Theorem cn1lem 15307

Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cn1lem.1	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2	⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cn1lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		cn1lem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
6		cn1lem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
7	6	ffvelrni 6960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
9	6	ffvelrni 6960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
13	2, 3	subcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
15		rpre 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		lelttr 11065	. . . . 5 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	5, 18	mpand 692	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21		breq2 5078	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥))
22	21	rspceaimv 3565	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
23	1, 20, 22	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  abscn2  15308  cjcn2  15309  recn2  15310  imcn2  15311