Theorem erclwwlkeqlen 30637

Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
erclwwlk.r	⊢ ∼ = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlkeqlen	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑢,𝑤   𝑈,𝑛,𝑢,𝑤   𝑛,𝑊,𝑢,𝑤   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑤, 𝑢, 𝑛)   𝑋(𝑤, 𝑢)   𝑌(𝑤, 𝑢)

Proof of Theorem erclwwlkeqlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlk.r	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}
2	1	erclwwlkeq 30636	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 ↔ (𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛))))
3		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)))
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	clwwlkbp 30603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
6	5	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		elfzelz 13680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		cshwlen 14975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
11	3, 10	sylan9eqr 2820	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
12	11	rexlimdva2 3169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
13	12	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
14	13	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
15	14	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
16	15	com12 33	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
17	2, 16	sylbid 243	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  {copab 5170  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  ℤcz 12717  ...cfz 13663  ♯chash 14498  Word cword 14682   cyclShift ccsh 14964  Vtxcvtx 29601  ClWWalkscclwwlk 30599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-csh 14965  df-clwwlk 30600

This theorem is used by:  erclwwlksym  30639  erclwwlktr  30640