Theorem cn1lem 15571

Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cn1lem.1	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2	⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cn1lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		cn1lem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
6		cn1lem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
7	6	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
9	6	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 11540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
13	2, 3	subcld 11540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
15		rpre 12967	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		lelttr 11271	. . . . 5 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	5, 18	mpand 695	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21		breq2 5114	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥))
22	21	rspceaimv 3597	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
23	1, 20, 22	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  abscn2  15572  cjcn2  15573  recn2  15574  imcn2  15575