Theorem mddmdin0i 32412

Description: If dual modular implies modular whenever meet is zero, then dual modular implies modular for arbitrary lattice elements. This theorem is needed for the remark after Lemma 7 of [Holland] p. 1524 to hold. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mddmdin0.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mddmdin0.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mddmdin0.3	⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
mddmdin0i	⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem mddmdin0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inindir 4211	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
2		mddmdin0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		mddmdin0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chincli 31441	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
5	4	chocini 31435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = 0ℋ
6	1, 5	eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ
7		mddmdin0.3	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦)
8	4	choccli 31288	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ
9	2, 8	chincli 31441	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ
10	3, 8	chincli 31441	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ
11		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦))
12		ineq1 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦))
13	12	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ))
14	11, 13	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ)))
15		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 𝑀ℋ 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦))
16	14, 15	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦) ↔ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦)))
17		breq2 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
18		ineq2 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
19	18	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ) ↔ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ)))
21		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
22	20, 21	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ 𝑦) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ 𝑦) ↔ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))))
23	16, 22	rspc2v 3612	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))))
24	9, 10, 23	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ ((𝑥 𝑀ℋ* 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = 0ℋ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝑦) → (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
25	7, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∩ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = 0ℋ) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
26	6, 25	mpan2 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
27	2, 3	dmdcompli 32411	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ* (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
28	2, 3	mdcompli 32410	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))) 𝑀ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
29	26, 27, 28	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∩ cin 3925   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531   C_ℋ cch 30910  ⊥cort 30911  0_ℋc0h 30916   𝑀_ℋ cmd 30947   𝑀_ℋ^* cdmd 30948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066  ax-hcompl 31183

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-lm 23167  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cfil 25207  df-cau 25208  df-cmet 25209  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-gdiv 30477  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-vs 30580  df-nmcv 30581  df-ims 30582  df-dip 30682  df-ssp 30703  df-ph 30794  df-cbn 30844  df-hnorm 30949  df-hba 30950  df-hvsub 30952  df-hlim 30953  df-hcau 30954  df-sh 31188  df-ch 31202  df-oc 31233  df-ch0 31234  df-shs 31289  df-chj 31291  df-pjh 31376  df-cm 31564  df-md 32261  df-dmd 32262

This theorem is referenced by: (None)