Theorem chnsuslle 47488

Description: Length of a subsequence is bounded by the length of original chain. (Contributed by Ender Ting, 30-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
chnsubseq.3	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chnsuslle	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Proof of Theorem chnsuslle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11289	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5589	. . . . 5 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Po ℝ)
4		fzossz 13707	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
5		zssre 12597	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
6	4, 5	sstri 3954	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ)
8		poss 5572	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
10	3, 9	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po (0..^(♯‘𝑊)))
11		chnsubseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
12		ovexd 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V)
13	10, 11, 12	chnpolleha 18687	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ≤ (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
14		chnsubseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
15	14, 11	chnsubseqwl 47486	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))
16	14	chnwrd 18663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
17		lencl 14569	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
19		hashfzo0 14466	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
21	20	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
22	13, 15, 21	3brtr4d 5147	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   Po wpo 5568   Or wor 5569   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365  Word cword 14549   Chain cchn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-chn 18661

This theorem is referenced by: (None)