Theorem cnrefiisp 45839

Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrefiisp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cnrefiisp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
cnrefiisp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
cnrefiisp.c	⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnrefiisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cnrefiisp

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrefiisp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnrefiisp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
3		cnrefiisp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		cnrefiisp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
6		fvoveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘(𝑤 − 𝐴)))
7	6	sneqd 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → {(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = {(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
8	7	cbviunv 5021	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}
9	8	uneq2i 4145	. . . 4 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
10	9	infeq1i 9496	. . 3 ⊢ inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}), ℝ*, < ) = inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}), ℝ*, < )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	cnrefiisplem 45838	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))))
12		eleq1w 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
13		neeq1 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ≠ 𝐴 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴)))
15		fvoveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(𝑦 − 𝐴)))
16	15	breq2d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))))
18	17	cbvralvw 3224	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
19	18	rexbii 3084	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
20	11, 19	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930  {csn 4606  ∪ ciun 4972   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  infcinf 9458  ℂcc 11132  ℝcr 11133  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℝ⁺crp 13013  ℑcim 15122  abscabs 15258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45854