Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erclwwlkeqlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erclwwlkeqlen 27408
 Description: If two classes are equivalent regarding ∼, then they are words of the same length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Apr-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
erclwwlk.r = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
erclwwlkeqlen ((𝑈𝑋𝑊𝑌) → (𝑈 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑢,𝑤   𝑈,𝑛,𝑢,𝑤   𝑛,𝑊,𝑢,𝑤   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌
Allowed substitution hints:   (𝑤,𝑢,𝑛)   𝑋(𝑤,𝑢)   𝑌(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem erclwwlkeqlen
StepHypRef Expression
1 erclwwlk.r . . 3 = {⟨𝑢, 𝑤⟩ ∣ (𝑢 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑤))𝑢 = (𝑤 cyclShift 𝑛))}
21erclwwlkeq 27407 . 2 ((𝑈𝑋𝑊𝑌) → (𝑈 𝑊 ↔ (𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛))))
3 fveq2 6446 . . . . . . . 8 (𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)))
4 eqid 2777 . . . . . . . . . . . 12 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54clwwlkbp 27365 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
65simp2d 1134 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
76ad2antlr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈𝑋𝑊𝑌)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8 elfzelz 12659 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9 cshwlen 13950 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
107, 8, 9syl2an 589 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈𝑋𝑊𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑛)) = (♯‘𝑊))
113, 10sylan9eqr 2835 . . . . . . 7 (((((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈𝑋𝑊𝑌)) ∧ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
1211rexlimdva2 3215 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝑈𝑋𝑊𝑌)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
1312ex 403 . . . . 5 ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((𝑈𝑋𝑊𝑌) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
1413com23 86 . . . 4 ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛) → ((𝑈𝑋𝑊𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))))
15143impia 1106 . . 3 ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → ((𝑈𝑋𝑊𝑌) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
1615com12 32 . 2 ((𝑈𝑋𝑊𝑌) → ((𝑈 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑊))𝑈 = (𝑊 cyclShift 𝑛)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
172, 16sylbid 232 1 ((𝑈𝑋𝑊𝑌) → (𝑈 𝑊 → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∃wrex 3090  Vcvv 3397  ∅c0 4140   class class class wbr 4886  {copab 4948  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  ℤcz 11728  ...cfz 12643  ♯chash 13435  Word cword 13599   cyclShift ccsh 13934  Vtxcvtx 26344  ClWWalkscclwwlk 27361 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-csh 13936  df-clwwlk 27362 This theorem is referenced by:  erclwwlksym  27410  erclwwlktr  27411
 Copyright terms: Public domain W3C validator