  25112  cphsqrtcl2  25113  cphsqrtcl3  25114  cphipcl  25118  4cphipval2  25169  cncms  25282  cnflduss  25283  cnfldcusp  25284  resscdrg  25285  ishl2  25297  recms  25307  tdeglem3  25991  tdeglem4  25992  tdeglem2  25993  plypf1  26144  dvply2g  26219  dvply2gOLD  26220  dvply2  26221  dvnply  26223  taylfvallem  26292  taylf  26295  tayl0  26296  taylpfval  26299  taylply2  26302  taylply2OLD  26303  taylply  26304  efgh  26477  efabl  26486  efsubm  26487  jensenlem1  26924  jensenlem2  26925  jensen  26926  amgmlem  26927  amgm  26928  wilthlem2  27006  wilthlem3  27007  dchrelbas2  27175  dchrelbas3  27176  dchrn0  27188  dchrghm  27194  dchrabs  27198  sum2dchr  27212  lgseisenlem4  27316  qrngbas  27557  cchhllem  28865  cffldtocusgr  29425  cffldtocusgrOLD  29426  gsumzrsum  33039  psgnid  33066  cnmsgn0g  33115  altgnsg  33118  1fldgenq  33288  gsumind  33310  xrge0slmod  33313  znfermltl  33331  ccfldsrarelvec  33684  ccfldextdgrr  33685  constrelextdg2  33760  constrextdg2lem  33761  constrext2chnlem  33763  constrcon  33787  constrsdrg  33788  2sqr3minply  33793  cos9thpiminplylem6  33800  cos9thpiminply  33801  iistmd  33915  xrge0iifmhm  33952  xrge0pluscn  33953  zringnm  33971  cnzh  33981  rezh  33982  cnrrext  34023  esumpfinvallem  34087  cnpwstotbnd  37847  repwsmet  37884  rrnequiv  37885  cnsrexpcl  43268  fsumcnsrcl  43269  cnsrplycl  43270  rngunsnply  43272  proot1ex  43299  deg1mhm  43303  amgm2d  44301  amgm3d  44302  amgm4d  44303  binomcxplemdvbinom  44456  binomcxplemnotnn0  44459  sge0tsms  46488  cnfldsrngbas  48271  2zrng0  48354  aacllem  49912  amgmwlem  49913  amgmlemALT  49914  amgmw2d  49915