Theorem ceilhalfelfzo1 47903

Description: A positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is in the half-open range of positive integers up to the other integer. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfelfzo1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem ceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilhalfelfzo1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2	1	eleq2i 2836	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
3		nnre 12305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12545	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
5	4	ceilcld 13910	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6		nnz 12666	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnn0 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		2nn 12371	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nn0ledivnn 13180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
11		ceille 13917	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
13		eluz2 12916	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁))
14	5, 6, 12, 13	syl3anbrc 1343	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))))
15		fzoss2 13755	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(⌈‘(𝑁 / 2))) → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ⊆ (1..^𝑁))
17	16	sseld 4007	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
18	2, 17	biimtrid 242	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5167  ‘cfv 6576  (class class class)co 7451  ℝcr 11186  1c1 11188   ≤ cle 11328   / cdiv 11952  ℕcn 12298  2c2 12353  ℕ₀cn0 12558  ℤcz 12645  ℤ_≥cuz 12910  ..^cfzo 13722  ⌈cceil 13858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-2 12361  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-rp 13067  df-fz 13579  df-fzo 13723  df-fl 13859  df-ceil 13860

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1lem  47904  gpg5nbgrvtx13starlem1  47914  gpg5nbgrvtx13starlem2  47915  gpg5nbgrvtx13starlem3  47916