Theorem chnsuslle 47067

Description: Length of a subsequence is bounded by the length of original chain. (Contributed by Ender Ting, 30-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
chnsubseq.3	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chnsuslle	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Proof of Theorem chnsuslle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11211	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5549	. . . . 5 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Po ℝ)
4		fzossz 13593	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
5		zssre 12493	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
6	4, 5	sstri 3941	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ)
8		poss 5532	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( < Po ℝ → < Po (0..^(♯‘𝑊))))
10	3, 9	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po (0..^(♯‘𝑊)))
11		chnsubseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
12		ovexd 7391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V)
13	10, 11, 12	chnpolleha 18553	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ≤ (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
14		chnsubseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
15	14, 11	chnsubseqwl 47065	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))
16	14	chnwrd 18529	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
17		lencl 14454	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
19		hashfzo0 14351	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
21	20	eqcomd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
22	13, 15, 21	3brtr4d 5128	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ≤ (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   Po wpo 5528   Or wor 5529   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Word cword 14434   Chain cchn 18526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-lsw 14484  df-concat 14492  df-s1 14518  df-substr 14563  df-pfx 14593  df-chn 18527

This theorem is referenced by: (None)