Theorem ceilhalfelfzo1 47334

Description: A positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is in the half-open range of positive integers up to the other integer. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem ceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilhalfelfzo1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2	1	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
3		nnre 12154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12390	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
5	4	ceilcld 13766	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6		nnz 12511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnn0 12410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		2nn 12220	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nn0ledivnn 13027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
11		ceille 13773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
13		eluz2 12760	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁))
14	5, 6, 12, 13	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))))
15		fzoss2 13609	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
17	16	sseld 3936	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
18	2, 17	biimtrid 242	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  1c1 11029   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ..^cfzo 13576  ⌈cceil 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-ceil 13716

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1lem  47335  gpg5nbgrvtx13starlem1  48075  gpg5nbgrvtx13starlem2  48076  gpg5nbgrvtx13starlem3  48077