Theorem ceilhalfelfzo1 47361

Description: A positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is in the half-open range of positive integers up to the other integer. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem ceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilhalfelfzo1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2	1	eleq2i 2823	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
3		nnre 12127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12363	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
5	4	ceilcld 13742	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6		nnz 12484	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnn0 12383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		2nn 12193	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nn0ledivnn 13000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
11		ceille 13749	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
13		eluz2 12733	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁))
14	5, 6, 12, 13	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))))
15		fzoss2 13582	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
17	16	sseld 3928	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
18	2, 17	biimtrid 242	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  1c1 11002   ≤ cle 11142   / cdiv 11769  ℕcn 12120  2c2 12175  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ..^cfzo 13549  ⌈cceil 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-ceil 13692

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1lem  47362  gpg5nbgrvtx13starlem1  48102  gpg5nbgrvtx13starlem2  48103  gpg5nbgrvtx13starlem3  48104