Theorem gpg5nbgrvtx13starlem1 48431

Description: Lemma 1 for gpg5nbgr3star 48441. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx13starlem1	⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx13starlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
2		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V)
4		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	orci 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
10		1ex 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		ovex 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
12	10, 11	opthne 5438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
13	9, 12	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
14	8	orci 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
15	10, 11	opthne 5438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩
17	13, 16	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
19	18	orcd 874	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
20		prneimg 4812	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
21	7, 19, 20	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
22		0ne1 12228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
23	22	orci 866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)
24		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 0 ∈ V)
26	25	anim1i 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
28		opthneg 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
30	23, 29	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
31	30	olcd 875	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
32		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
34		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (0..^𝑁) = (0..^5))
35	34	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^5)))
36	35	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^5)))
37	36	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^5)))
38	37	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^5))
39		5nn 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 5 ∈ ℕ
40		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ))
41	39, 40	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ)
42		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
43	42	ceilhalfelfzo1 47690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
45		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (1..^𝑁) = (1..^5))
46	45	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (1..^5)))
47	44, 46	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^5)))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^5))
49	48	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (1..^5))
50		plusmod5ne 47705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
51	38, 49, 50	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
52		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 5))
53	52	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 5 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
55	54	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
56	51, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
57	56	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
59	33, 58	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
60	59	impr 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
61		neeq2 2996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
63	60, 62	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
64	63	orcd 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
65	64	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
66		olc 869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
67	66	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
68	65, 67	pm2.61ine 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
69	10, 11	opthne 5438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
70		neirr 2942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
71	70	biorfi 939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
72	69, 71	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
74		opthneg 5437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
75	27, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
76		neirr 2942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
77	76	biorfi 939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
78	75, 77	bitr4di 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
79	73, 78	orbi12d 919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
80	68, 79	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
81	31, 80	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
82		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
83	4, 82	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
84	3, 83	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
85		prneimg2 4813	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
86	84, 85	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
87	81, 86	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
88		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
89	82, 88	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
90	3, 89	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
91	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ≠ 1)
92	91	orcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
93		opthneg 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
94	27, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
95	92, 94	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
96	30, 95	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
97	96	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
98		prneimg 4812	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
99	90, 97, 98	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
100	21, 87, 99	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
101	100	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
102		ralnex 3064	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
103		3ioran 1106	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
104		df-ne 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
105		df-ne 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
106		df-ne 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
107	104, 105, 106	3anbi123i 1156	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
108	103, 107	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
109	108	ralbii 3084	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
110	102, 109	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
111	101, 110	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
112		5eluz3 12808	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
113		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 5 ∈ (ℤ≥‘3)))
114	112, 113	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
115		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
116		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
117		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
118	115, 42, 116, 117	gpgedgel 48410	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
119	114, 118	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
120	119	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
121	111, 120	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸)
122		df-nel 3038	. 2 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸)
123	121, 122	sylibr 234	1 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∉ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  5c5 12215  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13582  ⌈cceil 13723   mod cmo 13801  Vtxcvtx 29081  Edgcedg 29132   gPetersenGr cgpg 48400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-ceil 13725  df-mod 13802  df-hash 14266  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-edgf 29074  df-iedg 29084  df-edg 29133  df-gpg 48401

This theorem is referenced by:  gpg5nbgr3star  48441