Theorem ceilhalfelfzo1 47492

Description: A positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is in the half-open range of positive integers up to the other integer. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem ceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilhalfelfzo1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2	1	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
3		nnre 12143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12379	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
5	4	ceilcld 13754	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6		nnz 12500	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnn0 12399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		2nn 12209	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nn0ledivnn 13011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
11		ceille 13761	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
13		eluz2 12748	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁))
14	5, 6, 12, 13	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))))
15		fzoss2 13594	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
17	16	sseld 3929	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
18	2, 17	biimtrid 242	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  1c1 11018   ≤ cle 11158   / cdiv 11785  ℕcn 12136  2c2 12191  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ..^cfzo 13561  ⌈cceil 13702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-ceil 13704

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1lem  47493  gpg5nbgrvtx13starlem1  48233  gpg5nbgrvtx13starlem2  48234  gpg5nbgrvtx13starlem3  48235