Theorem cn1lem 15635

Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cn1lem.1	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2	⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cn1lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		cn1lem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
6		cn1lem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
7	6	ffvelcdmi 7102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
9	6	ffvelcdmi 7102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 11621	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
13	2, 3	subcld 11621	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
15		rpre 13044	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		lelttr 11352	. . . . 5 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	5, 18	mpand 695	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21		breq2 5146	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥))
22	21	rspceaimv 3627	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
23	1, 20, 22	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℝ⁺crp 13035  abscabs 15274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276

This theorem is referenced by:  abscn2  15636  cjcn2  15637  recn2  15638  imcn2  15639