MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cn1lem 15305
Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cn1lem.1 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
Assertion
Ref Expression
cn1lem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3 simpll 764 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 cn1lem.2 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
6 cn1lem.1 . . . . . . . . 9 𝐹:ℂ⟶ℂ
76ffvelrni 6957 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
96ffvelrni 6957 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
118, 10subcld 11332 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
1211abscld 15146 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
132, 3subcld 11332 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
1413abscld 15146 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
15 rpre 12737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 lelttr 11066 . . . . 5 (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
195, 18mpand 692 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2019ralrimiva 3110 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
21 breq2 5083 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥))
2221rspceaimv 3566 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
231, 20, 22syl2anc 584 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2110  wral 3066  wrex 3067   class class class wbr 5079  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cc 10870  cr 10871   < clt 11010  cle 11011  cmin 11205  +crp 12729  abscabs 14943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945
This theorem is referenced by:  abscn2  15306  cjcn2  15307  recn2  15308  imcn2  15309
  Copyright terms: Public domain W3C validator