Theorem cnrefiisp 46784

Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrefiisp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cnrefiisp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
cnrefiisp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
cnrefiisp.c	⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnrefiisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cnrefiisp

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrefiisp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnrefiisp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
3		cnrefiisp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		cnrefiisp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
6		fvoveq1 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘(𝑤 − 𝐴)))
7	6	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → {(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = {(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
8	7	cbviunv 4997	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}
9	8	uneq2i 4112	. . . 4 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
10	9	infeq1i 9455	. . 3 ⊢ inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}), ℝ*, < ) = inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}), ℝ*, < )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	cnrefiisplem 46783	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))))
12		eleq1w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
13		neeq1 3018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ≠ 𝐴 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴)))
15		fvoveq1 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(𝑦 − 𝐴)))
16	15	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
17	14, 16	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))))
18	17	cbvralvw 3241	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
19	18	rexbii 3110	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
20	11, 19	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  {csn 4584  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  infcinf 9417  ℂcc 11179  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℝ⁺crp 13101  ℑcim 15245  abscabs 15381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383

This theorem is used by:  climxlim2lem  46799