Theorem clmvscom 25206

Description: Commutative law for the scalar product. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
clmvscom	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmvscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ⊆ ℂ → (𝑄 ∈ 𝐾 → 𝑄 ∈ ℂ))
2		ssel 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ⊆ ℂ → (𝑅 ∈ 𝐾 → 𝑅 ∈ ℂ))
3	1, 2	anim12d 620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ⊆ ℂ → ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
4		clmvscl.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmvscl.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6	4, 5	clmsscn 25195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
7	3, 6	syl11 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
8	7	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
9	8	impcom 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
10		mulcom 11174	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑄))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑄 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑄))
12	11	oveq1d 7415	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋))
13		clmvscl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		clmvscl.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	13, 4, 14, 5	clmvsass 25205	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
16		3ancoma 1113	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ↔ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
17	13, 4, 14, 5	clmvsass 25205	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
18	16, 17	sylan2b 605	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
19	12, 15, 18	3eqtr3d 2808	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   · cmul 11093  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  ℂModcclm 25178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-cnfld 21480  df-clm 25179

This theorem is referenced by: (None)