Theorem mddmdin0i 30801

Description: If dual modular implies modular whenever meet is zero, then dual modular implies modular for arbitrary lattice elements. This theorem is needed for the remark after Lemma 7 of [Holland] p. 1524 to hold. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mddmdin0.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mddmdin0.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mddmdin0.3	⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
mddmdin0i	⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem mddmdin0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inindir 4161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
2		mddmdin0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		mddmdin0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chincli 29830	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
5	4	chocini 29824	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = 0ℋ
6	1, 5	eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ
7		mddmdin0.3	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦)
8	4	choccli 29677	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ
9	2, 8	chincli 29830	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ
10	3, 8	chincli 29830	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ
11		breq1 5076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦))
12		ineq1 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦))
13	12	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ))
14	11, 13	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ)))
15		breq1 5076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 𝑀ℋ 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦))
16	14, 15	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦) ↔ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦)))
17		breq2 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
18		ineq2 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
19	18	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ))
20	17, 19	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ) ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ)))
21		breq2 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
22	20, 21	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦) ↔ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))))
23	16, 22	rspc2v 3569	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))))
24	9, 10, 23	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
25	7, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
26	6, 25	mpan2 688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
27	2, 3	dmdcompli 30800	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
28	2, 3	mdcompli 30799	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
29	26, 27, 28	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3885   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426   C_ℋ cch 29299  ⊥cort 29300  0_ℋc0h 29305   𝑀_ℋ cmd 29336   𝑀_ℋ^* cdmd 29337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cc 10201  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961  ax-hilex 29369  ax-hfvadd 29370  ax-hvcom 29371  ax-hvass 29372  ax-hv0cl 29373  ax-hvaddid 29374  ax-hfvmul 29375  ax-hvmulid 29376  ax-hvmulass 29377  ax-hvdistr1 29378  ax-hvdistr2 29379  ax-hvmul0 29380  ax-hfi 29449  ax-his1 29452  ax-his2 29453  ax-his3 29454  ax-his4 29455  ax-hcompl 29572

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-omul 8289  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-acn 9710  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-lm 22390  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cfil 24429  df-cau 24430  df-cmet 24431  df-grpo 28863  df-gid 28864  df-ginv 28865  df-gdiv 28866  df-ablo 28915  df-vc 28929  df-nv 28962  df-va 28965  df-ba 28966  df-sm 28967  df-0v 28968  df-vs 28969  df-nmcv 28970  df-ims 28971  df-dip 29071  df-ssp 29092  df-ph 29183  df-cbn 29233  df-hnorm 29338  df-hba 29339  df-hvsub 29341  df-hlim 29342  df-hcau 29343  df-sh 29577  df-ch 29591  df-oc 29622  df-ch0 29623  df-shs 29678  df-chj 29680  df-pjh 29765  df-cm 29953  df-md 30650  df-dmd 30651

This theorem is referenced by: (None)