Theorem gpg5nbgrvtx13starlem1 48869

Description: Lemma 1 for gpg5nbgr3star 48879. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx13starlem1	⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx13starlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
2		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V)
4		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
10		1ex 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		ovex 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
12	10, 11	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
13	9, 12	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
14	8	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
15	10, 11	opthne 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
16	14, 15	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩
17	13, 16	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
19	18	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
20		prneimg 4821	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
21	7, 19, 20	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
22		0ne1 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
23	22	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)
24		c0ex 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 0 ∈ V)
26	25	anim1i 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
28		opthneg 5465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
30	23, 29	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
31	30	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
32		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
34		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (0..^𝑁) = (0..^5))
35	34	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^5)))
36	35	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^5)))
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^5)))
38	37	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^5))
39		5nn 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 5 ∈ ℕ
40		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ))
41	39, 40	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ)
42		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
43	42	ceilhalfelfzo1 48104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
44	41, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
45		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (1..^𝑁) = (1..^5))
46	45	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (1..^5)))
47	44, 46	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^5)))
48	47	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^5))
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (1..^5))
50		plusmod5ne 48121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
51	38, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
52		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 5))
53	52	neeq1d 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 5 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
54	53	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
56	51, 55	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
57	56	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
59	33, 58	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
60	59	impr 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
61		neeq2 3023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
63	60, 62	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
64	63	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
65	64	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
66		olc 882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
67	66	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
68	65, 67	pm2.61ine 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
69	10, 11	opthne 5466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
70		neirr 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
71	70	biorfi 952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
72	69, 71	bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
74		opthneg 5465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
75	27, 74	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
76		neirr 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
77	76	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
78	75, 77	bitr4di 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
79	73, 78	orbi12d 932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
80	68, 79	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
81	31, 80	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
82		opex 5447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
83	4, 82	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
84	3, 83	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
85		prneimg2 4822	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
86	84, 85	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
87	81, 86	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
88		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
89	82, 88	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
90	3, 89	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
91	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ≠ 1)
92	91	orcd 887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
93		opthneg 5465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
94	27, 93	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
95	92, 94	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
96	30, 95	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
97	96	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
98		prneimg 4821	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
99	90, 97, 98	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
100	21, 87, 99	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
101	100	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
102		ralnex 3093	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
103		3ioran 1123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
104		df-ne 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
105		df-ne 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
106		df-ne 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
107	104, 105, 106	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
108	103, 107	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
109	108	ralbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
110	102, 109	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
111	101, 110	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
112		5eluz3 12919	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
113		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 5 ∈ (ℤ≥‘3)))
114	112, 113	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
115		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
116		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
117		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
118	115, 42, 116, 117	gpgedgel 48848	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
119	114, 118	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
120	119	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
121	111, 120	mtbird 328	. 2 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸)
122		df-nel 3067	. 2 ⊢ ({⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∈ 𝐸)
123	121, 122	sylibr 237	1 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨0, 𝑋⟩} ∉ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  5c5 12309  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13695  ⌈cceil 13838   mod cmo 13916  Vtxcvtx 29377  Edgcedg 29428   gPetersenGr cgpg 48838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-ceil 13840  df-mod 13917  df-hash 14381  df-dvds 16329  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-edgf 29370  df-iedg 29380  df-edg 29429  df-gpg 48839

This theorem is used by:  gpg5nbgr3star  48879