MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvscom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmvscom 24837
Description: Commutative law for the scalar product. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvscl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmvscl.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
clmvscl.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
clmvscom ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑄 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem clmvscom
StepHypRef Expression
1 ssel 3974 . . . . . . . 8 (𝐾 βŠ† β„‚ β†’ (𝑄 ∈ 𝐾 β†’ 𝑄 ∈ β„‚))
2 ssel 3974 . . . . . . . 8 (𝐾 βŠ† β„‚ β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ 𝑅 ∈ β„‚))
31, 2anim12d 607 . . . . . . 7 (𝐾 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ (𝑄 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚)))
4 clmvscl.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 clmvscl.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
64, 5clmsscn 24826 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
73, 6syl11 33 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (𝑄 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚)))
873adant3 1130 . . . . 5 ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (𝑄 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚)))
98impcom 406 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑄 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚))
10 mulcom 11198 . . . 4 ((𝑄 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (𝑄 Β· 𝑅) = (𝑅 Β· 𝑄))
119, 10syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑄 Β· 𝑅) = (𝑅 Β· 𝑄))
1211oveq1d 7426 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Β· 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑅 Β· 𝑄) Β· 𝑋))
13 clmvscl.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 clmvscl.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1513, 4, 14, 5clmvsass 24836 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Β· 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
16 3ancoma 1096 . . 3 ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ↔ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
1713, 4, 14, 5clmvsass 24836 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Β· 𝑄) Β· 𝑋) = (𝑅 Β· (𝑄 Β· 𝑋)))
1816, 17sylan2b 592 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Β· 𝑄) Β· 𝑋) = (𝑅 Β· (𝑄 Β· 𝑋)))
1912, 15, 183eqtr3d 2778 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)) = (𝑅 Β· (𝑄 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  β„‚Modcclm 24809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-cnfld 21145  df-clm 24810
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator