MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cn1lem 15631
Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cn1lem.1 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
Assertion
Ref Expression
cn1lem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 cn1lem.2 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
6 cn1lem.1 . . . . . . . . 9 𝐹:ℂ⟶ℂ
76ffvelcdmi 7103 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
96ffvelcdmi 7103 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
118, 10subcld 11618 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
1211abscld 15472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
132, 3subcld 11618 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
1413abscld 15472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
15 rpre 13041 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 lelttr 11349 . . . . 5 (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
195, 18mpand 695 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2019ralrimiva 3144 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
21 breq2 5152 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥))
2221rspceaimv 3628 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
231, 20, 22syl2anc 584 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  +crp 13032  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  abscn2  15632  cjcn2  15633  recn2  15634  imcn2  15635
  Copyright terms: Public domain W3C validator