Theorem chnpof1 18585

Description: A chain under relation which orders the alphabet is a one-to-one function from its domain to alphabet. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnpof1.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnpof1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chnpof1	⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

Proof of Theorem chnpof1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnpof1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
2		chnf 18584	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
4		chnpof1.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → < Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → < Po 𝐴)
7	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
8	7, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
9		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
10		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
12	11	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
13	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
16		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
17	13, 15, 16	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
18	12, 17	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
20	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
22	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
23		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
24		elfzonn0 13651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26		elfzoelz 13602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	22, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 < 𝑗)
29	25, 27, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
30		elfzo0z 13645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑗) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
31	29, 30	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^𝑗))
32	6, 21, 22, 31	chnlt 18578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗))
33		po2ne 5544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
34	6, 19, 32, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
35	34	neneqd 2935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
36	35	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 < 𝑗 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
37	36	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑖 < 𝑗))
38	37	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑖 < 𝑗)
39	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → < Po 𝐴)
40	17, 12	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
42	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
43		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
44		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
45		elfzonn0 13651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ ℕ0)
47		elfzoelz 13602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 < 𝑖)
50	46, 48, 49	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
51		elfzo0z 13645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑖) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
52	50, 51	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^𝑖))
53	39, 42, 43, 52	chnlt 18578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖))
54		po2ne 5544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑗) ≠ (𝐵‘𝑖))
55	54	necomd 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
56	39, 41, 53, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
57	56	neneqd 2935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
58	57	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑗 < 𝑖 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
59	58	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑗 < 𝑖))
60	59	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑗 < 𝑖)
61	47	zred 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℝ)
62	26	zred 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℝ)
63	61, 62	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
66		lttri4 11219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
68		3orcoma 1093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖) ↔ (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
69	67, 68	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
70	38, 60, 69	ecase23d 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗)
71	70	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
72	71	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
73	3, 72	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
74		dff13 7198	. 2 ⊢ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴 ↔ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
75	73, 74	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   class class class wbr 5074   Po wpo 5526  ⟶wf 6483  –1-1→wf1 6484  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  0cc0 11027   < clt 11168  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ..^cfzo 13597  ♯chash 14281   Chain cchn 18560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-lsw 14514  df-concat 14522  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-chn 18561

This theorem is referenced by:  chnpoadomd  18586  chnpolleha  18587