Theorem chnpof1 18542

Description: A chain under relation which orders the alphabet is a one-to-one function from its domain to alphabet. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnpof1.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnpof1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chnpof1	⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

Proof of Theorem chnpof1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnpof1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
2		chnf 18541	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
4		chnpof1.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → < Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → < Po 𝐴)
7	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
8	7, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
9		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
10		ffvelcdm 7020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
12	11	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
13	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
16		ffvelcdm 7020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
17	13, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
18	12, 17	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
20	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
22	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
23		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
24		elfzonn0 13613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26		elfzoelz 13565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	22, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 < 𝑗)
29	25, 27, 28	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
30		elfzo0z 13607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑗) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
31	29, 30	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^𝑗))
32	6, 21, 22, 31	chnlt 18535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗))
33		po2ne 5543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
34	6, 19, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
35	34	neneqd 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
36	35	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 < 𝑗 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
37	36	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑖 < 𝑗))
38	37	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑖 < 𝑗)
39	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → < Po 𝐴)
40	17, 12	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
42	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
43		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
44		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
45		elfzonn0 13613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ ℕ0)
47		elfzoelz 13565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 < 𝑖)
50	46, 48, 49	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
51		elfzo0z 13607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑖) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
52	50, 51	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^𝑖))
53	39, 42, 43, 52	chnlt 18535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖))
54		po2ne 5543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑗) ≠ (𝐵‘𝑖))
55	54	necomd 2983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
56	39, 41, 53, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
57	56	neneqd 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
58	57	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑗 < 𝑖 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
59	58	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑗 < 𝑖))
60	59	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑗 < 𝑖)
61	47	zred 12583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℝ)
62	26	zred 12583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℝ)
63	61, 62	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
66		lttri4 11203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
68		3orcoma 1092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖) ↔ (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
69	67, 68	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
70	38, 60, 69	ecase23d 1475	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗)
71	70	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
72	71	ralrimivva 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
73	3, 72	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
74		dff13 7194	. 2 ⊢ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴 ↔ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
75	73, 74	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   class class class wbr 5093   Po wpo 5525  ⟶wf 6483  –1-1→wf1 6484  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012   < clt 11152  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ..^cfzo 13560  ♯chash 14243   Chain cchn 18517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-lsw 14476  df-concat 14484  df-s1 14510  df-substr 14555  df-pfx 14585  df-chn 18518

This theorem is referenced by:  chnpoadomd  18543  chnpolleha  18544