Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnrefiisp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrefiisp 45118
Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrefiisp.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cnrefiisp.n (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
cnrefiisp.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
cnrefiisp.c 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnrefiisp (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cnrefiisp
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrefiisp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cnrefiisp.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
3 cnrefiisp.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4 cnrefiisp.c . . 3 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
5 eqid 2726 . . 3 ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))})
6 fvoveq1 7428 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (abs‘(𝑧𝐴)) = (abs‘(𝑤𝐴)))
76sneqd 4635 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → {(abs‘(𝑧𝐴))} = {(abs‘(𝑤𝐴))})
87cbviunv 5036 . . . . 5 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧𝐴))} = 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))}
98uneq2i 4155 . . . 4 ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))})
109infeq1i 9475 . . 3 inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧𝐴))}), ℝ*, < ) = inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))}), ℝ*, < )
111, 2, 3, 4, 5, 10cnrefiisplem 45117 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))))
12 eleq1w 2810 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
13 neeq1 2997 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
1412, 13anbi12d 630 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴)))
15 fvoveq1 7428 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (abs‘(𝑤𝐴)) = (abs‘(𝑦𝐴)))
1615breq2d 5153 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
1714, 16imbi12d 344 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))) ↔ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))))
1817cbvralvw 3228 . . 3 (∀𝑤𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))) ↔ ∀𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
1918rexbii 3088 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
2011, 19sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  cdif 3940  cun 3941  cin 3942  {csn 4623   ciun 4990   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  infcinf 9438  cc 11110  cr 11111  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  +crp 12980  cim 15051  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45133
  Copyright terms: Public domain W3C validator