Theorem cnrefiisp 43261

Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrefiisp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cnrefiisp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
cnrefiisp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
cnrefiisp.c	⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnrefiisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cnrefiisp

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrefiisp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnrefiisp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
3		cnrefiisp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		cnrefiisp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
6		fvoveq1 7278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘(𝑤 − 𝐴)))
7	6	sneqd 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → {(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = {(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
8	7	cbviunv 4966	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}
9	8	uneq2i 4090	. . . 4 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
10	9	infeq1i 9167	. . 3 ⊢ inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}), ℝ*, < ) = inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}), ℝ*, < )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	cnrefiisplem 43260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))))
12		eleq1w 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
13		neeq1 3005	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ≠ 𝐴 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴)))
15		fvoveq1 7278	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(𝑦 − 𝐴)))
16	15	breq2d 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))))
18	17	cbvralvw 3372	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
19	18	rexbii 3177	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
20	11, 19	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  {csn 4558  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  infcinf 9130  ℂcc 10800  ℝcr 10801  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℝ⁺crp 12659  ℑcim 14737  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  43276