gpg5nbgrvtx13starlem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > gpg5nbgrvtx13starlem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem gpg5nbgrvtx13starlem3 48989

Description: Lemma 3 for gpg5nbgr3star 48997. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx13starlem3	⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx13starlem3 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V
2		opex 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
4		opex 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
10		1ex 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		ovex 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
12	10, 11	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
13	9, 12	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
14	8	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
15	10, 11	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
16	14, 15	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩
17	13, 16	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
19	18	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
20		prneimg 4814	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
21	7, 19, 20	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
22		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
24		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 𝑁 = 5)
25	24	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0..^𝑁) = (0..^5))
26	25	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^5)))
27	26	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^5))
28		5nn 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 ∈ ℕ
29		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ))
30	28, 29	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ)
31		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
32	31	ceilhalfelfzo1 48222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
34		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → (1..^𝑁) = (1..^5))
35	34	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (1..^5)))
36	33, 35	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^5)))
37	36	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^5))
38	37	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (1..^5))
39		minusmod5ne 48243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
40	27, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
41		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 5))
42	41	neeq1d 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
43	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
45	40, 44	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
46	45	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
48	23, 47	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
49	48	impr 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
50		neeq2 3018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
52	49, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
53	52	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
54	53	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
55		olc 882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
56	55	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
57	54, 56	pm2.61ine 3038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
58	10, 11	opthne 5458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
59		neirr 2964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
60	59	biorfi 952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
61	58, 60	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
63		c0ex 11224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 0 ∈ V)
65	64	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
67		opthneg 5457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
69		neirr 2964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
70	69	biorfi 952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
71	68, 70	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
72	62, 71	orbi12d 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
73	57, 72	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
74	73	orcomd 885	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
75		0ne1 12336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
76	75	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)
77		opthneg 5457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
78	66, 77	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
79	76, 78	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
80	79	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
81	74, 80	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
82		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
83	4, 82	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
84	3, 83	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
85		prneimg2 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
86	84, 85	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
87	81, 86	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
88		opex 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
89	82, 88	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
90	3, 89	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
91	75	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
92		opthneg 5457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
93	66, 92	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
94	91, 93	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
95	79, 94	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
96	95	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
97		prneimg 4814	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
98	90, 96, 97	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
99	21, 87, 98	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
100	99	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
101		ralnex 3088	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
102		3ioran 1123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
103		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
104		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
105		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
106	103, 104, 105	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
107	102, 106	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
108	107	ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
109	101, 108	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
110	100, 109	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
111		5eluz3 12932	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ_≥‘3)
112		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ 5 ∈ (ℤ_≥‘3)))
113	111, 112	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
114		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
115		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
116		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
117	114, 31, 115, 116	gpgedgel 48966	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
118	113, 117	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
119	118	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
120	110, 119	mtbird 328	. 2 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
121		df-nel 3062	. 2 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
122	120, 121	sylibr 237	1 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∉ wnel 3061 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 Vcvv 3450 {cpr 4586 ⟨cop 4590 ‘cfv 6533 (class class class)co 7413 0cc0 11124 1c1 11125 + caddc 11127 − cmin 11465 / cdiv 11895 ℕcn 12257 2c2 12319 3c3 12320 5c5 12322 ℤ_≥cuz 12887 ..^cfzo 13709 ⌈cceil 13852 mod cmo 13930 Vtxcvtx 29453 Edgcedg 29504 gPetersenGr cgpg 48956

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7736 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7370 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-oadd 8459 df-er 8696 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-sup 9412 df-inf 9413 df-dju 9906 df-card 9944 df-pnf 11269 df-mnf 11270 df-xr 11271 df-ltxr 11272 df-le 11273 df-sub 11467 df-neg 11468 df-div 11896 df-nn 12258 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12529 df-xnn0 12602 df-z 12616 df-dec 12737 df-uz 12888 df-rp 13043 df-fz 13562 df-fzo 13710 df-fl 13853 df-ceil 13854 df-mod 13931 df-hash 14395 df-dvds 16343 df-struct 17239 df-slot 17274 df-ndx 17286 df-base 17302 df-edgf 29446 df-iedg 29456 df-edg 29505 df-gpg 48957

This theorem is used by: gpg5nbgr3star 48997

W3C validator