Theorem erclwwlkeqlen 30108

Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
erclwwlk.r	⊢ ∼ = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlkeqlen	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑢,𝑤   𝑈,𝑛,𝑢,𝑤   𝑛,𝑊,𝑢,𝑤   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑤,𝑢,𝑛)   𝑋(𝑤,𝑢)   𝑌(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem erclwwlkeqlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlk.r	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}
2	1	erclwwlkeq 30107	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 ↔ (𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛))))
3		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)))
4		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	clwwlkbp 30074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
6	5	simp2d 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		elfzelz 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		cshwlen 14753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
10	7, 8, 9	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
11	3, 10	sylan9eqr 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
12	11	rexlimdva2 3142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
13	12	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
14	13	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
15	14	3impia 1123	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
16	15	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
17	2, 16	sylbid 241	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  ∅c0 4262   class class class wbr 5073  {copab 5135  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  ℤcz 12516  ...cfz 13453  ♯chash 14284  Word cword 14467   cyclShift ccsh 14742  Vtxcvtx 29084  ClWWalkscclwwlk 30070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-csh 14743  df-clwwlk 30071

This theorem is referenced by:  erclwwlksym  30110  erclwwlktr  30111