MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erclwwlkeqlen Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erclwwlkeqlen 29868
Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
erclwwlk.r ∼ = {βŸ¨π‘’, π‘€βŸ© ∣ (𝑒 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘€))𝑒 = (𝑀 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
erclwwlkeqlen ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆ ∼ π‘Š β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑒,𝑀   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑀   𝑛,π‘Š,𝑒,𝑀   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑀,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑀,𝑒)   π‘Œ(𝑀,𝑒)
Proof of Theorem erclwwlkeqlen
StepHypRef Expression
1 erclwwlk.r . . 3 ∼ = {βŸ¨π‘’, π‘€βŸ© ∣ (𝑒 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘€))𝑒 = (𝑀 cyclShift 𝑛))}
21erclwwlkeq 29867 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆ ∼ π‘Š ↔ (π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛))))
3 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑛)))
4 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
54clwwlkbp 29834 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…))
65simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
76ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
8 elfzelz 13528 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9 cshwlen 14776 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑛)) = (β™―β€˜π‘Š))
107, 8, 9syl2an 594 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑛)) = (β™―β€˜π‘Š))
113, 10sylan9eqr 2787 . . . . . . 7 (((((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) ∧ π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š))
1211rexlimdva2 3147 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š)))
1312ex 411 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š))))
1413com23 86 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛) β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š))))
15143impia 1114 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛)) β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š)))
1615com12 32 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘ˆ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))π‘ˆ = (π‘Š cyclShift 𝑛)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š)))
172, 16sylbid 239 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆ ∼ π‘Š β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144  {copab 5206  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  β„€cz 12583  ...cfz 13511  β™―chash 14316  Word cword 14491   cyclShift ccsh 14765  Vtxcvtx 28848  ClWWalkscclwwlk 29830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-csh 14766  df-clwwlk 29831
This theorem is referenced by:  erclwwlksym  29870  erclwwlktr  29871
  Copyright terms: Public domain W3C validator