Theorem erclwwlkeqlen 29999

Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
erclwwlk.r	⊢ ∼ = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlkeqlen	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑢,𝑤   𝑈,𝑛,𝑢,𝑤   𝑛,𝑊,𝑢,𝑤   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑤,𝑢,𝑛)   𝑋(𝑤,𝑢)   𝑌(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem erclwwlkeqlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlk.r	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}
2	1	erclwwlkeq 29998	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 ↔ (𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛))))
3		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)))
4		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	clwwlkbp 29965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
6	5	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		elfzelz 13424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		cshwlen 14706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
11	3, 10	sylan9eqr 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
12	11	rexlimdva2 3135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
14	13	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
15	14	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
16	15	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
17	2, 16	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑈 ∼ 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  {copab 5151  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ♯chash 14237  Word cword 14420   cyclShift ccsh 14695  Vtxcvtx 28974  ClWWalkscclwwlk 29961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-csh 14696  df-clwwlk 29962

This theorem is referenced by:  erclwwlksym  30001  erclwwlktr  30002