Theorem chnpof1 18685

Description: A chain under relation which orders the alphabet is a one-to-one function from its domain to alphabet. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnpof1.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnpof1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chnpof1	⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

Proof of Theorem chnpof1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnpof1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
2		chnf 18684	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
4		chnpof1.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → < Po 𝐴)
6	5	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → < Po 𝐴)
7	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
8	7, 2	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
9		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
10		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
12	11	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴)
13	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴)
14		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
15	14	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
16		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
17	13, 15, 16	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴)
18	12, 17	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴))
20	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
22	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
23		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
24		elfzonn0 13735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26		elfzoelz 13686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	22, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
28		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 < 𝑗)
29	25, 27, 28	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
30		elfzo0z 13729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑗) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑗))
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ (0..^𝑗))
32	6, 21, 22, 31	chnlt 18678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗))
33		po2ne 5585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑖) < (𝐵‘𝑗)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
34	6, 19, 32, 33	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
35	34	neneqd 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 < 𝑗) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
36	35	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 < 𝑗 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
37	36	con2d 135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑖 < 𝑗))
38	37	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑖 < 𝑗)
39	5	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → < Po 𝐴)
40	17, 12	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
41	40	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴))
42	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
43		simplrl 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
44		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
45		elfzonn0 13735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ ℕ0)
47		elfzoelz 13686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
48	43, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
49		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 < 𝑖)
50	46, 48, 49	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
51		elfzo0z 13729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑖) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑖))
52	50, 51	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → 𝑗 ∈ (0..^𝑖))
53	39, 42, 43, 52	chnlt 18678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖))
54		po2ne 5585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑗) ≠ (𝐵‘𝑖))
55	54	necomd 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Po 𝐴 ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ 𝐴) ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐵‘𝑖)) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
56	39, 41, 53, 55	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → (𝐵‘𝑖) ≠ (𝐵‘𝑗))
57	56	neneqd 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ 𝑗 < 𝑖) → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
58	57	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑗 < 𝑖 → ¬ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)))
59	58	con2d 135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑗 < 𝑖))
60	59	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑗 < 𝑖)
61	47	zred 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑖 ∈ ℝ)
62	26	zred 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑗 ∈ ℝ)
63	61, 62	anim12i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
64	63	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
65	64	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
66		lttri4 11293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
67	65, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
68		3orcoma 1107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖) ↔ (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
69	67, 68	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → (𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
70	38, 60, 69	ecase23d 1501	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) ∧ (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗)
71	70	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
72	71	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
73	3, 72	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
74		dff13 7252	. 2 ⊢ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴 ↔ (𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐵))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐵))((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
75	73, 74	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   class class class wbr 5108   Po wpo 5567  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365   Chain cchn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-chn 18661

This theorem is referenced by:  chnpoadomd  18686  chnpolleha  18687