Theorem chnsuslle 46989

Description: Length of a subsequence is bounded by the length of original chain. (Contributed by Ender Ting, 30-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
chnsubseq.3	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chnsuslle	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Proof of Theorem chnsuslle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11193	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5541	. . . . 5 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Po ℝ)
4		fzossz 13579	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
5		zssre 12475	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
6	4, 5	sstri 3939	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ)
8		poss 5524	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
10	3, 9	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po (0..^(♯‘𝑊)))
11		chnsubseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
12		ovexd 7381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V)
13	10, 11, 12	chnpolleha 18538	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ≤ (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
14		chnsubseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
15	14, 11	chnsubseqwl 46987	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))
16	14	chnwrd 18514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
17		lencl 14440	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
19		hashfzo0 14337	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
21	20	eqcomd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
22	13, 15, 21	3brtr4d 5121	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   Po wpo 5520   Or wor 5521   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420   Chain cchn 18511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-chn 18512

This theorem is referenced by: (None)