Theorem cnrefiisp 46182

Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrefiisp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cnrefiisp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
cnrefiisp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
cnrefiisp.c	⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnrefiisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cnrefiisp

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrefiisp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnrefiisp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
3		cnrefiisp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		cnrefiisp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
6		fvoveq1 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘(𝑤 − 𝐴)))
7	6	sneqd 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → {(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = {(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
8	7	cbviunv 4996	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}
9	8	uneq2i 4119	. . . 4 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
10	9	infeq1i 9394	. . 3 ⊢ inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}), ℝ*, < ) = inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}), ℝ*, < )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	cnrefiisplem 46181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))))
12		eleq1w 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
13		neeq1 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ≠ 𝐴 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴)))
15		fvoveq1 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(𝑦 − 𝐴)))
16	15	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))))
18	17	cbvralvw 3216	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
19	18	rexbii 3085	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
20	11, 19	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  {csn 4582  ∪ ciun 4948   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  infcinf 9356  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℝ⁺crp 12917  ℑcim 15033  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  46197