gpg5nbgrvtx13starlem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > gpg5nbgrvtx13starlem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem gpg5nbgrvtx13starlem3 48002

Description: Lemma 3 for gpg5nbgr3star 48010. (Contributed by AV, 8-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx13starlem3	⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx13starlem3 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5467	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑋⟩ ∈ V
2		opex 5467	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
4		opex 5467	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5467	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	orci 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
10		1ex 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
11		ovex 7462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
12	10, 11	opthne 5485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
13	9, 12	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
14	8	orci 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
15	10, 11	opthne 5485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩
17	13, 16	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
19	18	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
20		prneimg 4852	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
21	7, 19, 20	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
22		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
24		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 𝑁 = 5)
25	24	oveq2d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0..^𝑁) = (0..^5))
26	25	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^5)))
27	26	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^5))
28		5nn 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 ∈ ℕ
29		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ))
30	28, 29	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ)
31		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
32	31	ceilhalfelfzo1 47989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^𝑁)))
34		oveq2 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 = 5 → (1..^𝑁) = (1..^5))
35	34	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (1..^5)))
36	33, 35	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^5)))
37	36	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (1..^5))
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (1..^5))
39		minusmod5ne 47324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
40	27, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋)
41		oveq2 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 5))
42	41	neeq1d 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 = 5 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝑋))
45	40, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
46	45	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
48	23, 47	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
49	48	impr 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
50		neeq2 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
52	49, 51	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
53	52	orcd 874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
55		olc 869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
56	55	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
57	54, 56	pm2.61ine 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
58	10, 11	opthne 5485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
59		neirr 2948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
60	59	biorfi 939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
61	58, 60	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
63		c0ex 11251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 0 ∈ V)
65	64	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
67		opthneg 5484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
69		neirr 2948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
70	69	biorfi 939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
71	68, 70	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
72	62, 71	orbi12d 919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
73	57, 72	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
74	73	orcomd 872	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
75		0ne1 12333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
76	75	orci 866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)
77		opthneg 5484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
78	66, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
79	76, 78	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
80	79	orcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
81	74, 80	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
82		opex 5467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
83	4, 82	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
84	3, 83	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
85		prneimg2 4853	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
86	84, 85	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
87	81, 86	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
88		opex 5467	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
89	82, 88	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
90	3, 89	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
91	75	orci 866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
92		opthneg 5484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
93	66, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
94	91, 93	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
95	79, 94	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
96	95	orcd 874	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
97		prneimg 4852	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
98	90, 96, 97	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
99	21, 87, 98	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
100	99	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
101		ralnex 3071	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
102		3ioran 1106	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
103		df-ne 2940	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
104		df-ne 2940	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
105		df-ne 2940	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
106	103, 104, 105	3anbi123i 1156	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
107	102, 106	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
108	107	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
109	101, 108	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
110	100, 109	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
111		5eluz3 12923	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ_≥‘3)
112		eleq1 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ 5 ∈ (ℤ_≥‘3)))
113	111, 112	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
114		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
115		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
116		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
117	114, 31, 115, 116	gpgedgel 47980	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
118	113, 117	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
119	118	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
120	110, 119	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
121		df-nel 3046	. 2 ⊢ ({⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
122	120, 121	sylibr 234	1 ⊢ (((𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨0, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∨ w3o 1086 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2939 ∉ wnel 3045 ∀wral 3060 ∃wrex 3069 Vcvv 3479 {cpr 4626 ⟨cop 4630 ‘cfv 6559 (class class class)co 7429 0cc0 11151 1c1 11152 + caddc 11154 − cmin 11488 / cdiv 11916 ℕcn 12262 2c2 12317 3c3 12318 5c5 12320 ℤ_≥cuz 12874 ..^cfzo 13690 ⌈cceil 13827 mod cmo 13905 Vtxcvtx 29003 Edgcedg 29054 gPetersenGr cgpg 47972

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5277 ax-sep 5294 ax-nul 5304 ax-pow 5363 ax-pr 5430 ax-un 7751 ax-cnex 11207 ax-resscn 11208 ax-1cn 11209 ax-icn 11210 ax-addcl 11211 ax-addrcl 11212 ax-mulcl 11213 ax-mulrcl 11214 ax-mulcom 11215 ax-addass 11216 ax-mulass 11217 ax-distr 11218 ax-i2m1 11219 ax-1ne0 11220 ax-1rid 11221 ax-rnegex 11222 ax-rrecex 11223 ax-cnre 11224 ax-pre-lttri 11225 ax-pre-lttrn 11226 ax-pre-ltadd 11227 ax-pre-mulgt0 11228 ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4906 df-int 4945 df-iun 4991 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5224 df-tr 5258 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5635 df-we 5637 df-xp 5689 df-rel 5690 df-cnv 5691 df-co 5692 df-dm 5693 df-rn 5694 df-res 5695 df-ima 5696 df-pred 6319 df-ord 6385 df-on 6386 df-lim 6387 df-suc 6388 df-iota 6512 df-fun 6561 df-fn 6562 df-f 6563 df-f1 6564 df-fo 6565 df-f1o 6566 df-fv 6567 df-riota 7386 df-ov 7432 df-oprab 7433 df-mpo 7434 df-om 7884 df-1st 8010 df-2nd 8011 df-frecs 8302 df-wrecs 8333 df-recs 8407 df-rdg 8446 df-1o 8502 df-oadd 8506 df-er 8741 df-en 8982 df-dom 8983 df-sdom 8984 df-fin 8985 df-sup 9478 df-inf 9479 df-dju 9937 df-card 9975 df-pnf 11293 df-mnf 11294 df-xr 11295 df-ltxr 11296 df-le 11297 df-sub 11490 df-neg 11491 df-div 11917 df-nn 12263 df-2 12325 df-3 12326 df-4 12327 df-5 12328 df-6 12329 df-7 12330 df-8 12331 df-9 12332 df-n0 12523 df-xnn0 12596 df-z 12610 df-dec 12730 df-uz 12875 df-rp 13031 df-fz 13544 df-fzo 13691 df-fl 13828 df-ceil 13829 df-mod 13906 df-hash 14366 df-dvds 16287 df-struct 17180 df-slot 17215 df-ndx 17227 df-base 17244 df-edgf 28994 df-iedg 29006 df-edg 29055 df-gpg 47973

This theorem is referenced by: gpg5nbgr3star 48010

W3C validator