Theorem chnsuslle 47457

Description: Length of a subsequence is bounded by the length of original chain. (Contributed by Ender Ting, 30-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
chnsubseq.3	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chnsuslle	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Proof of Theorem chnsuslle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11263	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5574	. . . . 5 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Po ℝ)
4		fzossz 13685	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
5		zssre 12575	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
6	4, 5	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ)
8		poss 5557	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
10	3, 9	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po (0..^(♯‘𝑊)))
11		chnsubseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
12		ovexd 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V)
13	10, 11, 12	chnpolleha 18664	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ≤ (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
14		chnsubseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
15	14, 11	chnsubseqwl 47455	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))
16	14	chnwrd 18640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
17		lencl 14546	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
19		hashfzo0 14443	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
21	20	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
22	13, 15, 21	3brtr4d 5132	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   Po wpo 5553   Or wor 5554   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343  Word cword 14526   Chain cchn 18637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-chn 18638

This theorem is referenced by: (None)