MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cn1lem 15546
Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cn1lem.1 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚
cn1lem.2 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
cn1lem ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐹(π‘₯,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
2 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
3 simpll 764 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 cn1lem.2 . . . . 5 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)))
6 cn1lem.1 . . . . . . . . 9 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚
76ffvelcdmi 7078 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
96ffvelcdmi 7078 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
103, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
118, 10subcld 11572 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
1211abscld 15387 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
132, 3subcld 11572 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
1413abscld 15387 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
15 rpre 12985 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1615ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 lelttr 11305 . . . . 5 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯))
195, 18mpand 692 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯))
2019ralrimiva 3140 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯))
21 breq2 5145 . . 3 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
2221rspceaimv 3612 . 2 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯))
231, 20, 22syl2anc 583 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„+crp 12977  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  abscn2  15547  cjcn2  15548  recn2  15549  imcn2  15550
  Copyright terms: Public domain W3C validator