gpg5nbgrvtx13starlem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > gpg5nbgrvtx13starlem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem gpg5nbgrvtx13starlem3 48656

Description: Lemma 3 for gpg5nbgr3star 48664. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx13starlem3	⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx13starlem3 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5428	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V
2		opex 5428	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
4		opex 5428	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5428	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	orci 876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
10		1ex 11170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		ovex 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
12	10, 11	opthne 5447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
13	9, 12	mpbir 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
14	8	orci 876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
15	10, 11	opthne 5447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
16	14, 15	mpbir 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩
17	13, 16	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
19	18	olcd 885	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
20		prneimg 4809	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
21	7, 19, 20	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
22		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
24		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 𝑁 = 5)
25	24	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0..^𝑁) = (0..^5))
26	25	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^5)))
27	26	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^5))
28		5nn 12298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 ∈ ℕ
29		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ))
30	28, 29	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ)
31		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
32	31	ceilhalfelfzo1 47889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
34		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → (1..^𝑁) = (1..^5))
35	34	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (1..^5)))
36	33, 35	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^5)))
37	36	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^5))
38	37	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (1..^5))
39		minusmod5ne 47910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
40	27, 38, 39	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
41		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 5))
42	41	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
43	42	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
44	43	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
45	40, 44	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
46	45	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
47	46	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
48	23, 47	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
49	48	impr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
50		neeq2 3019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
51	50	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
52	49, 51	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
53	52	orcd 884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
54	53	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
55		olc 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
56	55	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
57	54, 56	pm2.61ine 3039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
58	10, 11	opthne 5447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
59		neirr 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
60	59	biorfi 949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
61	58, 60	bitr4i 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
63		c0ex 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 0 ∈ V)
65	64	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
66	65	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
67		opthneg 5446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
69		neirr 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
70	69	biorfi 949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
71	68, 70	bitr4di 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
72	62, 71	orbi12d 929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
73	57, 72	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
74	73	orcomd 882	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
75		0ne1 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
76	75	orci 876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)
77		opthneg 5446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
78	66, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
79	76, 78	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
80	79	orcd 884	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
81	74, 80	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
82		opex 5428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
83	4, 82	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
84	3, 83	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
85		prneimg2 4810	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
86	84, 85	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
87	81, 86	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
88		opex 5428	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
89	82, 88	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
90	3, 89	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
91	75	orci 876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
92		opthneg 5446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
93	66, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
94	91, 93	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
95	79, 94	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
96	95	orcd 884	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
97		prneimg 4809	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
98	90, 96, 97	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
99	21, 87, 98	3jca 1140	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
100	99	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
101		ralnex 3087	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
102		3ioran 1117	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
103		df-ne 2957	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
104		df-ne 2957	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
105		df-ne 2957	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
106	103, 104, 105	3anbi123i 1167	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
107	102, 106	bitr4i 280	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
108	107	ralbii 3107	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
109	101, 108	bitr3i 279	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
110	100, 109	sylibr 236	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
111		5eluz3 12878	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ_≥‘3)
112		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ 5 ∈ (ℤ_≥‘3)))
113	111, 112	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
114		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
115		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
116		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
117	114, 31, 115, 116	gpgedgel 48633	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
118	113, 117	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
119	118	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
120	110, 119	mtbird 327	. 2 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
121		df-nel 3061	. 2 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
122	120, 121	sylibr 236	1 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ wo 858 ∨ w3o 1096 ∧ w3a 1097 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 ∉ wnel 3060 ∀wral 3075 ∃wrex 3085 Vcvv 3453 {cpr 4581 ⟨cop 4585 ‘cfv 6516 (class class class)co 7391 0cc0 11067 1c1 11068 + caddc 11070 − cmin 11408 / cdiv 11838 ℕcn 12204 2c2 12266 3c3 12267 5c5 12269 ℤ_≥cuz 12833 ..^cfzo 13653 ⌈cceil 13795 mod cmo 13873 Vtxcvtx 29154 Edgcedg 29205 gPetersenGr cgpg 48623

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5224 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5319 ax-pr 5387 ax-un 7713 ax-cnex 11123 ax-resscn 11124 ax-1cn 11125 ax-icn 11126 ax-addcl 11127 ax-addrcl 11128 ax-mulcl 11129 ax-mulrcl 11130 ax-mulcom 11131 ax-addass 11132 ax-mulass 11133 ax-distr 11134 ax-i2m1 11135 ax-1ne0 11136 ax-1rid 11137 ax-rnegex 11138 ax-rrecex 11139 ax-cnre 11140 ax-pre-lttri 11141 ax-pre-lttrn 11142 ax-pre-ltadd 11143 ax-pre-mulgt0 11144 ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4863 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5538 df-eprel 5543 df-po 5551 df-so 5552 df-fr 5596 df-we 5598 df-xp 5649 df-rel 5650 df-cnv 5651 df-co 5652 df-dm 5653 df-rn 5654 df-res 5655 df-ima 5656 df-pred 6283 df-ord 6344 df-on 6345 df-lim 6346 df-suc 6347 df-iota 6472 df-fun 6518 df-fn 6519 df-f 6520 df-f1 6521 df-fo 6522 df-f1o 6523 df-fv 6524 df-riota 7348 df-ov 7394 df-oprab 7395 df-mpo 7396 df-om 7842 df-1st 7965 df-2nd 7966 df-frecs 8256 df-wrecs 8287 df-recs 8336 df-rdg 8375 df-1o 8431 df-oadd 8435 df-er 8672 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-sup 9382 df-inf 9383 df-dju 9853 df-card 9891 df-pnf 11212 df-mnf 11213 df-xr 11214 df-ltxr 11215 df-le 11216 df-sub 11410 df-neg 11411 df-div 11839 df-nn 12205 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12476 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-dec 12683 df-uz 12834 df-rp 12988 df-fz 13507 df-fzo 13654 df-fl 13796 df-ceil 13797 df-mod 13874 df-hash 14338 df-dvds 16278 df-struct 17174 df-slot 17209 df-ndx 17221 df-base 17237 df-edgf 29147 df-iedg 29157 df-edg 29206 df-gpg 48624

This theorem is referenced by: gpg5nbgr3star 48664

W3C validator