Theorem chnpof1 18722

Description: A chain under relation which orders the alphabet is a one-to-one function from its domain to alphabet. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnpof1.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnpof1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chnpof1	⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

Proof of Theorem chnpof1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnpof1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
2		chnf 18721	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
4		chnpof1.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → < Po 𝐴)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → < Po 𝐴)
7	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
8	7, 2	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
9		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
10		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
12	11	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
13	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
15	14	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
16		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
17	13, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
18	12, 17	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
20	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
22	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
23		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
24		elfzonn0 13765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	22, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
28		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 < 𝑗)
29	25, 27, 28	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
30		elfzo0z 13759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑗) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^𝑗))
32	6, 21, 22, 31	chnlt 18715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗))
33		po2ne 5583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
34	6, 19, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
35	34	neneqd 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
36	35	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 < 𝑗 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
37	36	con2d 135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑖 < 𝑗))
38	37	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑖 < 𝑗)
39	5	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → < Po 𝐴)
40	17, 12	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
42	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
43		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
44		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
45		elfzonn0 13765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ ℕ0)
47		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
48	43, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 < 𝑖)
50	46, 48, 49	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
51		elfzo0z 13759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑖) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
52	50, 51	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^𝑖))
53	39, 42, 43, 52	chnlt 18715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖))
54		po2ne 5583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑗) ≠ (𝐵‘𝑖))
55	54	necomd 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
56	39, 41, 53, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
57	56	neneqd 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
58	57	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑗 < 𝑖 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
59	58	con2d 135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑗 < 𝑖))
60	59	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑗 < 𝑖)
61	47	zred 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℝ)
62	26	zred 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℝ)
63	61, 62	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
64	63	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
65	64	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
66		lttri4 11321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
67	65, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
68		3orcoma 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖) ↔ (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
69	67, 68	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
70	38, 60, 69	ecase23d 1503	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗)
71	70	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
72	71	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
73	3, 72	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
74		dff13 7254	. 2 ⊢ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴 ↔ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
75	73, 74	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   class class class wbr 5107   Po wpo 5565  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11270  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396   Chain cchn 18697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-lsw 14630  df-concat 14638  df-s1 14665  df-substr 14711  df-pfx 14743  df-chn 18698

This theorem is used by:  chnpoadomd  18723  chnpolleha  18724